专题1-1 基本不等式归类（原卷版）

专题1-1基本不等式归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型01公式基础 1题型02基础模型：倒数型 2题型03常数代换型 3题型04积与和型 4题型05积与和互化解不等式型 4题型06构造分母和定型 5题型07凑配系数构造分母和定型 5题型08换元构造分母和定型 6题型09分子与分母互消型 7题型10“1”代换综合型 7题型11分子消去型 8题型12消元型 8题型13齐次化构造型 9题型14三角换元构造型 9题型15因式分解双换元型 10题型16配方型 11高考练场 11题型01公式基础【解题攻略】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.【典例1-1】（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2021秋·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2【变式1-1】（2021·高三阶段测试）下列说法不正确的是（

）A．x＋(x>0)的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是 D．若x>0，则2－3x－的最大值是2－4【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（

）A．若，则B．若x＞0，y＞0，则C．若x＜0，则D．若x＜0，则【变式1-3】（2022秋·广东·高三深圳市宝安中学（集团）校考）在下列函数中，最小值是的是（

）A． B．C． D．题型02基础模型：倒数型【解题攻略】倒数型：，或者容易出问题的地方，在于能否“取等”,如，【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三统考）已知的面积为，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习）已知，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．【变式1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）函数的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2022上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）若(x,)最大值记为,则的最小值为A．0 B． C． D．题型03常数代换型【解题攻略】利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换条件和结论有“分子分母”特征；（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件结构形式：（1）求（2）求【典例1-1】（2023·江西·校联考一模）已知，，是正实数，且，则最小值为.【典例1-2】（2019上·山东潍坊·寿光现代中学校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（

）A．10 B．11 C．13 D．21【变式1-1】（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知，，，则的最小值为．【变式1-2】（2023下·湖南株洲·统考）设正实数满足，则的最小值为.【变式1-3】（2023上·上海松江·高三校考）已知，，且，则取得最小值时的值是.题型04积与和型【解题攻略】积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解【典例1-1】（2021·全国·高三测试）已知，，且，则当取得最小值时，（

）A．16 B．6 C．18 D．12【典例1-2】（2021·湖南岳阳·高三联考）已知，，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【变式1-1】(2020·重庆市暨华中学校高三阶段）已知，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【变式1-2】（2021·山东威海·高三校考）若，且，则的最小值为（

）A．18 B．15 C．20 D．13【变式1-3】（2022·全国·高三一专题练习）已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．题型05积与和互化解不等式型【解题攻略】积与和型，如果满足有和有积有常数，则可以转化为解不等式型。形形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：【典例1-1】（2022秋·云南·校联考阶段练习）已知正数、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知，则的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．4【变式1-1】（2022秋·广东深圳·高三深圳外国语学校校考期末）已知曲线，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2021·重庆市实验中学高一阶段练习）设，，，则ab的最小值是（

）A．4 B．9 C．16 D．25【变式1-3】（2021·安徽·霍邱县第一中学高一阶段练习）若，且，则的取值范围（

） B． C． D．题型06构造分母和定型【解题攻略】对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。【典例1-1】（2022上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考）若三个正数满足，则的最小值为.【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，那么的最小值为（

）A． B．2 C． D．4【变式1-1】（2022秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【变式1-2】（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2022上·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为.题型07凑配系数构造分母和定型【解题攻略】对于分数型求最值，如果复合pa+qb=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=h，再利用“1”的代换来求解。其中结合所给与所求a、b的系数，可以任意调换，来进行变换凑配。【典例1-1】（2023·全国·高三题练习）已知，，且，则的最小值为.【典例1-2】（2023秋·全国·高三专题练习）已知且，若恒成立，则实数的范围是．【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，若恒成立，则实数的范围是．【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）若三个正数满足，则的最小值为.【变式1-3】（2021·三课时练习）已知，则的最小值为.题型08换元构造分母和定型【解题攻略】换元型构造分母和定型：形如型，则可以通过换元分母，再利用“1”的代换来求解。【典例1-1】（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的小值为．【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知且，则的最小值为.【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值是.【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足，则的最小值为.题型09分子与分母互消型【解题攻略】满足一般情况下可以通过“万能K法”转化求解设K法的三个步骤：⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值【典例1-1】（2021秋·高三单元测试）已知正数，满足，则的最小值是.【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知正数，满足，则的最大值是.【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知为正数，且，则的最大值为．【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数，满足，则的最大值为（

）A． B．1 C．2 D．9题型10“1”代换综合型【典例1-1】（2022上·辽宁大连·大连二十四中校考）已知且，则的最小值等于.【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考）若实数，满足等式，，，且不等式恒成立，则实数的取值范围为.【变式1-1】（2020上·上海徐汇·高三上海中学校考）已知实数满足且，若，则的最小值是【变式1-2】（2020·江苏苏州·吴江盛泽中学模拟预测）已知，且，则的最小值为．题型11分子消去型【解题攻略】对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解【典例1-1】（2020·江苏省震泽中学高三阶段练习）若，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022秋·辽宁沈阳·高三校联考阶段练习）已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．【变式1-1】（2022春·广东韶关·高三校考阶段练习）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（

）A．1 B．6 C．7 D．【变式1-2】（2023春·重庆·高三校联考期中）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2022春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考期中）已知正实数满足，则的最小值为（

）A．10 B．11 C．13 D．21题型12消元型【解题攻略】消元型：对于双变量型不等式求最值，如果不符合常见的转化方法，可以通过反解代入消元，转化为单变量型不等式求最值。【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是（

）A．14 B． C．8 D．【变式1-1】（2023秋·海南海口·高三校考开学考试）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．2 B． C． D．6【变式1-2】（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）若，且，则的最小值为．【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数、满足，则的最小值是.题型13齐次化构造型【解题攻略】齐次化构造型：一般情况下，分式分子分母含有等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量型来转化计算求解【典例1-1】（2023春·天津河西·高二统考期末）已知，则的最小值是（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2022秋·湖北黄石·高一期中）已知x，y为正实数，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．8【变式1-1】若a，b均为正实数，则的最大值为A． B． C． D．2【变式1-2】函数的最大值为（）A. B. C. D.【变式1-3】已知，，则的最大值是．【变式1-4】若实数满足，且，则的最大值为____.题型14三角换元构造型【解题攻略】一般情况下，复合或者能转化为型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值【典例1-1】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最大值是（

）A． B． C．0 D．【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为．【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为.【变式1-3】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，则的取值范围为．题型15因式分解双换元型【解题攻略】如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）【典例1-1】（2022秋·浙江温州·高三校考阶段练习）已知，，且，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．【变式1-1】（2021江苏高三月考）若a,b∈R，且a2+2ab−3【变式1-2】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知且满足，则的最小值是.题型16配方型【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知a，，且，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（

）A．40 B． C．42 D．【变式1-3】（2022秋·河北保定·高一校联考阶段练习）设，，若，则的最大值为．高考练场1.（2020秋·浙江绍兴·高三校考阶段练习）给出下面四个推导过程：①∵a，b为正实数，∴；②∵x，y为正实数，∴；③∵，，∴；④∵，，∴．其中正确的推导为（