山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-古典概型含答案解析

第2讲古典概型

［考纲解读］1.理解古典概型及其概率计算公式，能计算一些随机事件包含基

本事件及其事件发生的概率.(重点、难点)

2.了解随机数意义，能运用模拟方法估计概率.

［考向预测］从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点之一.预测2021

年将会考查：①古典概型的基本计算；

②古典概型与其他知识相结合.题型以解答题为主，也可出选择题、填空题,

与实际背景相结合，试题难度中等.

基础知识过关

对应学生用书P185

1.基本事件的特点

⑴任何两个基本事件都是退互用的.

⑵任何事件(除不可能事件)都可以表示成底基本事件的和.

2.古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.

⑴有限性：试验中所有可能出现的基本事件G只有有限个.

(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性正相等.

3.如果一次试验中可能出现的结果有〃个，而且所有结果出现的可能性都相

等，那么每一个基本事件的概率都是3；；如果某个事件A包括的结果有m

个，那么事件A的概率P(A)=Q2低.

4.古典概型的概率公式

A包含的基本事件的个数

()一基本事件的总数

诊断自测

1.概念辨析

(1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的.()

(2)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本

事件是“发芽与不发芽”.()

⑶掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个

结果是等可能事件.()

(4)从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古

典概型.()

答案(1)X(2)X(3)义(4)义

2.小题热身

(1)同时抛掷两枚骰子，则向上的点数之和是7的概率是()

A6Bl

C.gD.|

答案A

解析记抛掷两枚骰子向上的点数分别为mb,则可得到数组(a,b)共有36

组，其中满足a+b=7的共有6组,分别为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),

(6,1),因此所求的概率为/.

(2)从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同数字构成一个两位数，则这个两位

数大于30的概率为()

A.；B.1

D1

答案A

解析从1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数，有

12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共12种等可能发生的结果，其中大于30

的两位数有31,32,34,41,42,43,共6个，所以这个两位数大于30的概率「

=12=2'

（3）某中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选

2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为（）

23

A.§B.Q

C.1D.|

答案B

解析记3名男教师为a,b,c,2名女教师为A,B,任选2人有以下情况ah,

ac,aA,aB,be,bA,hB,cA,cB,AB,共10种等可能发生的情况，选取

的2人恰为一男一女有6种，故所求概率「=卷=|.

（4）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书

相邻的概率为（）

A.；B.g

C.TD.7

5o

答案c

解析记两本数学书为1,2,一本语文书为a,则所有排列方法有

I2a,la2,21a,2al,al2,a2l,共6种等可能发生的结果，其中两本数学书相

邻的排列方法为12a,21a,a12,。21,共4种，根据古典概型的概率公式知，

42

所求概率P=g=3-

经典题型冲关

对应学生用书P185

题型一古典概型的简单问题多维探究

【举例说明】

1.（2019.全国卷II）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若

从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）

23

A-3B5

C.|D.|

答案B

解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为g，。2,G,未测量过这项指

标的2只为。1,岳，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为（山，

。3）,（a\,42,/71）,（。1,。2,bi）,（0,。3,h］）,（6Z1,。3,历），（。1,b\,历），

（。2,。3,bi）,3,。3,历），（。2,bi,bi）,（。3,bi,bi）,共10种等可能发生

的情况.其中恰有2只测量过该指标的可能情况为31,ai,bi）,（0,Q2,bi）,

（a\,Q3,b\）,（a\,。3,岳），（。2,43,bl）,（。2,。3,历），共6种.故恰有2

只测量过该指标的概率为^=1.故选B.

