基础课32 等差数列

8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面PCD．【答案】(Ⅰ)证明：取AD中点为O，BC中点为F，由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD⎳FO，则CD⊥AE，又E是PD中点，则AE⊥PD，由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE⊂平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；基础课32等差数列课时评价·提能基础巩固练1.已知等差数列{an}满足a1=−2,A.−2 B.2 C.4 [解析]设公差为d，因为a6+a8=2a7=20，所以a2.(2024·九省适应性测试)记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16=(C).A.120 B.140 C.160 D.180[解析]因为a3+a7=2a5=6,所以a5=3,所以a5+a12=3+17=20,所以S16=(a1+a16)×162=8(故选C.3.已知在等差数列{an}中，a5，a17是方程xA.6 B.30 C.63 D.126[解析]a5，a17是方程x2−6x−21所以等差数列{an}的前21项的和S214.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若4S1=A.3 B.7 C.11 D.15[解析]设等差数列{an}由4S1=3解得a1所以a10=a15.[2024·辽宁联考]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6A.150 B.120 C.75 D.60[解析]由等差数列的性质可得，a6+a7+a8+a96.[2024·哈尔滨模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S6A.18 B.13 C.−13 D.[解析]由S6=−5S3，∵{an}为等差数列，∴S3，即a，−6a，S9−S6成等差数列，∴S9S37.（改编）已知等差数列{an}的各项均不相等，其前n项和为Sn，若A.a2m+1=0 B.a2m[解析]设等差数列{an}的公差为d，因为{an}的各项均不相等，所以d≠0.由am2+am+12=am所以S2m+2=8.某会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=⋯=A7A.25 B.24 C.5 D.4[解析]由题意知，OA△OA1A2，△OA2A∴a1=1，且a∴数列{an2}是以1∴a又an>0，∴an=n，∴∴a25=25综合提升练9.（多选题）若{an}A.{an+3} B.{a[解析]设等差数列{an}的公差为d，当n≥2对于A，an+1+3−an+3=an对于B，an+12−an2=dan+对于C，an+2+an+1−an+1对于D，2an+1+n+1−2an+n=210.（多选题）已知公差为d的等差数列{an}满足a2=A.d=2 C.1an2−1=1[解析]由题意得a2a6+a8解得a1=3,d=2,因为an2−1=2n2n+2数列{1an2−1}的前n项和为14111.已知数列{an}满足a1=12，且[解析]对an+1=an3an所以数列{1an}是首项为2，公差为3的等差数列所以an12.已知等差数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足S[解析]设等差数列{an}的首项为a1令n=1,得a1a令n=2,得由4a1=2即2a因为等差数列{an}的各项均为正数，所以2a1+3d>0，所以an应用情境练13.南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，这是数学史上一个伟大的成就.如图所示，在“杨辉三角”中，前n行的数字总和记作Sn.设an=3log2Sn+1+1，将数列{a[解析]由杨辉三角可得，Sn所以an若an=3n+1=3k，k为正整数，若an=3n+1=3k+1，k若an=3n+1=3k+2，k所以数列{bn}是由从2开始的不是所以T2022所以T202214.已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N∗您选择的条件是

和

.（1）求数列{a（2）设数列{bn}满足bn=1a[解析]（1）当选①②时：由an+1−an=2，由a5=5，解得a1所以an=−3+当选②③时：由an+1−an=2，由S2=−4，可知a1解得a1故an=−3+选①③这两个条件无法确定数列.（2）由（1）知an=2n−Tn创新拓展练15.在数列{an}中，an+2−an=2n∈N∗,[解析]因为an+2−an=2，所以a1,a3,a5,⋯是以a1为首项，2为公差的等差数列，a2,当n为奇数时，an当n为偶数时，an所以an当n为偶数时，S=2=2=n=1故当n=22时，Sn当n为奇数时，Sn故当n=21或n=23时，Sn16.已知各项均为正数的数列{an}，{bn}满足a1=2，b1=4，且（1）求证：数列{bn（2）记cn=1an+1an+1[解析]（1）各项均