专题3-4解三角形大题综合归类（原卷版）

专题3-4解三角形大题综合归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型01正余弦定理基础：正余余正求角(第一问） 1题型02正余弦定理基础：分式型求角(第一问） 2题型03正余弦定理基础：角度关系证明型(第一问） 3题型04正余弦定理基础：正切型求角(第一问） 4题型05解三角形最值：角与对边型求面积 5题型06解三角形最值：角非对边型求面积 5题型07解三角形最值：周长型最值 6题型08解三角形最值：长度型最值 7题型09解三角形最值：锐角三角形与边系数不等型 8题型10解三角形最值：四边形面积最值型 8题型11三大线：中线（重心）型 10题型12三大线：角平分线（内心）型 12题型13三大线；高 13题型14辅助线型：双三角型 14高考练场 15题型01正余弦定理基础：正余余正求角(第一问）【解题攻略】正余弦定理求角基础：两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))正余余正sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))正余余正正角减余角cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))余余正正偶函数。谁减谁无所谓cos(α－β)=cos(β－α)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))对于sin（）与cos（）简称为“正余余正，余余正正”恒等变形和化简求角中，有如下经验：SinC=Sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB:正用。逆用；见A与B的正余或者余正，不够，找sinC拆边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；cosC=-cos(A+B)=-[cosAcosB-sinAsinC]【典例1-1】（2024上·天津西青·高三统考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若，，求；(3)若，求．【典例1-2】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知中，角，，的对边分别为，，，．(1)求角；(2)若为边上一点，且满足，，证明：为直角三角形．【变式1-1】（2023上·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.(1)求角的大小；(2)求的取值范围.【变式1-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．(1)求；(2)若，点在边上，，且，求．【变式1-3】（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考）在中，角的对边分别为.(1)求角的大小；(2)若，求周长的最大值．题型02正余弦定理基础：分式型求角(第一问）【解题攻略】分式型特征：分式中分子分母是边的齐次式。分式中分子分母是正弦的齐次式如果有余弦，一般情况下不计入次幂计算可以通过去分母，转化为无分式型齐次，再用正弦定理转化【典例1-1】（2023上·湖南长沙·高三长沙市明德中学校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，．(1)求；(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．【典例1-2】（2023上·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）已知的三个内角所对的边分别是．已知(1)求角；(2)若点在边上，，请在下列两个条件中任选一个，求边长．①为的角平分线；②为的中线．【变式1-1】．（2023上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足(1)求角C的大小；(2)若，点D为AB的中点，求的值.【变式1-2】（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）在中，，且(1)求角；(2)若点为边上一点，且，求的面积.【变式1-3】（2023下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求角C；(2)若边上的中线长为1，求面积的最大值．题型03正余弦定理基础：角度关系证明型(第一问）【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，．(1)求证：．(2)若，，求的面积．【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）的内角的对边分别为，.(1)证明：；(2)若，求的面积.【变式1-1】（2023上·重庆·高三西南大学附中校联考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，满足(1)求证：；(2)若为锐角三角形，求的最大值．【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)证明：；(2)求的取值范围.【变式1-3】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且.(1)证明：；(2)若，求的周长的取值范围.题型04正余弦定理基础：正切型求角(第一问）【解题攻略】分式型与正切型1.若式子含有的2次齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”2.面积和2次齐次式，可构造余弦定理3.正切型，可以“切化弦”，转化为分式型，在进行化简求角【典例1-1】（2023上·湖北·高三随州市曾都区第一中学校联考）中，内角所对的边分别为，满足.(1)求角；(2)若是边上的一点，且，，求.【典例1-2】（2024上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，为其外接圆的圆心，，．(1)求的大小；(2)若，求边长的最值．【变式1-1】（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为.