3 培优点4　焦点三角形

焦点三角形椭圆或双曲线上的点P(x0，y0)与左、右焦点构成的三角形称为焦点三角形，其中∠F1PF2为顶角θ，F1F2为底边．(1)在椭圆中，①焦点三角形的周长是定值，l＝2a＋2c.②△PF1F2中三边的关系，除定义|PF1|＋|PF2|＝2a外，还有余弦定理：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.③|PF1|·|PF2|的最大值为a2(当且仅当x0＝0时取得)，最小值为b2(当且仅当x0＝±a时取得).④S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取得最大值，最大值为bc.(2)在双曲线中，双曲线上的一点(非实轴端点)与两个焦点构成的三角形为焦点△PF1F2，由余弦定理与定义可得S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))＝c·|yP|.类型一焦点三角形的面积计算已知双曲线C：eq\f(x2,4)－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，且满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是________．【解析】方法一：不妨假设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝4.由余弦定理，知|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2，即20＝16＋|PF1||PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝4，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq\r(3).方法二：易知b2＝1，所以S△F1PF2＝eq\f(b2,tan\f(∠F1PF2,2))＝eq\f(1,tan30°)＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)类型二焦点三角形与离心率椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中c＝eq\r(a2－b2)，则椭圆M的离心率e的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))【解析】由基本不等式，得(|PF1|＋|PF2|)2≥4|PF1|·|PF2|.又|PF1|＋|PF2|＝2a，所以4a2≥4|PF1|·|PF2|，即|PF1|·|PF2|≤a2，所以(|PF1|·|PF2|)max＝a2，此时|PF1|＝|PF2|＝a，所以2c2≤a2≤3c2，得2e2≤1≤3e2，所以eq\f(1,3)≤e2≤eq\f(1,2).又0<e<1，所以eq\f(\r(3),3)≤e≤eq\f(\r(2),2).【答案】A1.如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的eq\f(2,3)，则椭圆的离心率为()A．eq\f(\r(5),3)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(1,3)D．eq\f(4,5)解析：选A.设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a，b，c，可得焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(2,3)b))，因为在Rt△MF1F2中，F1F2⊥MF2，所以|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋eq\f(4,9)b2＝|MF1|2，根据椭圆的定义得|MF1|＋|MF2|＝2a，可得|MF1|2＝(2a－|MF2|)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(2,3)b))eq\s\up12(2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(2,3)b))eq\s\up12(2)＝4c2＋eq\f(4,9)b2，整理得3(a2－c2)＝2ab，所以3b2＝2ab，解得b＝eq\f(2,3)a，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\f(\r(5),3)a，因此可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，所以该椭圆的离心率等于eq\f(\r(5),3).故选A.2．设F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足∠F1PF2＝60°，且以PF1，PF2为邻边的平行四边形的两对角线长分别为2c，4b，则该双曲线的离心率为()A．eq\r(3)＋1 B．eq\r(5)C．eq\r(2) D．eq\f(1＋\r(3),2)解析：选C.由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，由平行四边形知|PF1＋PF2|＝4b.同时将上述两式等号两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2，|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|cos60°＝16b2，所以3(|PF1|2＋|PF2|2)＝32b2＋4a2，3|PF1||PF2|＝16b2－4a2.(*)由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－4c2＝2|PF1|·|PF2|cos60°，将(*)式代入，可得4b2＋2a2－3c2＝0，而c2＝a2＋b2，整理得c2＝2a2，故该双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2)a,a)＝eq\r(2).故选C.3．(2022·昆明八中高二期中)设椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是________(填序号).①当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6；②当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为eq\r(3)；③存在点P，使PF1⊥PF2.解析：对于①，由椭圆的方程可知，a＝2，b＝eq\r(3)，则c＝eq\r(a2－b2)＝1.根据椭圆的定义，知△PF1F2的周长为2a＋2c＝6，故①正确；对于②，设P(x0，y0)(y0≠0)，S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y0|＝|y0|，因为0<|y0|≤b＝eq\r(3)，所以△PF1F2面积的最大值为eq\r(3)，故②正确；对于③，当点P位于椭圆短轴的一个端点处时，∠F1PF2最大，此时|PF1|＝|PF2|＝a＝2，又|F1F2|＝2，所以△PF1F2为正三角形，∠F1PF2＝60°，所以不存在点P，使PF1⊥PF2，故③错误．答案：①②4．已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P在椭圆上，且△PF1F2的面积为eq\f(\r(2),2)b2，求cos∠F1PF2的值．解：依题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2，,|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝4c2，))整理得|PF1|·|PF2|＝eq\f(2b2,1＋cos∠F1PF2).因为△PF1F2的面积为eq\f(\r(2),2)b2