基础课04 基本不等式

8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面PCD．【答案】(Ⅰ)证明：取AD中点为O，BC中点为F，由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD⎳FO，则CD⊥AE，又E是PD中点，则AE⊥PD，由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE⊂平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；基础课04基本不等式课时评价·提能基础巩固练1.若实数a，b满足a+b=1，则A.2 B.1 C.12 D.[解析]∵ab≤a∴ab≤122，即ab≤14∴abmax=12.函数y=3x+A.4 B.23−3 C.2[解析]因为x>1，所以y=3x−1+1x−1+3≥23x−13.已知正实数x，y满足2x+1y=A.2 B.4 C.8 D.12[解析]由x>0，y>0且2所以4xy−当且仅当4yx=xy，即x=4，y=4.若−1<x<1A.最大值−1 B.最小值−1 C.最大值1[解析]由−1<x<所以y=−12⋅1−x2+11−x=−12[1−x+115.下列不等式恒成立的是（D）.A.x+1xC.a+b2[解析]对于A，当x<0时，不等式显然不成立，故A对于B，“a+b≥2ab”成立的条件为“a≥0,对于C，当a=−b≠0时，不等式显然不成立，故对于D，由a2+b2−2ab=a−故选D.6.若用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，规定车厢宽度为2A.38−373m3 B.16[解析]设长方体车厢的长为xm，高为ℎm，则2x∴16=x+解得0<∴0∴车厢的容积V=2xℎ≤16m3,当且仅当x=2ℎ,∴车厢容积的最大值为16m3.7.最大视角问题是德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般被称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面12米，树上另一点B离地面8米，若某人站在高台上仰视此树，其双眼在离地面2米的C处，则tan∠ACB的最大值为（CA.55 B.1010 C.1515[解析]如图，过点C作CD⊥AB，交AB于点D，则AB=4,设∠BCD=α,CD=xx>0在Rt△ACD中，tan∠所以tan∠ACB=tan∠ACD−α=10x−6x1+10x⋅6x=8.已知正实数a，b满足ab+a+b=A.26−3 B.22 [解析]因为a>0,b>所以ab+1=由a=2−bb+1>0，得0所以a+当且仅当3t=2t，即t=62则a+2b的最小值为26−综合提升练9.（多选题）已知a，b是两个正数，4是2a与16b的等比中项，则下列说法正确的是（A.ab的最小值为1 B.ab的最大值为1C.1a+1b的最小值为94[解析]因为2a⋅16b所以a+4b=4≥24ab，可得ab≤1，当且仅当a所以ab的最大值为1，故A错误，B正确.因为1a+1b=1a+1b⋅a+4b⋅14=141+4+4ba+ab≥110.（多选题）以下说法正确的是（AB）.A.若x>0，则2B.当a2+C.关于x的不等式x2+2x≥ax在[D.当x∈(0,π2)[解析]对于A，因为x>0，所以3x+3x≥23x⋅3x=6(当且仅当3x=3x，即x=1对于B，因为a2+b2≥2ab，所以2a2+b2≥a+b2对于C,关于x的不等式x2+2x≥ax在[1,2]上有解等价于a≤x对于D，当x∈(0,π2)时，sinx∈0,1，令t=sinx∈0,1，ft=t+2t，由对勾函数的性质易知f11.设x,y∈R,a>1,b>1，若ax=[解析]因为ax=by=6又loga6⋅所以1x=log因为a>1,b>1当且仅当2a=b，即a=4,b所以ab≤所以1x所以1x+1y12.（双空题）已知实数x，y，z不全为0，则w=y2+2xzx[解析]w=y2+2xzx2+y2+z2≥yw=y2+2xzx2+y2+z2应用情境练13.某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费（单位：万元）与供热站到社区的距离（单位：千米）成反比，每月供热费（单位：万元）与供热站到社区的距离成正比.如果在距离社区20千米处建立供热站，自然消费与供热费分别为0.5万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处.[解析]设供热站建在离社区x千米处，自然消费y1=k1x万元，由题意得,当x=20时，y1所以k1=20所以y1=10所以两项费用之和为y1当且仅当10x=2x5，即x=所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处.14.毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形（如图1）.现由毕达哥拉斯树部分图形作出图2，△ABC为锐角三角形，面积为1,∠ACB=π6，以△ABC的三边为边长的正方形的中心分别为M1,M2[解析]由题意知，S△ABC=设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c因为S△ABC=12absin∠由余弦定理得c2在△M2AM3中，A由余弦定理可得M2又S△ABC=12bcsin∠同理，M1M2故M1M22+M2M32+M3M12=创新拓展练15.已知a>0，b>0，曲线fx=lnx−2x+4在[解析]由fx=lnx∴f又f1=2，∴直线l：∵点Ma,b在直线l上又a>0，b>0，∴1a+1b+1=∴1a+16.已知函数fx（1）若f1=1，且n（2）求证：函数y=fx在[[解析]（1）若f1=1，则m+∵m>0，n>−2∴1m