(1)求的大小；(2)若.①求的值；②求的值：【变式1-2】（2023上·海南海口·高三校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且．(1)求角：(2)已知是边的中点，且，求的长．【变式1-3】（2023上·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为、、，.(1)求；(2)已知为边上的中线，，，求的面积.题型05解三角形最值：角与对边型求面积【解题攻略】解三角形：最值范围可以用余弦定理+均值不等式来求解。可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范围，要注意三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制【典例1-1】已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.【典例1-2】已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)若，求外接圆的面积；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【变式1-1】记的内角所对的边分别为，已知.(1)求证：(2)若的面积，求的最大值，并证明：当取最大值时，为直角三角形.【变式1-2】已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，．(1)若，求B的大小；(2)若△ABC不是钝角三角形，且，求△ABC的面积取值范围．题型06解三角形最值：角非对边型求面积【解题攻略】角非对边求面积1.角非对边，面积要用所给的角度，所给的边用上，正好面积中余下一个不确定的“范围边”。把面积范围转化为“范围边”。2.再用正弦定理，去除掉给角的边，用知道长度的边的正弦式子。这样正好能转化。3.对于“范围边”的函数，消角，要消去分子的角度，保留分母的角度为变量，计算简单。4.对“消角”后的式子，恒等变形求范围最值，注意是否有锐角三角形等限制角的范围的条件【典例1-1】已知锐角三角形中，角、、所对的边分别为、、，向量，，且.(1)求角的大小；(2)若，求面积的取值范围.【典例1-2】在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．(1)求角A的大小；(2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围．【变式1-1】在中，角的对边分别为，且．(1)求；(2)若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围．【变式1-2】已知是锐角三角形，内角所对的边分别为，面积为，(1)求角；(2)若，求的取值范围．题型07解三角形最值：周长型最值【解题攻略】周长最值1.“齐次对称结构”，用余弦定理加均值，如果用正弦定理化角，计算量稍大2.如果利用均值求周长的范围时，注意利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”【典例1-1】（2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)点是上的一点，，且，求周长的最小值．【典例1-2】．（2023秋·广东云浮·高三校考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．(1)若，，求的面积；(2)若，求周长的取值范围．【变式1-1】（2022秋·重庆綦江·高三统考阶段练习）记的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．(1)求a；(2)若，求的周长l的取值范围．【变式1-2】（2023春·湖南益阳·高三安化县第二中学校考阶段练习）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且三角形的外接圆面积为，三角形的面积为．(1)求角的大小；(2)求的取值范围．.题型08解三角形最值：长度型最值【典例1-1】．（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)若，求的值；(2)的面积，求b的最小值.【典例1-2】（2023春·安徽芜湖·高三安徽省无为襄安中学校考）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角C的大小；(2)若，求的取值范围．【变式1-1】（2023秋·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)求角A；(2)若的面积为1，求的最小值.【变式1-2】（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，请完成以下问题：(1)求角B的大小；(2)若为锐角三角形，，求的取值范围．题型09解三角形最值：锐角三角形与边系数不等型【解题攻略】变系数不一致型1.“非对称”型，无法用均值求解范围，多用正弦定理来“边化角”。2.最后消角时要注意消去的角与剩下的角对应的取值范围。特别是题中有“锐角或者钝角三角形”这类限制条件时。【典例1-1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔中学校考）已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求A；(2)若，求的取值范围.【典例1-2】．（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）在中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求的最大值.【变式1-1】（2023春·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求B；(2)若，求的取值范围．【变式1-2】（2023春·江苏徐州·高三统考）已知锐角三个内角、、的对应边分别为、、，．(1)求；(2)若，求的取值范围．