2024届重庆市南开中学高三第四次质量检测数学试题及答案

重庆市高2024届高三第四次质量检测数学试题2023.12命审单位：重庆南开中学注意事项：1.本试卷满分150分,考试时间120分钟。2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.2+i1.||=1−i592162D.32A.B.C.222.设集合.A=x|log₂≤2,x∈Z,，则A集合的真子集个数为(x+2)B.313.已知直线a、b与平面α、β，下列命题正确的是A.32C.16D.15A.若a∥b,b⊂α,则a∥αC.若a⊥α,b⊂α,则a⊥bB.若a∥α,b⊂α,则a∥bD.若α⊥β,a⊂α,则a⊥β4.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=23,则向量a与b的夹角等于πππ2πA.6B.3C.−6D.3b135.已知实数a、b、c满足:2a==log2c,则下列关系不可能成立的是C.a<c<bD.b<c<aA.b<a<cB.a<b<c6.如图,将钢琴上的12个键依次记为a₁,a₂,…,a₁₂.设1≤i<j<k≤12,若k-j=3且j-i=4,则称a₂,aₖ为原位大三和弦.现随机按下两个白键和一个黑键，则恰好按下的是一个原位大三和弦的概率为2111A.B.C.D.10510535217.设抛物线E:y²=2px(＞0)的准线与x轴的交点为N，O为坐标原点，经过O、N两点的圆C与直线3x+y+5=0p第1页共4页相切,圆C与抛物线E的另一个交点为P,若sin∠OPN=10,则p=10545545A.2或B.2或4C.或D.2或228.将一张如图所示的两直角边长度分别为8和15的直角三角形硬纸片，沿虚线剪成四块，这四块纸片恰好可以通过折叠，拼接形成一个密封的直三棱柱模型，则所得直三棱柱模型的体积为A.30B.24E.20D.1.8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的有A.函数|f(x)|是偶函数B.函数f(x+1)的图象关于点(1,0)对称D.函数f(x+1)+f(x-1)是奇函数C.函数f(x+1)+f(x-1)是偶函数10.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,P为棱C₁D₁上任意一点(含端点),下列说法正确的有A.直线AP与直线BC₁一定异面C.直线AP可能与平面C₁BD平行B.直线AP与直线A₁D一定垂直D.直线AP可能与平面A₁BD垂直,11.已知数列{a}和{b}都是等差数列,a₁=b₁=2,a₄=b₃,a₅=b₂+a₃,设集合A=∗,B=x|x=an∈Nn,′nn∗,C=A∪B,，若将集合C中的元素从小到大排列，形成一个新数列{cn}，下列结论正确的有B.c₂₀=b₁₀x|x=bn∈NnA.aₙ=4n−2C.c₂₀=a₁₅D.数列{c}的前20项和为610n,和F₂(c,0),点A、B分x2y212.如图，双曲线C:−=1(＞0,b>0)的左右焦点分别为F₁a(−c0)a2b2别在双曲线C的左、右两支上,O为坐标原点,且∠AOB=90°,则下列说法正确的有A.双曲线C的离心率e>22B.若|OA|=|OB|且SAOB=c2,则C的渐近线方程为y=±2x3C.若|AF₁|+|BF₂|=|AB|,则∠F₁AO=∠BAOD.若∠F₁AO=∠BAO,则∠ABO=∠OBF₂三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线l₁:x+y+2=0与直线l₂:ax+3y+4=0平行，则实数a的值为.(a−2)π2π14.已知sin=,则sin=.α−2α+636,,一条对称轴为x=,则ω的最015.已知直线xsinθ+2ycosθ=2(θ∈R)与圆D:x²+y²=4交于A、B两点，则弦长|AB|的最大值为.πππ16.已知函数f=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<),曲线y=f(x)的一个对称中心为(x)2412小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.π17.(本小题满分10分)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且b=3,A=,a=373(1)求△ABC的面积；(2)设D为线段AB上一点,且AD⋅AC=9,求CD⋅CB的值.第2页共4页18.(本小题满分12分)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽取了40名学生，按照性别和体育锻炼情况整理得到如下的列联表：锻炼性别合计不经常经常女生男生合计5510203015254010(1)根据上表数据，依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为性别因素会影响学生体育锻炼的经常性?(2)如果将表中的数据都扩大为原来的n∗倍，在相同的检验标准下，得到与(1)中不一样的结论.(n∈N)(i)求n的最小值;(1)如果抽样方式不变，你认为(1)和(2)的结论哪个更可靠，并说明理由.n(ad−bc)2附:χ2=,其中n=a+b+c+d(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)α0.10.050.010.0057.8790.001xα2.7063.8416.63510.82819.(本小题满分12)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB‖CD,∠ABC=90°,BC=CDAB=2,PD⊥面ABCD,M为棱PA的中点,经过M、C、D三点的平面α交棱PB于点N.(1)求证:CN∥平面PAD;(2)若直线PB与平面PAD所成角大小为45°,，求平面PBC与平面PAD所成角的余弦值.2a−3,n为奇数20.(本小题满分12分)已知数列{a}满足a=3,a=n，bn=a2n−1−1,n∈N∗为偶数n1n+12a+3,n为偶数n(1)求证:数列{bn}是等比数列;(2)记数列{a}的前n项和为S,数列{b}的前n项和为Tₙ,，是否存在常数λ，使得S₂ₙ=λTₙ,若存在，求出λ的nnn第3页共4页值；若不存在，请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数.f=xlnx−ax+2,g(x)(x−4)eˣ⁻²,a∈R.=(x)(1)若曲线y=g(x)在点(2,g(2))处的切线与曲线y=f也相切，求实数a的值.(x),(2)若不等式f(x)+g(x)≥0对任意的.x∈恒成立，求a的取值范围.(e=2.71828为自然对数的底数)(0+∞)22.(本小题满分12)椭圆C:x2y2+=(＞1b>0)的左右焦点为F₁和F₂,，O为椭圆的中心，过F₁作直线l₁、l₂,分别aa2b2交椭圆C于