2.（2019•厦门模拟）《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含

乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“一”表示

一根阳线，“一”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中

恰有三根阳线和三根阴线的概率为（）

r=2-8Du--■1■4―

答案D

解析由题意，知八卦中有三卦是两根阳线，一根阴线，记它们为1,2,3；有

三卦是一根阳线，两根阴线，记它们为mb,c-,有一卦是三根阳线，记作4；

有一卦是三根阴线，记作A从八卦中任取两卦，有以下可能出现的结果

12,13,la,lb,lc,1A,13,23,2a,2瓦2c,2A,23,3a,3为3G3A,33,ab9ac,aA,aB,he,

bA,bB,cA,cB,AB,共28种等可能的结果，这两卦的六根线中恰有三根

阳线和三根阴线包括\a,\b,\c,2a,2b,2c,3a,3b,3c,AB,共10种情况，故所求

的赤山

概率为诋10=应5・

3.（2017.全国卷II）从分别写有12,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后

再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率

为（）

1

A±10B5

C&D?

e105

答案D

解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：

第一张12345

第二张1234512345123451234512345

基本事件总数为25,这25种基本事件发生的可能性是相等的.第一张卡片

上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10,..•所求概率「=患10=方2故选D.

条件探究将本例中的条件“放回后”改为“不放回”，其他条件不变，则

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为.

答案2

解析画出树状图如图：

第葭一张小1脑2公3|4公5公

所有的基本事件共有20个，这20个基本事件发生的可能性是相等的.满足

题意的基本事件有10个，故所求概率

结论探究本例中的条件不变，则抽到第一张卡片上的数与第二张卡片上的

数的和为偶数的概率为.

答案i

解析所有基本事件共有25个，这25个基本事件发生的可能性是相等的.满

足条件的基本事件有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),

(4,4),(5,1)，(5,3),(5,5),共13个.故所求概率>=否

【据例说法】

1.求古典概型概率的步骤

(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件4

(2)分别求出基本事件的总数〃与所求事件A中所包含的基本事件个数利；

⑶利用公式P(A)=£,求出事件A的概率.

2.基本事件个数的确定方法

方法适用条件

歹！1表此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐

法标法

树状树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较

图法复杂问题中基本事件数的探求

【巩固迁移】

1.(2019.全国卷川)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相

邻的概率是()

1

A1B

C.gD，2

答案D

解析设两位男同学分别为4B,两位女同学分别为b,则用“树形图”

表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示.

x/

«<B—b

b-I"\b-A/

B-a\y'一：J

b<a—HVa—IJ

B-a

4Va-B

A-a

a-A

A—liV

13—AJ

由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“”的

121

情况)共有12种，故所求概率为女与•故选D.

2.(2019.湖南雅礼中学模拟)甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人

中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为()

A.gB.g

D1

答案C

解析所有的情况有(甲送给丙、乙送给丁)(甲送给丁，乙送给丙)(甲、乙都送

给丙)(甲、乙都送给丁)共四种，这4种情况发生的可能性是相等的.其中甲、

乙将贺年卡都送给丁的情况只有一种，所以甲、乙将贺年卡都送给丁的概率

是"

题型二古典概型的交汇问题多角探究

【举例说明】

Q角度1古典概型与平面向量相结合

1.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m,n,平面向量。=(m,n),b=(l,

—3).

(1)求使得事件(，albv发生的概率；

(2)求使得事件“|a|W|b|"发生的概率.

解由题意知，{1,2,3,4,5,6},nW{1,2,3,4,5,6},故(m,用所有可能的取法

共有36种.

(1)若。_1_4则有机-3〃=0,即机=3〃，符合条件的(加，力有(3,1),(6,2),共

21

2种，所以事件发生的概率为今=表.

JO1o

(2)若|Q|W步|,则有小+/W10,符合条件的(加，〃)有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),

(2,2),(3,1),共6种，故所求概率为4

9角度2古典概型与函数、方程相结合

2.(2019・武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a

和江则方程加+-+1=0有实数解的概率是()

A.拓B，2

「19r5

C36D18

答案C

«eN*,

解析投掷骰子两次，所得的点数。和方满足的关系为/i*

...a和1的组合有36种,若方程以2+/zr+l=0有实数解，则/=》2—4a20,

二序》4a.

