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文档简介

专题7-3圆锥曲线离心率归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型01离心率基础 1题型02第一定义求离心率 2题型03中点型求离心率 3题型04点差法型求离心率(第三定义型) 4题型05渐近线型离心率 5题型06渐近线中点型求离心率 6题型07构造a、b、c齐次式型 7题型08焦半径型离心率 7题型09焦点三角形求离心率 8题型10双焦点三角形余弦定理型 9题型11焦点三角形双角度型 10题型12共焦点型椭圆双曲线离心率 11题型13借助均值不等式求共焦点型 12题型14焦点三角形内心型求离心率 13题型15焦点三角形重心型求离心率 14题型16小题大做型求离心率 15高考练场 16题型01离心率基础【解题攻略】求解圆锥曲线的离心率的常见方法:1、定义法:通过已知条件列出方程组,求得得值,根据离心率的定义求解离心率;2、齐次式法:由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式,然后转化为关于的一元二次方程或不等式,结合离心率的定义求解;3、特殊值法:根据特殊点与圆锥曲线的位置关系,利用取特殊值或特殊位置,求出离心率问题.【典例1-1】.P是椭圆上的一点,F为椭圆的右焦点,轴,过点P作斜率为的直线恰好经过左顶点,则椭圆的离心率为(

)A. B. C. D.【典例1-2】(2021秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习)双曲线的离心率用来表示,则(

)A.在上是增函数 B.在上是减函数C.在上是增函数,在上是减函数 D.是常数【变式1-1】(2023秋·高三课时练习)实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,则等轴双曲线的离心率为(

)A. B.2 C. D.3【变式1-2】已知椭圆的左、右焦点分别为、,点P为C上一点,若,且,则椭圆C的离心率为(

)A. B. C. D.【变式1-3】已知椭圆的左、右焦点分别为,,P为椭圆C上一点,若的周长为18,长半轴长为5,则椭圆C的离心率为(

).A. B. C. D.题型02第一定义求离心率【解题攻略】解题时要把所给的几何特征转化为的关系式.求离心率的常用方法有:(1)根据条件求得,利用或求解;(2)根据条件得到关于的方程或不等式,利用将其化为关于的方程或不等式,然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围.【典例1-1】已知椭圆的右焦点为F(5,0),点A,B为C上关于原点对称的两点,且,,则C的离心率为___________.【典例1-2】设椭圆()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点,使得,则椭圆的离心率的取值范围是()A. B. C. D.【变式1-1】.椭圆的左右焦点分别为、,直线与交于A、两点,若,,当时,的离心率的最小值为(

)A. B. C. D.【变式1-2】.已知椭圆的右焦点为F(5,0),点A,B为C上关于原点对称的两点,且,,则C的离心率为___________.【变式1-3】.设椭圆的左右焦点分别为,,焦距为,点在椭圆的内部,点P是椭圆上的动点,且恒成立,则椭圆的离心率的取值范围为(

)A. B. C. D.题型03中点型求离心率【解题攻略】直线与曲线相交,涉及到交线中点的题型,多数用点差法。按下面方法整理出式子,然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题:(1)求中点坐标;(2)求中点轨迹方程;(3)求直线方程;(4)求曲线;中点,,【典例1-1】(2023·全国·高三专题练习)如图,已知双曲线:的左,右焦点分别为,,正六边形的一边的中点恰好在双曲线上,则双曲线的离心率是(

)A. B. C. D.【典例1-2】(2021秋·福建厦门·高三福建省厦门集美中学校考阶段练习)已知双曲线的左右焦点分别为,,过的直线交双曲线的右支于,两点.点为线段的中点,且.若,则双曲线的离心率是(

)A.2 B. C. D.【变式1-1】(2022春·陕西安康·高三统考)已知双曲线的左,右焦点分别为、,过点作倾斜角为的直线l交双曲线C的右支于A,B两点,其中点A在第一象限,若,且双曲线C的离心率为2.则(

)A. B. C. D.【变式1-2】(2021春·河北唐山·高三唐山市第十一中学校考阶段练习)已知双曲线:的左、右焦点分别为,,点,分别在其左、右两支上,且,为线段的中点,若,则双曲线的离心率为(

)A. B. C. D.【变式1-3】(2022春·新疆·高三八一中学校考)设,分别为双曲线的左、右焦点.若为右支上的一点,且为线段的中点,,,则双曲线的离心率为(

