专题7-4圆锥曲线五个方程型大题归类（原卷版）

专题7-4圆锥曲线五个方程型大题归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型01五个方程基础模板 1题型02千变万化的直线设法 2题型03无定点无斜率型双变量 3题型04五个方程常见题型：斜率和定 4题型05双变量基础型：直线过定点 5题型06定点：斜率积型 6题型07定点：斜率比值型 7题型08“第六个方程”型转化难题 8题型09圆过定点 9题型10定值型 10题型11面积最值型 11题型12切线型 12高考练场 13题型01五个方程基础模板【解题攻略】基本模板实战模板（如典型例题1得分析）独一无二的总结，千军万马中杀出来的实战经验，简称五个方程法。1、设点，2、方程1：设直线：此处还有千言万语，在后边分类细说。3、方程2：曲线：椭圆，双曲线，抛物线，或者其他（很少出现），注意一个计算技巧，方程要事先去分母4、方程3:联立方程，整理成为关于x(或者y）的一元二次方程。要区分，椭圆，双曲线，和抛物线联立后方程的二次项能否为零这就是实战经验。5、（1）；（2）二次项系数是否为0；这两条，根据题确定是直接用，或者冷处理。但是必须考虑。6、方程4、5：韦达定理7、寻找第六个方程，第六个方程其实就是题目中最后一句话：且,以上过程，以方程个数记，即是五个方程法。也就是许多老师所说的“韦达定理”法。这其中的华丽变化，以及解析几何的后续难题，都是从这五个方程中变化而来，而这是许多老师不一定能完全说透的地方。以上过程，简单的一个判断图形，如图：简单总结为：一“直”一“曲”【典例1-1】（上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为(1)若为等边三角形,求椭圆的方程;(2)若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.【典例1-2】（普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若,求k的值.【变式1-1】（2023·四川成都·校联考一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，短半轴长为1，点在椭圆上运动，且的面积最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)当点为椭圆的上顶点时，设过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值.【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知动点M与定点，满足．(1)求动点M的轨迹C的方程．(2)已知直线与曲线C交于P，Q两点，点T为x轴上一点，直线PT，QT的斜率分别为，试问：是否存在使为定值的点T？若存在，求出点T的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由．题型02千变万化的直线设法【解题攻略】如果所过定点在x轴上，为（m，0），也可以设为，此时包含了斜率不存在的情况，但是反而不包含x轴这条直线。【典例1-1】已知椭圆过点，且离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线与椭圆交于不同的两点P，Q，那么在x轴上是否存在点M，使且，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．贵州省2023届高三上学期333高考备考诊断性联考（一）数学（理）试题【典例1-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为.(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于两点，求面积的最小值.陕西省渭南市华阴市2022届高三上学期摸底考试文科数学试题【变式1-1】已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，离心率为，B为椭圆C上一动点，面积的最大值为．(1)求椭圆C的方程；(2)经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M，N两点，x轴上点P满足，若，求的值．【变式1-2】已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，且为等边三角形.经过焦点的直线与椭圆相交于两点，的周长为.(1)求椭圆的方程；(2)试探究：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由..题型03无定点无斜率型双变量【解题攻略】当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型：，依旧得讨论k是否存在情况当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。（1）（2），此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。（3）设“双变量”时，第一种设法较多。因为一般情况下，没有了定点在x轴上，那么第二种设法实际上也没有特别大的计算优势。如第1题。（4）重要！双变量设法，在授课时，一定要讲清楚以下这个规律：一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。【典例1-1】椭圆的离心率是，且过点.(1)求的方程；(2)过点的直线与的另一个交点分别是，与轴分别交于，且于点，是否存在定点使得是定值？若存在，求出点的坐标与的值；若不存在，请说明理由.【典例1-2】已知直线与抛物线交于，两点，且与轴交于点，过点，分别作直线的垂线，垂足依次为，，动点在上.(1)当，且为线段的中点时，证明：；(2)记直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【变式1-1】已知双曲线的顶点为，，过右焦点作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点，且.点为轴正半轴上异于点的任意点，过点的直线交双曲线于C，D两点，直线与直线交于点.(1)求双曲线的标准方程；(2)求证：为定值.【变式1-2】已知椭圆：的离心率为，且过点．