新人教A版必修一 函数模型及其应用 学案

2019-2020学年新人教A版必修一函数模型及其应用学案

1.几类函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f（x）=ax+b（a,b为常数,〃W0）

反比例函数模型式x）=错误！+6伏力为常数且上片0）

1

二次函数模型f（.x）=ax+bx+c（afb,c为常数，aWO）

指数函数模型/（x）=b/+c（a,b,c为常数，b于0,a）0且aWl）

对数函数模型y（x）=bk）g«x+c（。力,c为常数2W0,G>0且a#l）

幕函数模型Ax）^a^'+b（a,b为常数，aWO）

2o三种函数模型的性质

数

y=（fCa>l）y=logd（a〉1））=?（〃〉0）

性质

在（0,+8）上的增减

增加的增加的增力口的

性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表现随X的增大逐渐表随n值变化而

图像的变化

为与y轴平行现为与X轴平行各有不同

值的比较存在一个沏,当X>xo时，有lo&x（Z<av

【知识拓展】

1.解函数应用题的步骤

2.“对勾”函数

形如於）=x+错误!（4>0）的函数模型称为“对勾”函数模型：

（1）该函数在（一8,—/］和［错误！，+8）上是增加的，在［一错误！，0）和（0,错误!1

上是减少的.

（2）当x>0时，x=错误!时取最小值2错误！，

当x〈0时，x=一错误!时取最大值一2错误!.

基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或"X")

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出

售，则每件还能获利.(X)

(2)函数y=2*的函数值比的函数值大.(X)

(3)不存在JCO，使""<xn0<logaxo»(X)

(4)在(0,+8)上，随着x的增大，y="(»1)的增长速度会超过并远远大于y=L(a〉

0)的增长速度.(J)

(5)“指数爆炸”是指数型函数y^a-b'+cQW0力>0,6W1)增长速度越来越快的形象比

喻.(X)

A.收入最高值与收入最低值的比是3：1

B.结余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D.前6个月的平均收入为40万元

答案D

解析由题图可知,收入最高值为90万元，收入最低值为30万元,其比是3：1,故A正确；

由题图可知,7月份的结余最高，为80—20=60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份

的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确油题图可知，前6个月的平

均收入为错误！X(40+60+30+30+50+60)=45(万元)，故D错误.

3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生

产成本为C(x)=错误!f+2x+20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企

业一个月应生产该商品数量为万件.

答案18

解析利润〃》）=20*—（?（》）=一错误！（X-18）2+142,

当x=18时,L（x）有最大值.

4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长

度为.

答案3

解析设隔墙的长度为x（0〈X〈6）,矩形面积为y,

则丫=%、错误！=2x（6—犬）=一2（x-3）2+18,

当x=3时，y最大.

题组三易错自纠

5.国家规定个人稿费纳税办法:不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按

超过800元部分的14%纳税;超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书,

共纳税420元，则这个人应得稿费（扣税前）为（）

A.2800元B.3000元

C.3800元D.3818元

答案C

解析由题意，知纳税额y（单位：元）与稿费（扣税前）x（单位：元）之间的函数关系式为

y=错误！

由于此人纳税420元，

所以800GW4000时，令（x—800）X0.14=420,

解得x=3800,

x〉4000时，令0。112r=420,解得x=3750（舍去），

故这个人应得稿费（扣税前）为3800元.

6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为名则该市这

两年生产总值的年平均增长率为.

答案错误！一1

解析设年平均增长率为X,则（l+x）2=（l+p）（l+g）,

错误！—1.

题型分类深度剖析

---------------------------------------------真题典题深度剖析重点难点多维探究---------------------------------------------

题型一用函数图像刻画变化过程一-自主演练

1.高为“，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流

出，若鱼缸水深为人时水的体积为。，则函数。=式6）的大致图像是（）

答案B

解析v=f（h）是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B。

2.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种

绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Qo,各种方

案的运输总量。与时间，的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运

输量）逐步提高的是（）

答案B

解析由运输效率（单位时间的运输量）逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大,

故函数的图像应一直是下凸的，故选B.

3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆

汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是（）

A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多

C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80千米〃卜时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

答案D

解析根据图像所给数据，逐个验证选项.

根据图像知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A错；以相同速度行驶时,

甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错;甲

车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时,里程为80千米，消耗8

升汽油，故选项C错;最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，

在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对.