当h=l时，没有a符合条件；当b=2时，a可取1；当b=3时，a可取1,2；

当。=4时，a可取1,2,3,4；当6=5时,a可取1,2,3,4,5,6；当1=6时,a可

取1,2,3,4,5,6.

1Q

故满足条件的组合有19种，则方程以2+笈+1=0有实数解的概率「=崇，

JO

故选C.

3.(2019•辽宁省实验中学模拟)设agl,3,5,7},be{2,4,6},则函数期)=10鼎

是增函数的概率为.

套案-

口采2

解析由已知条件，得方的所有取值种数为12.当今1时，大尤)为增函数，符合

此条件的彳有|,|,看,,共6种，所以函数於)=log声是增函数的概

率为五=》

Q角度3古典概型与几何问题结合

4.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x—2)2

+y2=2有公共点的概率为.

7

答案12

解析依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组伍，》有

(1,1),(1,2),(1,3),…，(6,6),共36种等可能的结果，其中满足直线人+块

2a

=0与圆（X—2）2+y2=2有公共点，即满足W啦，即。＜匕，则当0=1

^/«2+/?2

时，b=l,2,3,4,5,6,共6种,当。=2时，6=2,3,4,5,6,共5种，同理当”=3

时，有4种，当”=4时，有3种，当。=5时，有2种，当。=6时，有1种,

一217

故共有6+5+4+3+2+1=21（种），因此所求的概率等于石=五

9角度4古典概型与统计相结合

5.（2019.绵阳模拟）目前有声书正受到越来越多人的喜爱.某有声书公司为了

解用户使用情况，随机选取了100名用户，统计出年龄分布和用户付费金额（金

额为整数）情况如下图.

有声书公司将付费高于20元的用户定义为“爱付费用户”，将年龄在30岁

及以下的用户定义为“年轻用户”.已知抽取的样本中有楙的“年轻用户”是

O

“爱付费用户”.

（1）完成下面的2X2列联表，并据此资料，能否有95%的把握认为用户“爱

付费”与其为“年轻用户”有关?

爱付费用户不爱付费用户合计

年轻用户

非年轻用户

合计

⑵若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取5人，再从这5人

中随机抽取2人进行访谈，求抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率.

Pg》ko)0.050.0250.0100.0050.001

ko3.8415.0246.6357.87910.828

心=,〃=a+/?+c+d.

(a+b)(cc)(b+d)

解（1）根据题意可得2X2列联表如下:

爱付费用户不爱付费用户合计

年轻用户244064

非年轻用户63036

合计3070100

由表中数据可得

________"(ad-be，______100X(24X30—40X6)2

^4.76>3.841,所以有

K(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)30X70X64X36

95%的把握认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关.

(2)由分层抽样可知，抽取的5人中有4人为“年轻用户”，记为Ai,A2,A3,

A4.1人为“非年轻用户”，记为江

则从这5人中随机抽取2人的基本事件有(4,4),(4,小)，(4,4),(4,

B),(A2,A3),(A2,4),(A2,B),(A3,4),依3,B),(4,B),共10个等可

能发生的基本事件.

其中满足抽取的2人均是“年轻用户”的事件有(4,A2),(Ai,A3),(Ai,4),

(A2,A3),俗2,AQ,(小，4),共6个.所以从中抽取2人恰好都是“年轻用

户”的概率为P=^=|.

【据例说法】

1.求解古典概型的交汇问题的步骤

⑴根据相关知识构建事件满足的条件.

⑵根据条件列举所有符合的基本事件.

(3)利用古典概型的概率计算公式求概率.

