4.3.2等比数列的前n项和公式教学设计高二下学期数学人教A版选择性

教学设计

课程基本信息学科数学年级高二学期春季课题等比数列的前项和公式教科书书名：高中数学选择性必修第二册A版出版社：人民教育出版社教学目标1.从不同角度推导等比数列的前项和公式2.等比数列前项和公式的理解与应用教学内容教学重点：等比数列前项和公式的推导

2.等比数列前项和公式的推导方法的理解和迁移使用3.等比数列前项和公式的结构理解，记忆和应用

教学难点：从不同角度推导等比数列的前项和公式教学过程一、问题引入国际象棋起源于印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒...以此类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，20162017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.数学抽象：设第个格子里的麦粒数为，则，问题就是求数列的前64项和设计意图：通过故事激发学生的兴趣和热情，引入等比数列求和问题.二、问题解决师：同学们可以从特殊到一般，发现规律的方式去思考生：因为，所以可以归纳得到师：那么对于呢？（学生思考片刻后...)生：因为所以可以归纳得到师：那么对于一般的等比数列的前项和呢？（用表示）（学生经历了类比后，能够从特殊到一般归纳出一般等比数列的前项和公式）生：根据前面两个特殊的例子，我们不难猜到师：这个公式中有没有需要注意的地方（给学生提醒，目的是要让学生想到公比为1的特殊情形）生：当公比为1的时候，公式中分母为0，没有意义，此时是一个常数列，每项都和相同，所以我们应该分段写.公式应该写成（教师板书）师：非常好，同学们由特殊到一般归纳出了等比数列的前项和公式，但是这种归纳是不完全归纳，是不严谨的，还需要严格证明，后面我们学习数学归纳法后，我们可以用数学归纳法去证明我们的猜测.我们已经得到了公式，但方法上又不太严谨，有没有别的方法呢？大家可以先想一想，再在小组内交流想法（给学生充分的探究思考交流的时间）.接下来我们让各小组展示自己小组的成果.小组1：前面我们学习过裂项相消法求和，所以我们就试着把每一项都裂成两项的差的形式，，于是于是对于一般的等比数列我们按照这个思路去尝试，发现是可行的，因为当的时候，，所以师：非常棒，第一个小组能够去深入思考，用咱们已有的知识方法去解决未知的问题.小组2：老师，我们的方法更“简单”一些，所以师追问：你们是怎么想到这个方法呢？生：根据等比数列的和的特点，我们就试着提出一个公因式，然后就发现括号内的结构与完全类似，就是，而，我们就构造出了一个关于的方程.师：非常好，小组2利用到了与的关系构造方程，核心想法就是构造方程.小组3：老师，我们的做法是这样的（投影展示）：两个式子中间的项是相同的，于是两式相减得，所以当时师（小结）：很好，小组3的想法是消元法，目的是尽可能消去或者减少项数，我们给这种方法起个形象的名字“错位相减法”,分为三步“乘公比，错位减，求和”.小组4：根据等比数列的定义，由合比性质得，即，解得（）师：小组4利用了合分比性质构造了关于方程.师生共同小结：我们从5个角度推导出了等比数列的前项和公式，从特殊到一般（归纳），裂项相消法，构造方程组（利用的关系，利用合分比性质），错位相减法接下来我们来解决我们开始提出的问题国王总共应该给国际象棋发明者颗麦粒，合计亿吨，显然国王无法满足国际象棋发明者的要求，这也体现了等比数列的爆炸性增长.公式的理解和应用（1）公式的理解师：等差数列的前项和的结构特点是“常数项为0的二次函数（公差不为0），那么等比数列的结构特点是怎样的呢？（给学生思考片刻）时，提出一个具体问题：若一个数列等比的前项和为，则___（2）公式的应用例题1：①若，求；②若，求；③若，求.④若，求；⑤若，求.设计意图：①②③都是公式的直接使用，五个量知道其中三个量，可以求出剩下的两个量，④要解方程组，同时要考虑的情形，⑤可以解方程组，也可以类比等差数列的前项的性质可以得到等比数列前的性质：当为奇数或者时，构成公比为的等比数列.例题2：求和：记则两式相减得当时，；当时，；当时，，所以综上：设计意图：把等比数列求和方法进行迁移，