专题5-2数列递推及通项应用（原卷版）

专题5-2数列递推及通项应用目录TOC\o"1-1"\h\u题型01递推基础：等差数列定义型 1题型02递推基础：等比数列定义型 2题型03累加法求通项 3题型04累加法求通项：裂项型 3题型05累加法求通项：换元型 4题型06累积法求通项 5题型07待定系数型等比求通项 6题型08分式型求通项 6题型09不动点方程求通项 7题型10前n项和型求通项 8题型11前n项积型求通项 8题型12因式分解型求通项 9题型13同除型构造等差数列求通项 10题型14同除型构造等比数列求通项 10题型15周期数列求通项：分段型 11题型16周期数列求通项：三阶型 11题型17奇偶各自独立型求通项 12高考练场 13题型01递推基础：等差数列定义型【解题攻略】等差数列的判定方法

①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值；②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2； ③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.【典例1-1】（2024上·山东威海·高三统考）已知数列，对都有，且，则.【典例1-2】（2024上·天津·高三天津市第一百中学校联考期末）在数列中，，且，则.【变式1-1】（2023下·全国·高三校联考阶段练习）已知数列满足，则，.【变式1-2】（2024上·海南海口·高三海南中学校考）在数列中，，则．【变式1-3】（2023上·四川成都·高三校联考阶段练习）已知各项均不为0的数列满足，且，则．题型02递推基础：等比数列定义型【解题攻略】等比数列的判定方法：(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列；(2)等比中项法：即证aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．【典例1-1】（2023·河南郑州·统考二模）已知正项数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则（

）A． B． C． D．【变式1-1】．（2022上·山东日照·高三统考）正项数列中，（k为常数），若，则的取值范围是（

）A． B．[3，9] C． D．[3，15]【变式1-2】（2022·陕西·校联考模拟预测）在数列中，，数列是公比为2的等比数列，设为的前项和，则下列结论错误的是（

）A． B．C．数列为递减数列 D．【变式1-3】（2022·山西吕梁·统考一模）已知为数列的前n项和，且，，则（

）A． B． C． D．题型03累加法求通项【解题攻略】对于递推公式为，一般利用累加法求出数列的通项公式；【典例1-1】已知数列满足，，则的最小值为（

）A．2-1 B． C． D．【典例1-2】已知数列中，，时，，______.【变式1-1】（2023下·北京·高三北京八中校考）若数列满足，则通项公式为.【变式1-2】（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知数列满足，，则数列的前100项和．【变式1-3】．（2020上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）设数列满足，，，则数列的前50项和是．题型04累加法求通项：裂项型【解题攻略】形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项；利用累乘法求通项：【典例1-1】（2022·北京·清华附中高三开学考试（理））已知数列满足，，则的通项公式为__．【典例1-2】（2023上海市南洋模范中学高三阶段练习）数列中，，，则数列的通项公式________.【变式1-1】（2023下·北京昌平·高三北京市昌平区第二中学校考）已知数列满足，则=（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2023下·山东潍坊·高三山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知数列满足，，则的通项为（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【变式1-3】（2021·全国·高三专题练习）在数列中，，，则（

）A． B． C． D．题型05累加法求通项：换元型【典例1-1】（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列满足,数列的通项公式为___________.【典例1-2】（2021上·陕西西安·高三西安市铁一中学校考阶段练习）数列满足，且，则(

)A．－1 B．20 C．21 D．22【变式1-1】（2021上·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）已知数列的首项为，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则数列的通项公式为.【变式1-3】（2022·甘肃白银·高三）已知数列中，，当时，，设，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．.题型06累积法求通项【解题攻略】累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累乘法”求通项.【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则下列有可能成立的是（

）A．若为等比数列，则B．若为递增的等差数列，则C．若为等比数列，则D．若为递增的等差数列，则【典例1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知数列中，，.记，则（

）A． B．C． D．【变式1-1】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）定义：在数列中，，其中d为常数，则称数列为“等比差”数列.已知“等比差”数列中，，，则（

）A．1763 B．1935 C．2125 D．2303【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是3，且，，则（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（

）A． B．C． D．题型07待定系数型等比求通项【解题攻略】形如为常数）,构造等比数列。特殊情况下，当q为2时，=p，，变形为，也可以变形为.【典例1-1】（2019·模拟预测）设数列的前n项和为，对任意，有，，则的最大值为（

）A．2 B．1 C． D．【典例1-2】（19·20·专题练习）在数列{an}中．a1＝4，a2＝6，且当时，，若Tn是数列{bn}的前n项和，bn＝，则当为整数时，λn＝（）A．6 B．12 C．20 D．24【变式1-1】（19·20下·绵阳·开学考试）数列满足且，则此数列第5项是（

）A．15 B．255 C．16 D．63【变式1-2】（2021下·许昌）数列的首项，且，令，则（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【变式1-3】（2022学业考试）数列满足，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．题型08分式型求通项【解题攻略】形如，取倒数变形为；【典例1-1】（2020上·潍坊）在数列中，，(n∈N+)，则（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2021上·南宁·）数列中，，，则是这个数列的第几项（