2.破解概率与统计图表综合问题的“三步曲”

第一步能读懂已知统计图表所隐含的信息，并会

会赏图进行信息提.取

对文字语言较多的题.需要根据题目信息

第二步

耐心阅读,步步实现文字语言与符号语言

会转化

间的转化

第三步对统计图表所反馈的信息进行提取后.结

会运算合古典慨型的概率公式进行运算

【巩固迁移】

1.把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a,第二

次出现的点数为"，向量机=(a,b),n=(l,2),则向量，〃与向量〃不共线的

概率是()

A-6

u12u18

答案B

解析易知所有基本事件有36个，若加〃〃，则£=?，即b=2a.所以机与〃

共线包含的基本事件为(1,2),(2,4),(3,6),共3个，所以山与〃不共线的概

率为U

牛为13612-

2.已知函数氏0=$?+<02+〃%+1,若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，

b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()

A.QB.o

C.^D.f

yJ

答案D

解析/(x)=f+2ax+〃，要使函数兀丫)有两个极值点，则有/=(2a)2—

4b2>0,即5>比由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),

(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示。的取值，第二个数表示

8的取值.满足/>〃的有6个基本事件，即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),

(3,2),所以所求事件的概率为於全

3.在集合A={2,3}中随机取一个元素m,在集合8={1,2,3}中随机取一个元素

n,得到点P(m,n),则点P在圆*2+产=9内部的概率为.

套案-

口木3

解析点、P(m,力共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6种等可能的

21

情况，只有(2,1),(2,2)这2个点在圆,+产=9的内部，所求概率为旨=本

4.(2019・武威模拟)某市第三中学统计了高三年级学生的最近20次数学周测成

绩(满分150分)，现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：

频率/组距

甲乙0.035

21141350.030

542131I55790.025

8743212568880.020

6421112367

64310130.015

96190.010

0.005

O10011012013014015()Z的成绩

(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分

布直方图填充完整；

(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均数及稳定程度(不要求计算

出具体值，给出结论即可)；

⑶现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件

A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率.

解(1)甲的成绩的中位数是119,乙的成绩的中位数是128.乙成绩的频率分

布直方图如下图所示.

频率/组距

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.01()

0.005

0100110120130140150乙的成绩

(2)从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均数比甲的成绩的平均数高，乙同学的

成绩比甲同学的成绩更稳定集中.

⑶甲同学的不低于140分的成绩有2个，设为a,b,乙同学的不低于140分

的成绩有3个，设为c,d,e.

现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有(a,b),(a,

c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10

种等可能的结果，其中这2个成绩分属不同同学的情况有(a,c),(a,d),(a,

e),S，c),(b,d),(b,e),共6种.因此事件A发生的概率P(A)=^=|.

课时作业

对应学生用书P284

A组基础关

1.（2019.广西五市联考）在｛3,5｝和｛2,4｝两个集合中各取一个数组成一个两位

数，则这个数能被5整除的概率是（）

A.^B.§

0-£>-

U6

答案C

解析所有基本事件为32,34,52,54,23,25,43,45,共8种，其中能被5整除的

21

是25,45,共2种，故这个数能被5整除的概率为

O4

2.从集合4=｛-2,—1,2｝中随机抽取一个数记为a,从集合8=｛-1,1,3｝中

随机抽取一个数记为6则直线以一y+8=0不经过第四象限的概率为（）

21

--

A.93

1

Jc495D4

答案A

［。20，

解析（a,份所有可能的结果为9种.由ax~y+b=O得y=ar+/?,当彳

时，直线不经过第四象限，符合条件的3,份的结果为（2,1）,（2,3）,共2种，

所以直线ax-y+b=Q不经过第四象限的概率P音,故选A.

3.（2019•武汉市高三调研）从装有3双不同鞋的柜子中，随机取2只，则取出

的2只鞋不成对的概率为（）

144

A记B5

C.|D.1

答案B

解析设这3双鞋分别为AIA2,B\Bi,C1C2,则随机取出2只的基本事件有

{A1A2},{A1B1},{A1B2},{4G},{A1C2},{A2B1},{A2B2},{A2C1},{A2c2},

{B1B2},{B1C1},{B1C2},{B2C1},{B2C2},{C1C2},共15个，其中取出的2

只鞋不成对的基本事件有12个，所以所求概率2=芸12=今4故选B.