)A. B. C. D.题型04点差法型求离心率(第三定义型)【解题攻略】设直线和曲线的两个交点,,代入椭圆方程,得;;将两式相减,可得;;最后整理得:同理,双曲线用点差法,式子可以整理成:设直线和曲线的两个交点,,代入抛物线方程,得;;将两式相减,可得;整理得:【典例1-1】已知点是椭圆上的两点,且线段恰好为圆的一条直径,为椭圆上与不重合的一点,且直线的斜率之积为,则椭圆的离心率为____________.【典例1-2】已知直线与椭圆相交于两点,且线段的中点在直线上,则此椭圆的离心率为_______【变式1-1】(2023·四川雅安·统考三模)已知双曲线C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率等于,点在双曲线C上,椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同,斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点.若线段AB的中点坐标为,则椭圆E的方程为(

)A. B.C. D.【变式1-2】(2021秋·河南·高三校联考阶段练习)已知斜率为的直线与双曲线相交于A,B两点,O为坐标原点,AB的中点为P,若直线OP的斜率为,则双曲线C的离心率为(

)A. B.2 C. D.3【变式1-3】(2022秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第一中学校考)已知双曲线的离心率为2,过点的直线与双曲线C交于A,B两点,且点P恰好是弦的中点,则直线的方程为(

)A. B. C. D.题型05渐近线型离心率【典例1-1】(2021秋·重庆南岸·高三重庆市南坪中学校校考阶段练习)经过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线,若与双曲线的左支有两个不同的交点,则的离心率的取值范围是(

)A. B. C. D.【典例1-2】(2023春·黑龙江大庆·高三大庆中学校考开学考试)已知点在双曲线的渐近线上,则双曲线的离心率为(

)A. B.2 C. D.【变式1-1】(2023秋·甘肃天水·高三校考)已知双曲线:的渐近线方程为:,则该双曲线的离心率为(

)A. B. C.2 D.【变式1-2】(2023·内蒙古通辽·校考模拟预测)已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线的离心率为(

)A. B. C. D.2【变式1-3】(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线(,)与直线无公共点,则双曲线的离心率的最大值是(

)A. B.2 C. D..题型06渐近线中点型求离心率【典例1-1】(2021秋·陕西渭南·高三统考)已知双曲线C:的左、右焦点分别为、,过的直线分别交双曲线C的两条渐近线于点M、N.若点M是线段的中点,且,则双曲线C的离心率为(

)A. B. C.2 D.4【典例1-2】(2023秋·河南安阳·高三校考)已知双曲线的左焦点为,右顶点为A,两条渐近线为.设关于的对称点为,且线段的中点恰好在上,则的离心率为(

)A. B. C. D.【变式1-1】(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线与椭圆.过椭圆上一点作椭圆的切线l,l与x轴交于M点,l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q,且N为MQ的中点,则双曲线C的离心率为(

)A. B. C. D.【变式1-2】(2022春·广西南宁·高三南宁二中校考阶段练习)已知双曲线的右焦点为F,左顶点为A,M为C的一条渐近线上一点,延长FM交y轴于点N,直线AM经过ON(其中O为坐标原点)的中点B,且,则双曲线C的离心率为(

).A.2 B. C.3 D.4【变式1-3】(2022·河北沧州·统考模拟预测)已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,M为OA的中点,P为双曲线C右支上一点且,且,则说法错误的是(

)A.C的离心率为2 B.C的渐近线方程为C.PM平分 D.题型07构造a、b、c齐次式型【解题攻略】只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).【典例1-1】(2023春·湖北·高三统考阶段练习)已知双曲线为双曲线的右焦点,过点作渐近线的垂线,垂足为,交另一条渐近线于,若,则双曲线的离心率的取值范围是(

)A. B.C. D.【典例1-2】(2023·全国·高三专题练习)过双曲线的右焦点F作一条直线,当直线斜率为1时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同的交点,则双曲线离心率的取值范围为(

)A. B. C. D.【变式1-1】(2023秋·全国·高三校联考阶段练习)已知双曲线C:的左顶点为A,右焦点为F,以线段AF为直径的圆M与双曲线的一条渐近线相交于B,D两点,且满足(O为坐标原点),若圆M的面积S满足,则双曲线C的离心率e的取值范围是(

)A. B. C. D.【变式1-2】(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线的上、下焦点分别是,若双曲线C上存在点P使得,,则其离心率的取值范围是(

)A. B. C. D.【变式1-3】(2008·湖南·高考真题)若双曲线上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是(

)A. B. C. D.题型08焦半径型离心率【解题攻略】圆锥曲线焦半径统一结论,其中p为交点到准线的距离,对椭圆和双曲线而言对于抛物线,则【典例1-1】(2023秋·高三课时练习)已知双曲线左,右焦点分别为,若双曲线右支上存在点使得,则离心率的取值范围为(

)A. B.C. D.【典例1-2】(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线(,)左、右焦点分别为,,若双曲线右支上存在点使得,则离心率的取值范围为(