）A．100项 B．101项 C．102项 D．103项【变式1-1】（2022上·楚雄·）已知数列满足,(),则A． B． C． D．【变式1-2】（2016·六安·阶段练习）已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围为A． B． C． D．【变式1-3】（2021·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．题型09不动点方程求通项【解题攻略】形如的递推数列，方程的根，可以分两种情况：（1）、若其中有一个不动点x0，则是等差数列（2）、若其中有两个不动点m，n，则是等比数列【典例1-1】（22·23下·浦东新·）若严格递增数列满足，则首项的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（22·23下·开封·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且，若不等式对一切恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（23·24上·厦门·阶段练习）数列满足，，，，则（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2020下·南宁·阶段练习）数列满足若不等式对任何正整数n恒成立，则实数λ的最小值为【变式1-3】（22·23下·浦东新）若严格递增数列满足，则首项的取值范围是（

）A． B． C． D．题型10前n项和型求通项【解题攻略】若在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.【典例1-1】（2023下·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知数列满足，则数列的通项公式为.【典例1-2】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）设数列的前项和，则；使得命题“，都有”为真命题的一个的值为.【变式1-1】．（2023·北京·统考模拟预测）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为．【变式1-2】（2023上·北京·高三北京市十一学校校考）已知数列的前项和为，则的通项公式为.题型11前n项积型求通项【解题攻略】前n项积型求通项，可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：1.n=1，得a12.n时，所以【典例1-1】（22·23·沈阳·三模）记数列的前n项积，已知，则（

）A．4 B．5 C．7 D．8【典例1-2】（21·22·石嘴山·一模）已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式（

）A． B． C． D．【变式1-1】（21·22下·包头·一模）已知为数列的前n项积，若，则数列的前n项和（

）A． B． C． D．【变式1-2】（21·22上·合肥）若数列的前项积，则的最大值与最小值之和为（

）A． B． C．2 D．【变式1-3】（20·21·广西·模拟预测）设数列的前n项和为，已知，则数列的前n项之积的最大值为（

）A．16 B．32 C．64 D．128题型12因式分解型求通项【解题攻略】因式分解型求通项经验型：一般情况下，数列次幂比较高（二次型）递推公式，可以考虑因式分解，或者配方型【典例1-1】（22·23上·四川·阶段练习）设数列的前n项和为，，，且，则的最大值是（

）A．2 B． C． D．【典例1-2】（22·23上·漳州·）若正项数列满足，，则（

）A． B． C． D．【变式1-1】（20·21下·衡水·）在各项均为正数的数列中，为前项和，且，则.【变式1-2】（19·20上·浙江·开学考试）已知正项数列满足，，则数列的前项和为．题型13同除型构造等差数列求通项【解题攻略】同除型换元形如，累加法即可。【典例1-1】（2022下·上饶·）在数列中，若，则数列的通项公式．【典例1-2】（2022下·沈阳·）已知数列中，,,则数列的通项公式．【变式1-1】（22·23下·淄博·）已知数列满足，，则数列的通项公式为【变式1-2】（22·23·对口高考）已知数列中，，且（，且），则数列的通项公式为．.题型14同除型构造等比数列求通项【典例1-1】（2022·唐山·二模）数列满足，若时，，则的取值范围是．【典例1-2】（20·21上·清远·阶段练习）若数列满足，，则数列的通项公式.【变式1-1】（2019·全国·高三专题练习）在数列中，，，则数列的通项公式为______．【变式1-2】.（2021·全国·高三专题练习）若数列满足，，则数列的通项公式________.题型15周期数列求通项：分段型【典例1-1】（2023上·江苏无锡·高三统考开学考试）已知数列满足．若，则（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023下·高三课时练习）数列满足若，则（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2023上·山东烟台·高三统考）在数列中，，若，则（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2022上·河南鹤壁·高三鹤壁高中校考阶段练习）已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．题型16周期数列求通项：三阶型【解题攻略】若数列{an}满足若数列{an}满足【典例1-1】（2023·河北·校联考模拟预测）在数列中，，则.【典例1-2】（2023上·河北·高三校联考阶段练习）已知，，且（n为正整数），则．【变式1-1】（2023上·黑龙江大庆·高三肇州县第二中学校考阶段练习）已知，则其前2022项的和为.【变式1-2】（2023下·吉林长春·高三校考开学考试）已知数列中，，，，则.题型17奇偶各自独立型求通项【解题攻略】奇偶各自独立型求通项【典例1-1】（2020上·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知数列满足，则（

）A．4 B．2 C．5 D．【典例1-2】（2022·高三课时练习）已知数列的前项和为，，，，则（

）A．62 B．63 C．64 D．65【变式1-1】（2024·湖南邵阳·统考一模）已知数列的首项为，则.【变式1-2】（2022下·四川自贡·高三统考）如果数列满足=1，当为奇数时，；为偶数时，，则下列结论成立的是（）A．该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列B．该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列C．该数列的奇数项各项分别加后构成等比数列D．该数列的偶数项各项分别加后构成等比数列.高考练场1.（2023上·重庆渝中·高三统考）定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列，已知“等比差”数列中，，，则．2.（2021·江苏·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，，记集合，若集合M的子集个数为16，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3.．（2020·全国·高三专题练习）在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1，则an＝．4.（2023下·江苏南京·高三南京市秦淮中学校考阶段练习）已知数列