4.（2019•安徽阜阳模拟）《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷

三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面

的概率为（）

1

A1B

C-8D2

答案C

解析抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反

正正，正反反，反正反，反反正，反反反8种，其中出现两正一反的共有3

种，故概率为1.故选C.

5.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵

节，清明节，端午节，中秋节5个节日中随机选取3个节日来讲解其文化内

涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是（）

A.0.3B.0.4

C.0.6D.0.7

答案D

解析春节和端午节至少有一个被选中的对立事件是春节和端午节都没被选

中，从5个节日中随机选取3个节日，有10个基本事件，春节和端午节都没

37

被选中，有3个基本事件，所以P=l—

6.（2019・山西长治模拟）中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代

数学家称直角三角形中较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如

图，现将一个勾3股4弦5的三角形放入平面直角坐标系中，在坐标系

中任取一点M（x,y）,其中尤G（0,1,2,3,4},ye{0,1,2,3},则点M落在该三角

形内(含边界)的概率为()

C-2OD5

答案C

解析依题意可知点M的个数为20个，落在三角形内的有11个，故概率为

11

20-

7.已知集合M={1,2,3,4},N={(a,b)\a^M,b^M},A是集合N中任意一

点，。为坐标原点，则直线QA与y=f+l有交点的概率是()

1

C1D

答案C

解析易知过点(0,0)与y=f+l相切的直线为y=2x(斜率小于0的无需考

虑)，集合N中共有16个元素，其中使直线QA的斜率不小于2的有(1,2),(1,3),

41

(1,4),(2,4),共4个，故所求的概率为m=].故选C.

8.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离

不小于该正方形边长的概率为.

答案|3

解析如图，从A,B,C,D,。这5个点中任取2个，共有10种取法，满

足两点间的距离不小于正方形边长的取法有(A,B),(A,O,(A,。)，(B,

O,(B,D),(C,0共6种，因此所求概率尸=磊=|.

9.如图所示是某市2019年4月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质

量指数(AQ/)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重

度污染，某同志随机选择4月1日至4月12日中的某一天到达该市，并停留

3天.

该同志到达当日空气质量重度污染的概率为.

答案n

解析某同志随机选择4月1日至4月12日中的某一天到达该市，并停留3

天，基本事件总数〃=12,4月1日至4月12日空气质量重度污染的天数有5

天，即该同志到达当日空气质量重度污染包含的基本事件个数加=5,所以该

同志到达当日空气质量重度污染的概率P=^$.

10.(2019•江苏苏州模拟)若a,dG{0,l,2},则函数f(x)=ax2+2x+b有零点的概

率为.

2

较安—

口水3

解析a,be{0,1,2},当函数f(x)=ax2+2x+b没有零点时，aWO,且4=4

-4ab<0,即岫>1,：.(a,b)有3种情况：(1,2),(2,1),(2,2).

32

基本事件总数〃=9,函数“¥)=加+2%+/?有零点的概率为P=l—g=y

组能力关

1.如图，在三棱锥s—ABC中，平面ABC,AB±BC,现从该三棱锥的

6条棱中任选2条，则这2条棱互相垂直的概率为()

C

B

1

A1B

A-34

2-2

C5D9

答案A

解析由已知SA，平面ABC,ABLBC,可推得SBLBC,从该三棱锥的6

条棱中任选2条，共有15种不同的选法，其中互相垂直的2条棱有(SA,AB),

(SA,BC),(SA,AC),(SB,BC),(AB,BQ,共5种情况，所以这2条棱互

相垂直的概率p=W.