思维升华判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法

（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像.

（2）验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，脸证是否吻合，

从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.

题型二已知函数模型的实际问题……师生共研

典例（1）（2017•石家庄质检）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称

为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间f（单位：分钟）满足函数关系p=

4尸+以+。（a,"。是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可

以得到最佳加工时间为分钟.

答案3。75

解析根据图表，把（秘）的三组数据（3,0。7）,（4,0.8）,（5,0.5）分别代入函数关系式，

联立方程组得错误！

消去c化简得错误！

解得错误！

所以p=-0.2尸+1。5f—2=-］错误！+错误!-2=一错误!错误!2+错误！，所以当/=错误!

=3.75时,p取得最大值，即最佳加工时间为3。75分钟.

（2）某食品的保鲜时间y（单位:小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系、=卢+&（e=2。

718…为自然对数的底数，k,b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃

的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是小时.

答案24

解析由题意得错误！，e22&=错误！=错误！，

・・.e""=错误！，，无=33时,y=e33H）=©"）

=错误!3・192=错误！X192=24（小时）.

思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

(3)利用该模型求解实际问题.

跟踪训练(1)拟定甲、乙两地通话机分钟的电话费(单位：元)由06(0o5Lw]+1)

给出，其中心0,[〃?]是不超过，〃的最大整数(如[3]=3,[3o7]=3,[3.1]=3),则甲、

乙两地通话6.5分钟的电话费为元.

答案4。24

解析；m=6。5,[ml=6,则/(6。5)=1.06X(0。5X6+1)=4.24.

(2)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万

元.又知总收入K是单位产品数。的函数，K(Q)=4O0一错误!e2,则总利润〃Q)的最大值

是万元.

答案2500

解析L(。)=40。一错误!Q2-10Q-2000

=一错误!。2+30。-2000=一错误!(g-300)2+2500。

则当Q=300时，L(Q)的最大值为2500万元.

多维

题型三构建函数模型的实际问题

命题点1构造一次函数、二次函数模型

典例(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费>(元)之间的关系由如

图所示的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.

答案19

解析由图像可求得一次函数的解析式为y=30x-570,令30犬—570=0,解得x=19.

(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个,己知这种商品每涨价1

元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为元.

答案95

解析设每个售价定为x元，则利润y=(x-80>[400—(x-90)20]=-20[(x-95产-225].

当x=95时，y最大.

命题点2构造指数函数、对数函数模型

典例一片森林原来面积为",计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到

面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的错误！，

己知到今年为止，森林剩余面积为原来的错误!。

(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

解(1)设每年降低的百分比为x(0a<i),

则。(1-x>°=错误!”，即(1—x)”>=错误！，

_i_

解得x=l-错误！而.

(2)设经过m年剩余面积为原来的错误!，

m1

则a(1一刀产=错误!a,即错误！历=错误！,

即错误！=错误！，解得〃7=5.

故到今年为止，该森林已砍伐了5年.

引申探究

本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？

解设从今年开始，以后砍了〃年，

则〃年后剩余面积为错误!a(1-x)".

令错误!a(1—x)"2错误!a,即(I—x)错误!，

21

错误！历2错误！-即错误!W错误！，解得"W15.

故今后最多还能砍伐15年.

命题点3构造尸x+错误!(Q0)型函数

典例(1)(2018届中原名校质检)高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高,

上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第〃层楼时，上下楼造成的不满意度

为〃，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满

意度降低，设教室在第"层楼时，环境不满意度为错误!，则同学们认为最适宜的教室应在()

A.2楼B.3楼

C.4楼D.8楼

答案B

解析由题意知同学们总的不满意度

y=〃+错误！32错误！=4错误！，

当且仅当”=错误!，即〃=2错误！时等号成立，

又•.•当"=3时，不满意度y的值比"=2时不满意度)，的取值小，

,同学们认为最适宜的教室应在3楼.

（2）（2017•南昌模拟）某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为

60。（如图），考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9错误!平方米，

且高度不低于错误!米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长（梯形的上底线段BC与两腰长

的和）为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即横断面的外周长最小），则防

洪堤的腰长尤=.

答案2错误！

解析由题意可得BC=错误!一错误!，

错误！+错误！22错误！=6错误!.