(1)求椭圆的方程；(2)设不过点的直线与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为，记直线，，的斜率分别为，，，若，证明直线的斜率为定值．题型04五个方程常见题型：斜率和定【解题攻略】给定椭圆，与椭圆上定点P，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为K1,K2,则有【典例1-1】椭圆：()的左焦点为，且椭圆经过点，直线()与交于，两点（异于点）.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线与直线的斜率之和为定值，并求出这个定值.【典例1-2】设为抛物线上两点，且线段的中点在直线上.（1）求直线的斜率；（2）设直线与抛物线交于点，记直线，的斜率分别为，，当直线经过抛物线的焦点时，求的值.【变式1-1】已知右焦点为的椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）经过的直线与椭圆分别交于、（不与点重合），直线、分别与轴交于、，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【变式1-2】已知点F是椭圆的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且.（1）求椭圆的离心率e；（2）已知，，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点.设直线，的斜率分别为，，若，求椭圆E的方程..题型05双变量基础型：直线过定点【解题攻略】直线过定点：1、直线多为y=kx+m型2.目标多为求：m=f（k）3.一些题型，也可以直接求出对应的m的值【典例1-1】已知椭圆过点，长轴长为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于点，直线分别交直线于点，为坐标原点.若，求证：直线经过定点.【典例1-2】已知双曲线经过点（，1）(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【变式1-1】已知点F是抛物线的焦点，动点P在抛物线上.(1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)设点，求的最小值：(3)设直线l与抛物线交于D，E两点，若抛物线上存在点P，使得四边形DPEF为平行四边形，证明：直线l过定点，并求出这个定点的坐标.【变式1-2】已知为坐标原点，点在双曲线上，直线交于，两点.(1)若直线过的右焦点，且斜率为，求的面积；(2)若直线，与轴分别相交于，两点，且，证明：直线过定点.题型06定点：斜率积型【解题攻略】给定椭圆，与椭圆上定点P，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为K1,K2,则有【典例1-1】已知圆经过点，且与轴相切，切点为坐标原点.(1)求圆的标准方程；(2)直线：与圆交于，两点，直线：与圆交于，两点，且.（i）若，求四边形的面积；（ii）求证：直线恒过定点.【典例1-2】已知椭圆的左右顶点为、，直线.已知为坐标原点，圆过点、交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、.(1)记直线，的斜率分别为、，求的值；(2)证明直线过定点，并求该定点坐标.【变式1-1】已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．【变式1-2】已知椭圆C上任意一点P（x，y）到点F（－1，0）的距离与到直线x=－4的距离的比等于．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与椭圆C相交于M，N两点，A（2，0），记直线AM，AN的斜率分别为kAM，kAN，且满足kAM·kAN=－1．证明：直线l过定点．题型07定点：斜率比值型【典例1-1】椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.求证：直线恒过定点.【典例1-2】已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.①求证：直线恒过定点；②设和的面积分别为，求的最大值.【变式1-1】已知双曲线的左焦点坐标为，直线与双曲线交于两点，线段中点为.(1)求双曲线的方程；(2)经过点与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，点，直线与双曲线分别交于另一点.①若直线与直线的斜率都存在，并分别设为.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.②证明：直线恒过定点.【变式1-2】在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．题型08“第六个方程”型转化难题【解题攻略】在一直一曲五个方程（韦达定理代入型）题型中，主要的难点在于怎么转化出“第六个方程”。具有明显的可转化为韦达定理特征的。属于较容易的题。隐藏较深的条件，需要用一些技巧，把条件转化为点坐标之间的关系，再转化为韦达定理。没有固定的转化技巧，可以在训练中积累相关化归思想。【典例1-1】设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若(O为原点)，求k的值.【典例1-2】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点且与平行的直线与椭圆交于点.求的值.【变式1-1】如图，已知椭圆：过点，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）如图，直线平行于（为原点），且与椭圆交于两点、，与直线交于点（介于、两点之间）.（i）当面积最大时，求的方程；（ii）求证：.【变式1-2】已知点在椭圆上，设，，分别为椭圆的左顶点､上顶点､下顶点，且点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，，为椭圆上的两点，且，求证：的面积为定值，并求出这个定值.题型09圆过定点【解题攻略】圆过定点，有常见几方面的思维利用以“某线段为直径”，转化为向量垂直计算利用对称性，可以猜想出定点，并证明。