)A. B. C. D.【变式1-1】已知椭圆的左、右焦点分别为,,椭圆上点到焦点的最大距离为3,最小距离为1,则椭圆的离心率为(

)A. B. C. D.【变式1-2】设是椭圆的右焦点,是椭圆的左顶点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则椭圆的离心率为A. B. C. D.【变式1-3】设,分别为椭圆的左,右焦点,若直线上存在点,使,则椭圆离心率的取值范围为______.题型09焦点三角形求离心率【典例1-1】已知分别是椭圆的上下两个焦点,若椭圆上存在四个不同点,使得的面积为,则椭圆的离心率的取值范围是A. B. C. D.【典例1-2】已知是椭圆E的两个焦点,P是E上的一点,若,且,则E的离心率为(

)A. B. C. D.【变式1-1】.已知是椭圆的一个焦点,若直线与椭圆相交于两点,且,则椭圆离心率的取值范围是(

)A. B. C. D.【变式1-2】如图,椭圆的左右焦点分别是,点、是上的两点,若,且,则椭圆的离心率为(

)A. B. C. D.【变式1-3】已知椭圆的左,右焦点分别为,,直线与C交于点M,N,若四边形的面积为且,则C的离心率为(

)A. B. C. D.题型10双焦点三角形余弦定理型【解题攻略】圆锥曲线具有中心对称性质,内接焦点四边形性质:焦点四边形具有中心对称性质。焦点四边形可分割为两个焦点三角形,具有焦点三角形性质。焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形,可以用双余弦定理求解【典例1-1】椭圆的两个焦点为,,过的直线交椭圆于,两点,,,则椭圆的离心率为___________.【典例1-2】已知椭圆以为左右焦点,点P、Q在椭圆上,且过右焦点,,若,则该椭圆离心率是(

)A. B. C. D.【变式1-1】如图所示,为椭圆的左右焦点,过的直线交椭圆于B.D两点且,E为线段上靠近的四等分点.若对于线段上的任意点P,都有成立,则椭圆的离心率为________.【变式1-2】已知椭圆的左焦点和右焦点,上顶点为,的中垂线交椭圆于点,若左焦点在线段上,则椭圆离心率为____.【变式1-3】.已知椭圆的焦点为,,过的直线与交于,两点,若,则的离心率为(

)A. B. C. D.题型11焦点三角形双角度型【解题攻略】设椭圆(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记,,,则有.设双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记,,,则有.【典例1-1】(2023秋·河北保定·高三校考)已知椭圆的两个焦点分别为,点为椭圆上一点,且,则椭圆的离心率为.【典例1-2】(2023·上海·高三专题练习)已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在一点使,且,则.【变式1-1】(2023·重庆·统考三模)已知,分别为椭圆的左右焦点,P是椭圆上一点,,,则椭圆离心率的取值范围为.【变式1-2】已知,分别为椭圆的两个焦点,P是椭圆E上的点,,且,则椭圆E的离心率为(

)A. B. C. D.【变式1-3】设P为椭圆上一点,且,其中为椭圆的两个焦点,则椭圆的离心率e的值等于(

)A. B.C. D.题型12共焦点型椭圆双曲线离心率【解题攻略】椭圆与双曲线共焦点、,它们的交点对两公共焦点、的张角为,椭圆与双曲线的离心率分别为、,则.【典例1-1】(2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习)已知椭圆和双曲线的焦点相同,记左、右焦点分别为,,椭圆和双曲线的离心率分别为,,设点为与在第一象限内的公共点,且满足,若,则的值为(

)A.3 B.4 C.5 D.6【典例1-2】(2022秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习)已知椭圆,双曲线,,为的焦点,为和的交点,若△的内切圆的圆心的横坐标为1,和的离心率之积为,则实数的值为(

)A.3 B.4 C.5 D.6【变式1-1】(2023·高三课时练习)已知椭圆()与双曲线(,)有公共焦点,,且两条曲线在第一象限的交点为P.若是以为底边的等腰三角形,曲线,的离心率分别为和,则(

)A.1 B.2 C.3 D.4【变式1-2】(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点,,若,在第一象限内的交点为P,且满足,设,分别是,的离心率,则,的关系是(

)A. B.C. D.【变式1-3】(2022·全国·高三专题练习)已知分别是椭圆和双曲线的公共的左右焦点,是的离心率,若在第一象限内的交点为,且满足,则的关系是(

)A. B. C. D.题型13借助均值不等式求共焦点型【典例1-1】、已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们一个公共点,且,椭圆、双曲线的离心率分别为,则的最小值__________.【典例1-2】(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆和双曲线有共同的焦点,,是它们的一个交点,且,记椭圆和双曲线的离心率分别为,,则当取最大值时,,的值分别是(

)A., B., C., D.,【变式1-1】(2022·全国·高三专题练习)已知是椭圆和双曲线的一个交点,是椭圆和双曲线的公共焦点,分别为椭圆和双曲线的离心率,若,则的最小值为(