当且仅当错误！=错误！（2Wx<6）,

即x=2小时等号成立.

命题点4构造分段函数模型

典例（2017•山西孝义模考）某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使

用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，

则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便

于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于

这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去

管理费用后得到的部分）.

（1）求函数y=«r）的解析式；

（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

解（1）当xW6时，y=50x-115,

令50x-115>0,解得x>2,,3,

为整数，，3<xW6,xGZo

当x>6时，

产［50—3（x-6）］x-115=-3f+68x—115。

令一3f+681一115〉0,有3/—68x+115<0,结合x为整数得6〈xW20,xGZ.

.•.尸错误！

（2）对于y=50x-115（3WxW6,<GZ）,

显然当X=6时，ymax=185；

对于y=-3*+68x-115=-3错误!2+错误！（6GW20,xGZ）,当x=ll时,丫皿=270.

•；270>185,二当每辆自行车的日租金定为11元时才能使一日的净收入最多.

思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，

将文字语言转化成教学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的

限制.

跟踪训练(1)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品

还需要增加投资1万元，年产量为MX6N+)件.当xW20时，年销售总收入为(33x—f)万元;

当x>20时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万

元，则)，(万元)与x(件)的函数关系式为,该工厂的年产量为

件时，所得年利润最大.(年利润=年销售总收入一年总投资)

答案y=错误！(xSN+)16

解析当0aW20时，)，=(33x—/)—x-100=-f+32x-100；当x〉20时，丫=260—100

一X—160—x<>

f-/+3级一100,0GW20,

故y=1、(x£N+).

L160-x,x〉20

当0GW20时，y=-/+32r-100=-(%-16)2+156,

当x=16时,ymax=156.

而当x〉20时，160—》<140,

故当x=16时取得最大年利润.

(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20000元,每天需

要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R

与门面经营天数x的关系是/?*)=错误!则总利润最大时，该门面经营的天数是.

答案300

解析由题意，总利润

)=错误！

当0WxW400时，》=一错误！(x-300)2+25000,

所以当x=300时，ymax=25000；

当x〉400时，y=60000-100x<20000,

综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25000元.

------------------答题模板-------------------

函数应用问题

典例(12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万

部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机尤万部并全部销售完，每万部的销

售收入为R(x)万美元，且R(x)=错误！

(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；

(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.

思维点拨根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”

函数的最值的结论.

规范解答

解(1)当0aW40时，W=xR(x)-(16x+40)

=-6X2+384X-40,[2分]

当犬>40时,卬=*/?(x)-(16x+40)

=一错误！-16x+7360.

所以W=错误！[4分]

(2)①当0<x<40时，W=-6(X-32)2+6104,

所以Wmax=W(32)=6104；[6分]

②当X〉40时，卬=一错误！-16x+7360,

由于错误！+16x>2错误！=1600,

当且仅当错误！=16x,即x=50G(40,+8)时，取等号，

所以此时W的最大值为5760.[10分]

综合①②知，

当x=32时，W取得最大值6104万美元.[12分]

答题模板

解函数应用题的一般步骤：

第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；

第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.

课时作业

X基础保分练

1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数

中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()

X1.992345.156o126

ylo5174.04187o51218o01

A.y=2x—2B.y=错误！（x2—1）

C.y=log>D.y—\ogjx

答案B

解析由题中表可知函数在（0,+8）上是增函数，且），的变化随x的增大而增大的越来越

快，分析选项可知B符合，故选B。

2.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%）,仍可获利10%（相对进货价），

则该家具的进货价是（）

A.118元B.105元C.106元D.108元

答案D

解析设进货价为。元，由题意知

3.国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%,超过280万元的部

分按（p+2）%征税，有一公司的实际缴税比例为（p+0。25）%,则该公司的年收入是（）

A.560万元B.420万元

C.350万元D.320万元

答案D

解析设该公司的年收入为x万元（x>280）,则有

错误！=（p+0.25）%,

解得x=320。故该公司的年收入为320万元.

4.（2018•湖南衡阳、长郡中学等十三校联考）某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发

资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资

金比上一年增长12%,则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参

考数据:1g1。12^0.05,1g1.3^0.11,lg2«0.30）（）

A.2017年B.2018年

C.2019年D.2020年

答案D

解析设从2016年起，过了“（“CN+）年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130X

（1+12%）"2200,则“》错误!心错误!=3。8,由题意取”=4,

则”+2016=2020。故选D.

