浙江省德清县第六中学高一下学期期末数学模拟试卷（二）

20232024学年高一数学下学期期末模拟卷（二）一、单选题1.下列结论正确的是（

）A．空间中三点确定一个平面B．空间中两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．一条直线和一个点能确定一个平面D．四边形一定是平面图形2.设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（）A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则3.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为B.圆锥的侧面积为C.圆柱的侧面积与球面面积不相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为4.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺内接于一体积的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为，则该陀螺的体积为（） B. C. D.如图，在正方体ABCD−A1B1

A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形6．如图所示，在长方体中，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为（

）A．1 B． C． D．7．已知三棱锥的底面是正三角形，平面，且，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．8．已知四面体ABCD满足，，，且该四面体ABCD的外接球的球半径为，四面体的内切球的球半径为，则的值是（

）A． B． C． D．多选题9．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（

）A．圆台的母线与底面所成的角为B．圆台的侧面积为C．圆台的体积为D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为如图，正方体的棱长为1，点是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.存在点，使面B.二面角的平面角大小为C.的最小值是D.到平面的距离最大值是如图，设分别是正方体的棱上两点，且，下列说法正确的是（）A．异面直线与所成的角为B．三棱锥的体积为3C．平面与平面所成的二面角大小为D．直线与平面所成的角为填空题12.一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图如图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面四边形的面积为_________,周长为________13.如图，在四面体中，，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是_____________．14．已知棱长为2的正方体，点是线段上一动点．给出如下推断：①对任意点，总有；②存在点，使得平面；③三棱锥体积的最大值为4．则所给推断中正确的是______________．解答题15．已知内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且.(1)求角；(2)若，的面积为，求的周长.16．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱的中点，，，．（1）若平面与平面的交线为，求证：（2）求直线与平面所成角的正切值；17．猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2BC＝2，CD＝．平面PAD⊥平面ABCD，∠PDA＝90°．(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；2)若二面角B﹣PA﹣D的正切值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．已知在中，角，，的对边分别为，，，.（1）若，求的值（2）若点在边上，且，，求面积的最大值.20232024学年高一数学下学期期末模拟卷（二）答案一、单选题1.下列结论正确的是（

）A．空间中三点确定一个平面B．空间中两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．一条直线和一个点能确定一个平面D．四边形一定是平面图形【答案】B【解】A选项，空间中三点若共线，则不能确定一个平面，A错误；B选项，如图，空间中两两相交且不共点的三条直线可确定三角形，而三角形为平面图形，故可确定一个平面，B正确；C选项，若点在此直线上，此时一条直线和一个点不能确定一个平面，C错误；D选项，四边形可能为空间四边形，此时不是平面图形，如图，三棱锥中，四边形就是空间四边形，D错误.2.设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（）A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】D【解】对于A中，由，，，，只有直线与相交时，可得，所以A错误；对于B中，由，，，则与平行、相交或异面，所以B错误；对于C中，由，，，则，所以C错误；对于D中，由，，可得，又因为，所以，所以D正确.3.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为B.圆锥的侧面积为C.圆柱的侧面积与球面面积不相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为【答案】D【解】因为圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则圆柱的侧面积为，A错误；圆锥的母线长，侧面积为，B错误；球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C错误；，，，D正确．4.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺内接于一体积的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为，则该陀螺的体积为（） B. C. D.【答案】B【解】，解得，球心为圆柱的中心，又圆柱的底面半径，∴球心到圆柱底面距离，∴圆柱的高为，圆锥的高为，∴该陀螺的体积为，如图，在正方体ABCD−A1B1

A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形【解】如图所示，取C1D1的中点P，连接PQ、PB1、AP，Q分别是C1D1，DD1AB1∥C1D，故故四边形AB1PQ是过A，Q，B故选：D．

6．如图所示，在长方体中，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解】设点E到平面的距离为h，因为点E是棱的中点，所以点E到平面的距离等于点B到平面的距离的一半，又平面过的中点，所以点B到平面的距离等于点D到平面的距离，由等体积法，所以，，，在中，，所以，则解得，即点E到平面的距离为.故选：B.7．已知三棱锥的底面是正三角形，平面，且，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解】如图所示：为中点，连接，，作于.平面，平面，故，，，故平面，平面，故，又，，故平面，即即为直线与平面所成角.设，，，故.,故选：B8．已知四面体ABCD满足，，，且该四面体ABCD的外接球的球半径为，四面体的内切球的球半径为，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解】由题设，可将四面体补全为如下长方体，长宽高分别为，