2.(2019•定远县三模)博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”

的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计两种乘

车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车

序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车，记方

案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P,Pi,则()

A.PI-P2=；B.PI=P2=；

C.PI+P2=1D.P\<P2

o

答案c

解析分别标有序号为“1号”“2号"“3号''的三辆车，等可能随机顺序

前往酒店接嘉宾的基本事件有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),

共6种.方案一：坐到“3号”车包含的基本事件有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),

有3种，故方案一坐到“3号”车的概率P尸总=；；方案二：直接乘坐第一

辆车，则方案二坐到“3号”车的概率为P2=:综上，所以P+P2=J+；=・

3.(2019•广州模拟)已知等差数列{z},S〃为其前n项和，54=兀(其中n为圆周

率)，44=202,现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦

值为负数的概率为（）

1415

A-3OB30

1617

C'3OD'3O

答案A

解析..'S"为等差数列｛劣｝的前〃项和，S4=7t（其中兀为圆周率），。4=26，

二.,4X3,

04=4<7|+--a—71,7171,71mt

..12解得«|=J=—,1）X-|Q=-,

a\+3d=2（ai+J）,

前30项中，第6项至第14项和第26项至第30项的余弦值是负数，，现从

此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为P

14

=30-

X2，

4.某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a,b,则构成椭圆7+左=1且离

心率e>乎的概率是.

答案1

解析同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有36种情况，当a>b

时，e=1-A〉坐6符合a>2b的情况有：当"=1时，有“

=3,4,5,6四种情况；当8=2时，有a=5,6两种情况.总共有6种情况，则

概率是2=；.同理当a<b时，e>哗的概率也为［.综上可知e>乎的概率为1.

3。。Zo23

5.（2019.全国卷I）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名

女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联

表：

满意不满意

男顾客4010

女顾客3020

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;

(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：K2=(a+b)(^+d)(a+c)(b+d)-

P(K22))0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

解(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为能=0.8,因此男顾

客对该商场服务满意的概率的估计值为08

女顾客中对该商场服务满意的比率为3岩()=0.6,因此女顾客对该商场服务满意

的概率的估计值为06

3七100X(40X20—30X10)2

(2)K-的次浏值k=50X50X70X30%.762.

由于4.762>3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差

异.

C.组素养关

1.(2019•上饶模拟)研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明：该校学生

居住地到学校的距离M单位：千米)和学生花费在上学路上的时间贝单位：分

钟)有如卜关系.

到

学

校

的

1.82.63.14.35.56.1

距

离

式千

米)

花

费

17.819.627.531.336.043.2

的

时

间

M分

钟）

如果统计资料表明y与x有线性相关关系，

⑴判断y与X是否有很强的线性相关性；

（相关系数r的绝对值大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性，精确

到0.01）

（2）求线性回归方程；=猿+：（精确到0.01）；

⑶将;<27的时间数据;，・称为美丽数据，现从这6个时间数据;，•中任取2个，

求抽取的2个数据全部为美丽数据的概率.

666__6

参考数据：»，=175.4,以沙=764.36,Z8—1）（8—7）=80.30,Z（方

z=lZ=1z=li=1

—x)2=14.30,Z>)2=471.65,、/6

Z(kX)2(

z=l\li=l

6__

Z(XLX)(JLy)

参考公式：-=••节i=\•,

\ZX)2(yi-y)2

6__

Z(XL尤)U'Ly)

AZ=1

b—.

6

Z(8——%)2

i=1

6__

X(H—九)(y-y)

钿小_________________mo

解⑴，/682.13^0.98>0.75,

\2bL7)2

与x有很强的线性相关性.

__]6

⑵依题意，得x=3.9,歹=d2＞产29.23,

i=1

6__6_

Z(xi-x)(yi-y)=80.30,X(尤lX)2=14.30,

i=lz=l

X(XL%)(y-y)

„,Ai^\________________8030…

所以VI。-6_-14.30262.

S(x-x)2

i=l

A—A—

又。=y-bx«29.23-5.62X3.9^7.31,

故线性回归方程为j=5.62x+7.31.

AA

(3)由(2)可知，当x=3.1时，”=24.732<27,当x=4.3时，*=31.476>27,

所以满足;<27的美丽数据共有3个，设3个美丽数据为a,b,c,另3个不

是美丽数据的为A,B,C,则从6个数据中任取2个，共有15种情况，即

aA,aB,aC,bA,bB,bC,cA,cB,cC,AB,AC,BC,ab,ac,be,其中，

抽