5.某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10n?的，按

每立方米〃，元收费;用水超过10nP的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16,”元,则该职

工这个月实际用水为（）

A.13m3B.14m3

C.18m3D.26m3

答案A

解析设该职工用水xn?时，缴纳的水费为y元，由题意得y=错误！

则10，〃+（X—W）-2m—16m,

解得x—13o

6.某汽车销售公司在4,8两地销售同一种品牌的汽车，在4地的销售利润（单位：万元）

为y=4。lx—0olx2,在B地的销售利润（单位：万元）为>2=2X,其中x为销售量（单位：

辆），若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是（）

A.10。5万元B.11万元

C.43万元D.43（,025万元

答案C

解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在8地销售该品牌的汽车（16—x）辆，所以

可得利润

y=4.1x-Ol，+2（16-x）=-0.1f+2.£+32=-0.1错误!2+01X（10.5）2+32»

因为xG[0,16]且xCN,所以当x=10或11时，总利润取得最大值43万元.

7.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为），=/（其中％为常数，，

表示时间，单位：小时，y表示病毒个数），则％=,经过5小时，1个病毒能繁殖

为个.

答案21n21024

解析当/=0。5时，y=2,/.2=e2,

.,.左=21n2,.*.y=e2,ln2,

当t=5时，y=el0ln2=210=l024.

8.“好酒也怕巷子深"，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品

靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=〃错误!（。为常数），广告效应为错误！

—A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为.（用常数a表

示）

答案错误!万

解析令『错误!”20）,则A=户，

.,.£>=〃一产=一错误!错误!标，

.•.当/=错误!a,即4=错误!M时，。取得最大值.

9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x

为m.

40m

40m

答案20

解析设内接矩形另一边长为ym,

则由相似三角形性质可得错误!=错误!，

解得y=40—x,

所以面积S=X(40-X)=—A2+40X=—(X—20)2+400(0<x<40),

所以当X=20时，Smax=400.

10.某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以。km/h的速度直达灾区，已知某市到

灾区公路线长400km,为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于错误!2km,那么这批物资全

部到达灾区的最少时间是h(车身长度不计).

答案12

解析设全部物资到达灾区所需时间为fh,由题意可知，f相当于最后一辆车行驶了错误!

km所用的时间，因此，r=错误！212,

当且仅当错误！=错误!，即。=错误！时取.

故这些汽车以错误！km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12h.

11.已知某物体的温度。(单位：摄氏度)随时间“单位:分钟)的变化规律:。=帆>+21飞■(),

并且根〉0).

(1)如果机=2,求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；

(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求机的取值范围.

解(1)若机=2,则。=22+2皿=2错误！，

当0=5时，7+错误！=错误！，

令T=x>l,则x+错误！=错误！，

即Zx2—5x+2=0,解得x=2或x=；(舍去)，

此时仁1。所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度.

(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即恒成立.

亦m-2'+错误！》2恒成立，亦即团22错误!恒成立.

令错误！=x,则0(xWl,所以加22(%—JC2),

由于x-/W错误！，所以机N错误!.

因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时一的取值范围是错误!。

12.某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书售价

定为x元时，销售量可达到15—。民万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改

革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动

价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套

丛书的利润=售价一供货价格，问：

(I)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？

(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？

解(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15—0.1X100=5(万套)，此时每套供货价格

为30+错误！=32(元)，书商所获得的总利润为5X(100-32)=340(万元).

(2)每套丛书售价定为x元时，由错误！

解得0G〈150。

依题意，单套丛书利润

P=x一错误！=x一错误！—30,

所以P=-错误!+120.

因为0〈X〈150,所以150-x>0,

则(150-力+错误!

22错误！

=2X10=20,

当且仅当150—,

150—x

即x=140时等号成立，

此时，Pmax=一20+120=100。

所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元.

土技能提升练

13.已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套公寓房月租金定为3000元时，

这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就

会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用

(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为

____元,

答案3300

解析由题意，设利涧为y元，每套房月租金定为3000+50X元(0WxW70,xGN),则y

=(3000+50%)(70—x)-100(70-x)=(2900+50x)(70—x