所以，四面体外接球即为长方体外接球，则半径，由题意，四面体的四个侧面均为全等三角形，，为三角形内角，所以，则，又，且，所以，即，综上，.故选：A多选题9．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（

）A．圆台的母线与底面所成的角为B．圆台的侧面积为C．圆台的体积为D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为【答案】ABD【解】对于A，因为圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线为，所以圆台的高为：，根据线面角定义求出母线与底面所成角，A正确；对于B，由圆台的侧面积公式，求得圆台的侧面积为：，B正确；对于C，由圆台的体积公式，求得圆台体积为：，C错误；对于D，由题意可知球心在下底面下方，设球心到下底面的距离为，由勾股定理得，解得，则该球的半径为，所以该球的表面积为，D正确．故选：ABD.10.如图，正方体的棱长为1，点是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.存在点，使面B.二面角的平面角大小为C.的最小值是D.到平面的距离最大值是【答案】AC【解】对于A，当与重合时，，根据线面平行的判定，可得使面，故正确；对于B，二面角就是二面角，其平面角大小为.故错；对于C，如图沿棱展开面为面，使点，，，，，共面，则的最小值为，故正确；对于D，当与重合时，垂直平面，此时点到面距离最大值为，故错.11．如图，设分别是正方体的棱上两点，且，下列说法正确的是（）A．异面直线与所成的角为B．三棱锥的体积为3C．平面与平面所成的二面角大小为D．直线与平面所成的角为【答案】ABD【解】A中由于，因此异面直线与所成的角就是与的夹角，为，A正确；B中，三棱锥的体积，B正确；C中，平面即为平面，为平面与平面所成的二面角的平面角，＝，C错误；D中，连接交于，连接，由正方体性质知，，而，因此平面，因此是直线与平面所成的角，在直角三角形中，，所以，D正确．故选：ABD．填空题12.一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图如图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面四边形的周长为______.解：把直观图还原为平面图形，如图所示，依题意，，所以，，则，所以原平面四边形的周长为.13.如图，在四面体中，，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是_____________．解：取的中点，连接，，因为为的中点，为的中点，所以且，且，所以即为异面直线与所成的角或其补角，又，，，所以，，所以，所以，所以为等腰直角三角形，所以；14．已知棱长为2的正方体，点是线段上一动点．给出如下推断：

①对任意点，总有；②存在点，使得平面；③三棱锥体积的最大值为4．则所给推断中正确的是______________．【答案】①②【详解】对于①，

连接，因为底面为正方形，所以，底面，底面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，故①正确；对于②，

取的中点，连接，设，连接，因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，此时，当为与的交点时，有平面，所以存在点，使得平面，故②正确；对于③，

因为的面积是确定的，要使三棱锥体积的最大值，只须点到平面的距离最远，即点与点重合时可取最大值，可得，因为，，所以，故③错误.故答案为：①③.解答题14．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且.(1)求角；(2)若，的面积为，求的周长.【解】(1)，由正弦定理可得，即，故，因为，故(2)由三角形面积公式，，故，故为等腰三角形，故，又，故，所以的周长为15．（2021春·江苏常州·高一校联考期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱的中点，，，．若平面与平面的交线为，求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值；【解】证明：（1）∵、面、面，∴面,面，又∵面面，∴．（2）解：连结，取中点，连结，，∵是的中点，是的中点，∴，∵，为的中点，∴，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，∴平面，∴是在平面内的射影，∴为与平面所成的角，∵，，为的中点，，∴四边形为矩形，∴，，又∵，∴中，，∴直线与平面所成角的正切值为．16．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.【解】(1)设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”.则，，，故，，.“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立.所以.答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.(2)设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.所以.解得.17．（2021春·江苏南京·高一南京市第一中学校考期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2BC＝2，CD＝．平面PAD⊥平面ABCD，∠PDA＝90°．(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；(2)若二面角B﹣PA﹣D的正切值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解】（1）证明：∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，∵，∴，∴∠DAC＝∠CDB，∵∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠CDB+∠DCA＝90°，∴AC⊥BD，∵平面PAD⊥平面ABCD，PD⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PD⊥AD，∴PD⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，∵PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面PAC．∴平面PAC⊥平面PBD．（3）如图，取AD中点E，连接BE，作EF⊥PA，垂足为F，连接BF，易知BCDE为正方形∴BE∥CD，BE⊥AD，∵平面PA