)A. B. C. D.【变式1-2】.(2022秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考)已知椭圆和双曲线有相同焦点与,设椭圆和双曲线的离心率分别为,为两曲线的一个公共点,且(其中O为坐标原点),则的最小值为(

)A. B.10 C. D.15【变式1-3】(2022·高三课时练习)已知椭圆与双曲线有相同的焦点,点是曲线与的一个公共点,分别是和的离心率,若,则的最小值为(

)A. B. C. D.题型14焦点三角形内心型求离心率【解题攻略】双曲线中,焦点三角形的内心的轨迹方程为.证明:设内切圆与的切点分别为,则由切线长定理可得,因为,,所以,所以点的坐标为,所以点的横坐标为定值a.【典例1-1】(2022秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考)已知双曲线的左、右焦点分别为,,O为坐标原点,点M在C的右支上运动,的内心为I,若,则C的离心率为(

)A.2 B. C.3 D.【典例1-2】.(2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)已知双曲线()的左、右焦点分别为为双曲线上的一点,为的内心,且,则的离心率为()A. B. C. D.【变式1-1】(2022·全国·高三专题练习)点P是双曲线C:右支上一点,,分别是双曲线C的左,右焦点,M为的内心,若双曲线C的离心率,且,则(

)A. B. C.1 D.【变式1-2】(2022秋·四川宜宾·高三宜宾市叙州区第一中学校校考)已知、分别为双曲线的左、右焦点,且,点为双曲线右支一点,为的内心,若成立,给出下列结论:①当轴时,②离心率③

④点的横坐标为定值上述结论正确的是(

)A.①② B.②③ C.①③④ D.②③④【变式1-3】(2023秋·高三课时练习)已知、分别为双曲线的左、右焦点,且,点为双曲线右支上一点,为内心,若,则的值为(

)A. B. C. D.题型15焦点三角形重心型求离心率【典例1-1】(2020·黑龙江大庆·铁人中学校考二模)设,是双曲线的左、右焦点,点是双曲线右支上一点,若的内切圆的半径为,且的重心满足,则双曲线的离心率为(

)A. B. C.2 D.【典例1-2】(2022·全国·高三专题练习)在双曲线:的右支上存在点,使得点与双曲线的左、右焦点,形成的三角形的内切圆的半径为,若的重心满足,则双曲线的离心率为A. B. C. D.【变式1-1】(2022春·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习)设双曲线的左右焦点分别为若在曲线的右支上存在点,使得的内切圆半径为,圆心记为,又的重心为,满足,则双曲线的离心率为.A. B. C. D.【变式1-2】(2023·全国·模拟预测)已知双曲线的左顶点为A,若在双曲线的右支上存在两点M,N,使△AMN为等边三角形,且右焦点为△AMN的重心,则该双曲线的离心率为(

)A. B.2 C. D.【变式1-3】(2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试)已知双曲线的右焦点为,过点作一条渐近线的垂线,垂足为,若的重心在双曲线上,则双曲线的离心率为(

)A. B. C. D.题型16小题大做型求离心率【典例1-1】已知椭圆,若存在过点且互相垂直的直线,,使得,与椭圆C均无公共点,则该椭圆离心率的取值范围是(

)A. B.C. D.【典例1-2】如图,椭圆的离心率为e,F是的右焦点,点P是上第一象限内任意一点.且,,,若,则离心率e的取值范围是(

)A. B. C. D.【变式1-1】存在过椭圆左焦点的弦,使得,则椭圆C的离心率的最小值是(

)A. B. C. D.【变式1-2】已知椭圆内有一定点,过点P的两条直线,分别与椭圆交于A、C和B、D两点,且满足,,若变化时,直线CD的斜率总为,则椭圆的离心率为A. B. C. D.【变式1-3】过原点的一条直线与椭圆=1(a>b>0)交于A,B两点,以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2,若∠ABF2∈[],则该椭圆离心率的取值范围为()A. B. C. D.【市级联考】河南省洛阳市2018-2019学年高三第一学期考试数学试题(文)高考练场1..已知椭圆的左右焦点分别,左顶点为A,上顶点为B,点P为椭圆上一点,且,若,则椭圆的离心率为(

)A. B. C. D.2.已知椭圆的左、右焦点分别为,为椭圆上一点,且,若关于平分线的对称点在椭圆上,则该椭圆的离心率为______.3.(2023·河南·校联考模拟预测)已知双曲线:的左、右焦点分别为,,过作以为圆心、为半径的圆的切线切点为.延长交的左支于点,若为线段的中点,且,则的离心率为(

)A.2 B. C. D.4.(2021秋·江苏扬州·高三扬州大学附属中学校考)已知直线y=x-1与双曲线交于A、B两点,若线段A

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