通过推导求出定点（难度较大）【典例1-1】已知椭圆和直线l：，椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)已知定点，若直线与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.【典例1-2】已知点F为双曲线的右焦点，过F的任一直线l与交于A，B两点，直线．(1)若为曲线上任一点，且M到直线的距离为d，求的值；(2)若为曲线上一点，直线MA，MB分别与直线交于D，E两点，问以线段DE为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【变式1-1】．已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于两点，其中与轴交点的横坐标是.(1)证明:;(2)求的最大值，并求此时双曲线的方程;(3)判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点;如果不是，说明理由.【变式1-2】已知抛物线的焦点为，准线为．(1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程；(2)设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程；(3)经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线､分别与相交于点．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．题型10定值型【解题攻略】求定值问题常见的思路和方法技巧：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．求定值题型，运算量大，运算要求高，属于中等以上难度的题【典例1-1】已知椭圆：（，），离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上的任意一点（除短轴的端点外）与短轴的两个端点，的连线分别与轴交于，两点，求证为定值．【典例1-2】双曲线的一条渐近线方程为，且经过点．(1)求的方程；(2)为坐标原点，过双曲线上一动点（在第一象限）分别做的两条渐近线的平行线为，且，与轴分别交于P，Q，求证：为定值．【变式1-1】．已知O为坐标原点，M是椭圆上的一个动点，点N满足，设点N的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程．(2)若点A，B，C，D在椭圆上，且与交于点P，点P在上．证明：的面积为定值．【变式1-2】已知一动点C与定点的距离与C到定直线l：的距离之比为常数.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F作一条不垂直于y轴的直线，与动点C的轨迹交于M，N两点，在直线l上有一点，记直线PM，PF，PN的斜率分别为，，，证明：为定值.题型11面积最值型【解题攻略】求最值求范围，属于前边知识额综合应用，主要是以下两点要注意注意变量的范围。式子转化为求值域或者求最值的专题复习一些常见的思维：1.可以借助均值不等式求最值。2.分式型，多可以通过构造来求最值，如下几种常见的。分式型：以下几种求最值的基本方法（1）（2）与型，可以设mx+n=t，换元，简化一次项，然后构造均值或者对勾函数求解。（3）型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解【典例1-1】已知圆：过点，其长轴长为4．(1)求椭圆的方程；(2)已知为坐标原点，，为椭圆上不重合两点，且，的中点落在直线上，求面积的最大值．【典例1-2】已知抛物线，圆与抛物线有且只有两个公共点.(1)求抛物线的方程；(2)设为坐标原点，过圆心的直线与圆交于点，直线分别交抛物线于点（点不与点重合）.记的面积为，的面积为，求的最大值.【变式1-1】已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点的直线l交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．【变式1-2】已知椭圆的上顶点为，右焦点为，点满足．(1)判断点是否在椭圆上，并给出理由；(2)已知与线段相交的直线交椭圆于，（不同于点，）两点，求四边形面积的最大值．题型12切线型【典例1-1】如图，两个椭圆的方程分别为和，(1)已知椭圆的离心率，且，求该椭圆的方程；(2)从大椭圆的右顶点和上顶点分别向小椭圆引切线，若的斜率之积恒为，求的值.【典例1-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，上一点到距离之和为6.(1)求的方程；(2)设在点处的切线交轴于点，证明：.【变式1-1】法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆中，离心率，左、右焦点分别是、，上顶点为Q，且，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为，求面积的最大值.【变式1-2】．已知点为双曲线的左右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且的面积为.圆的方程是.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，求的值；(3)过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于两点，中点为，若恒成立，试确定圆半径.高考练场1.（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直.(1)求C的方程；(2)直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F.2.已知双曲线的右焦点为，且点在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程；(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在不与F重合的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.已知椭圆的离心率为，点在短轴上，且．(1)求的方程；(2)若直线与交于两点，求（点为坐标原点）面积的最大值．4.（2023·四川成都·校联考一模）已知椭圆的左、右焦点分别为