题型10解三角形最值：四边形面积最值型【解题攻略】四边形面积最值型四边形面积最值型，一般用某一条对角线，把四边形分为两个三角形，有公共边的两个三角形个再各自用余弦定理，构建数量关系【典例1-1】（2022·山东师范大学附中模拟预测）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，△ABC的面积为S，且．(1)求角B的大小；(2)若为平面ABC上△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．【典例1-2】（2022·湖北·模拟预测）在中，若.(1)求的值；(2)如图，若，为外一点，且，，，求的最大值及相应的.【变式1-1】（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）如图，在平面四边形中，.(1)证明：；(2)记与的面积分别为和，求的最大值.【变式1-2】（2022·福建·上杭一中模拟预测）如图，在四边形中，．(1)证明：为直角三角形；(2)若，求四边形面积S的最大值．题型11三大线：中线（重心）型【解题攻略】.中线的处理方法1.向量法：补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理如图设，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因为，所以所以①+②式即可3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形中线分割的俩三角形面积相等【典例1-1】（2023秋·江西南昌·高三南昌十中校考阶段练习）已知三角形中，三个内角的对应边分别为，且.（1）若，求；（2）设点是边的中点，若，求三角形的面积.【典例1-2】（2018秋·宁夏银川·高三六盘山高级中学校考）在三角形中，为的中点，（1）求的值；（2）若,求三角形的面积.【变式1-1】（2023秋·浙江温州·高三乐清市知临中学校考开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B大小；(2)若，，为的重心，求的面积.【变式1-2】（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F．

(1)试证明：(2)若P为重心，，求的面积．题型12三大线：角平分线（内心）型【解题攻略】三角形角平分线的处理方法：角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：【典例1-1】（2023秋·江苏淮安·高三淮阴中学校考开学考试）已知中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，D是边AC上的一点，且．(1)若，，求AD；(2)若BD为的角平分线，求面积的最小值．【典例1-2】（2023秋·广西钦州·高三校考开学考试）《几何原本》是古希腊数学家欧几德得所著的一部数学著作，在《几何原本》第六卷给出了内角平分线定理，其内容为：在一个三角形中，三角形一个内角的角平分线内分对边所成的两条线段，与这个角的两邻边对应成比例.例如，在中（图1），为的平分线，则有.

(1)试证明角平分线定理；(2)如图2，已知的重心为，内心为，若的连线.求证：.【变式1-1】（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，．(1)若的面积，求a；(2)若D为的角平分线与边BC的交点，，求a.【变式1-2】（2023秋·浙江·高三校联考开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A；(2)若，，的角平分线交BC于D，求AD的长．题型13三大线；高【解题攻略】三角形高的处理方法：1.等面积法：两种求面积公式如2.三角函数法：【典例1-1】在三角形中，已知角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）设三角形的边上的高为，且，求的值.【典例1-2】已知的内角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若边上的高为，求.【变式1-1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.(1)求B的值；(2)若与边上的高之比为3∶5，且，求的面积.【变式1-2】的内角，，的对边分别为，，，已知，.(1)求及；(2)若，求边上的高.题型14辅助线型：双三角型【典例1-1】（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，∠ABC为钝角，∠DBC=90°．(1)证明：；(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求△ABD的面积．①；②．【典例1-2】（2022·湖南·模拟预测）如图，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求的值；(2)在的延长线上有一点D，使得，求．【变式1-1】.（2022·湖南师大附中三模）在中.，D为BC边上的一点，，再从下列三个条件中选择两个作为已知，求的面积及BD的长.①；②；③.注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.【变式1-2】在中，，，，点M､N是边AB上的两点，.(1)求的面积；(2)当，求MN的长..高考练场1.（2023·河南·统考模拟预测）已知的三个角的对边分别为，且(1)求B；(2)若，求的面积.2.（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）已知满足.(1)求证：；(2)若为锐角，求的取值范围.3.（2021下·辽宁大连·高三辽师大附中校考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求角A；(2)若O是△ABC内一点，∠AOB＝120°，∠AOC＝150°，b＝1，c＝3，求tan∠ABO．4.（2023·全国·模拟预测）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，．(1)求角．(2)若的周长为15，求的面积．5.在中，角，，的对边分别为，，，．(1)求角的大小；(2)若，求的面积的最大值，并指出此时三角形的形状．江苏省南京市第二十七高级中学2022-2023学年高三上学期测试数学试题6.（