4.3.1等比数列的概念（第2课时等比数列的性质及应用）课件高二上学期数学人教A版选择性

第四章数列

等比数列的概念第2课时等比数列的性质及应用人教A版

数学选择性必修第二册课程标准1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质.2.能够运用等比数列的性质解决有关问题.3.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题.基础落实·必备知识一遍过关知识点等比数列{an}的常用性质

1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则

.

2.an=am·

(q为公比,m,n∈N*).

3.在等比数列{an}中,公比为q,每隔k项取出一项,取出的项按原来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列,公比为

.

aman=apaq

qn-mqk+1名师点睛等比数列{an}的增减性(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列.(2)当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列.(3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.思考辨析已知数列{an}是等比数列,那么数列a1,a4,a7,…,a3n-2是等比数列吗?如果是的话公比是多少?提示

是等比数列,公比为q3.自主诊断1.在等比数列{an}中,已知a3=2,q=-1,则a15=

.

2解析

a15=a3q12=2×(-1)12=2.2.[人教B版教材习题改编]已知等比数列{an}中,a5=20,a15=5,则a25=

.

3.在正项等比数列{an}中,a4a8a12=8,则log2a2+log2a14=

.

2重难探究·能力素养速提升重难探究·能力素养速提升探究点一等比数列性质的应用角度1.等比数列的增减性【例1-1】

(1)已知{an}是递增的等比数列,且a2<0,则其公比q满足(

)A.q<-1 B.-1<q<0C.q>1 D.0<q<1D解析

{an}是等比数列,故an=a1qn-1,当q<0时,{an}各项正负项间隔,为摆动数列,故q>0,显然q≠1,由a2=a1q<0得a1<0,又{an}是递增的等比数列,故{qn-1}为递减数列,所以0<q<1.故选D.(2)(多选题)下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是(

)A.q>1⇒{an}为递增数列B.{an}为递增数列⇒q>1C.0<q<1⇔{an}为递减数列ABC解析

若a1=-2,q=2>1,则{an}的各项为-2,-4,-8,…,是递减数列,A不正确;若等比数列{an}的各项为-16,-8,-4,-2,…是递增数列,则q=<1,B不正确,D正确;若a1=-16,q=∈(0,1),则{an}的各项为-16,-8,-4,…,显然是递增数列,C不正确.变式训练1(1)数列{an}是各项均为实数的等比数列,则“a2>a1>0”是“数列{an}为递增数列”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A解析

∵a2>a1>0,设q为{an}的公比,∴a1q>a1>0,可得q>1,于是数列{an}为递增数列;∴“a2>a1>0”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件.故选A.(2)已知q是等比数列{an}的公比,则“a1(1-q)>0”是“数列{an}是递增数列”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件D解析

已知q是等比数列{an}的公比,当a1=1,q=-1时,a1(1-q)>0,数列为摆动数列,推不出数列{an}是递增数列.当数列{an}是递增数列时,不妨取an=2n,则a1=2,q=2,不满足a1(1-q)>0.故“a1(1-q)>0”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件.角度2.等比数列的常用性质【例1-2】

(1)已知{an}为等比数列.①若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;②若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5.②根据等比数列的性质,得a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95,∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log395=10.(2)[苏教版教材习题]已知等比数列{an}的公比q=2,且a1a2a3…a30=230,求a3a6a9…a30的值.解

由等比数列的性质可知a1·a30=a2·a29=…=a15·a16,∴a1·a2·a3·…·a30=(a15·a16)15=230,∴a15·a16=4.变式探究1(变条件变结论)在例1-2(1)①中,添加条件a1a7=4,其他条件不变,求an.解由等比数列的性质得a3a5=a1a7=4,又由例1-2(1)①知a3+a5=5,解得a3=1,a5=4或a3=4,a5=1.由an>0知公比q>0,若a3=1,a5=4,则q=2,an=2n-3;变式探究2(变条件变结论)在例1-2(1)②中添加“an>0”,求log2a1+log2a2+…+log2a10的值.解

∵a1·a2·a3…a30=(a15·a16)15=230,∴a15·a16=4,∴a5a6·220=4,∴a5a6=2-18.∴log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a5a6)5=-90.规律方法

应用等比数列性质的解题策略(1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活运用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题.(2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系,充分利用①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则aman=apaq;②若探究点二等比数列的综合问题【例2】

有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数和第四个数的和是16,中间两个数的和是12.求这四个数.变式探究1(变条件)将例2中的条件改为“有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8,后三个数依次成等差数列,它们的积为-80”,求这四个数.变式探究2(变条件变结论)将例2中的条件改为“有四个数成等比数列,其积规律方法

等比数列的项的巧妙设法在等比数列中,灵活设项是非常重要的.一般来说,当三个数成等比数列时,探究点三等比数列的实际应用【例3】

[北师大版教材习题改编]某工厂2023年产值为200万元,计划从2024年开始,每年的产值比上一年增长20%.问至少从哪年开始,该厂的年产值可超过1200万元?(lg2≈0.3,lg6≈0.78)解每年的产值构成等比数列{an},a1=200,公比q=1+20%=1.2.由an=200×1.2n-1>1

200,得n>1+log1.26≈1+9.75=10.75,n≥11.2

023+11-1=2

033,即至少从2033年开始,该厂的年产值可超过1

200万元.规律方法

等比数列实际应用的求解策略(1)一般地,产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖等实际问题,往往与等比数列有关,可建立等比数列模型进行求解.(2)建立等比数列模型进行运算时,往往涉及指数、对数方程或不等式的问题,要注意运算的正确性,还要善于进行估算,对于近似计算问题,答案要符合实际问题的需要.变式训练2十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年),他写成《律学新说》,提出了十二平均律的理论,这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方,对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是:在1和2之间插入11个正数,使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列,依此规则,新插入的第2个数应为(

)A本节要点归纳1.知识清单:(1)等比数列的性质及应用.(2)等比数列中项的设解技巧.(3)等比数列的实际应用.2.方法归纳:定义法、类比、分类讨论.重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标123451.已知各项均为正数的等比数列{an},a2a9=8,a5=2,则公比q为(

)B解析

由已知得a2a9=a5a6=8,而a5=2,所以a6=4,所以公比q==2.123452.在等比数列{an}中,a4=24,a6=6,则a5=(

)A.12 B.-12 C.±12 D.15C解析

由等比数列{an},可知

=a4a6=24×6=144,解得a5=±12.123453.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(

)A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列D解析

根据等比数列的性质,若m+n=2k(m,n,k∈N*),则am,