2024届重庆市拔尖强基联盟高三上学期12月月考数学试题及答案

西南大学附中重庆育才中学高2024届拔尖强基联盟高三十二月联合考试数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）命题学校：西南大学附中2023年12月注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。38小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z12ii1，则z（）A．10B．2C．5D．3E:x2y26x8y0，圆F:xB．相切2y22x4y40，则这两圆的位置关系为（）2．已知圆A．内含C．相交D．外离an3an2（3．在首项为1的数列a中，满足a，则520C．0）nn15243A．B．D．1214．若a4bm且1a,,mR，则m（）abA．23B．6C．36D．125M为△ABC外接圆O上的任意一点，ABC90,ABBC3OAOBBM的最大值为（）32A．1B．C．3D．56．在平面直角坐标系中，集合Ax,ykxyk0，集合Bx,yykx1，已知点MA，点NB，记d表示线段MN长度的最小值，则d的最大值为（A．2B．3C．1）D．21,cln11，则（7．设ae10,bA．abc8．点M、N为正四面体ABCD的内切球球面上的两个动点，T为棱AB上的一动点，则当MTN取最大）1110B．acbC．bcaD．cba值时，tanMTN（）A．2B．1C．2D．224小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．中，2AB4，O为此正四棱柱的外接球球心，下列说法正9．如图，在正四棱柱ABCDABCD确的是（）A．BCABB．球O的表面积为C．点O到AD的距离为5D．四棱锥O的表面积为44510G:(x2(y2)3l:mxny0（m,nR且m,n不同时为02是（）A．当直线l经过时，直线l与圆G相交所得弦长为10B．当m0时，直线l与l关于点G对称，则l的方程为：y4C．当n0时，圆G上存在4个点到直线l的距离为2D．过点G与l平行的直线方程为：mxnym2n011．已知函数fx1是偶函数，其中2cosxx3，则，若函数gxsin2x2下列说法正确的是（）A．3B．gx的图象可由函数fx的图象向右平移个单位长度得到12122C．gx的一个单调递增区间是,32D．若关于x的方程gxm0在,上有两个不同的实根，则m的取值范围是212．定义在0,1上的函数fx同时满足以下条件：①f1②x0,1,fx1f1x1x③x,x0,1,xxfxfx02④xfx2f121213则下列说法正确的有（）1233123A．若x,，则fxB．方程fx在x0,1上无实数解8kk1411631211C．若kN，则fD．f3k2k三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．4，则13______；13．已知数列a是等差数列，S表示数列a的前n项和，若annn74214．若，则______．315．设椭圆E的两个焦点是F,F，过点F的直线与椭圆E交于点,B，若AFFF，且122112AF2BF，则椭圆E的离心率是______．2216．若sin0，则的最大值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．a2a35a4a，等比数列b满足b5，27266n321710分）等差数列a满足aa6n1（1）求数列a,b的通项公式；nn（2）若cab，求数列c的前n项和S．nnnnn1812分）在△ABC中，内角,B,C所对的边分别为a,,c，满足ba2bcosC（1）求证：C2B；（2）若△ABC为锐角三角形，求CBsinB的最大值．19．（12分）五棱锥PABCFE中，AB∥，AE∥BC，PEPF，ABBC，PEPFAE2，FCBC4，AB6，平面PEF平面ABCFE,M为PB的中点，（1）求证：EM∥平面PCF；（2）求直线AM与平面PCF所成角的正弦值．2012yx19100月次123456789某科课后投入时间x（分钟）2025303540455055606568757273737373．573高三（1）班某科平均分y（分）（1）当x40时，该小组建立了y与x的线性回归模型，求其经验回归方程；（2）当x40时，由图中观察到，第3个月的数据点明显偏离回归直线l，若剔除第3个月数据点后，用余下的4个散点做线性回归分析，得到新回归直线l，证明：l∥l；ˆ（3）当x40时，该小组确定了y与x满足的线性回归方程为：yx72.6，该数学小组建议该班在该学科投入课后学习时间为40分钟，请结合第（12）问的结论说明该建议的合理性．nxxyyiiˆˆ附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：bi1，ˆybxn2xxii1x22112分）已知点P(0,1),Q(0,为椭圆C:ym内的两点，在椭圆C上存在两点A，B满足24AP2PB，直线AQ交椭圆C于点M（点M异于点A（1）当m2时，求点B的纵坐标；（2）求点B，M横坐标乘积的最大值．ex2ax，其中xR．x22212分）已知函数fx（1）若f(x)在)单调递增，求a的取值范围；5e1x31x21（2f(x)x,x,xxx2xx2x2318ln26,9123131的取值范围．高三十二月联合考试数学参考答案123456789101112AADCBDADACDABABDACD59113．5214．15．3n171）设a公差为d,b公比为qnaad71111ann．则，解出ada2da4dadadd1111112bq2q4111q3又由，解出nn1．2726q3（2）由题意nnn1n130233312nn1①②n13123n123n1n3n①-②得：2n1131131n1n32n13nn3n1311n3n2212n1n3n44181）由题ba2bcosc由正弦定理：sinBsinA2sinBCsin(BC)2sinBCsinBCBsinC2sinBCsinCBCsinBsinCBBCB或BCB（舍）C2B（2）△ABC为锐角三角形03B220BB6402B2由（1C2B原式2sin2BBsinB431令tBsinB2sinB2t2t则原式21t22t221173122t,t481当t时，所求式子的最大值为．48191）取BC中Q，连接、MQ．又M为PB的中点，MQ∥PC，又PC平面PCF,MQ平面PCF，MQ∥平面PCF，又AEBQ，四边形EABQ为平行四边形，EQ∥AB，又AB∥，∴EQ∥，又平面PCF,EQ平面PCF，EQMQQ,EQ平面EMQ,MQ平面EMQ平面EMQ∥平面PCF，又EM平面EMQEM∥平面PCF．（2）取EF中点D，连接PD由PEPF知PDEF，又平面PEF平面AC，故PD平面AC以D为坐标原点，DP为Z轴，过D作x轴∥BC，过点D作y轴∥AB建立如图所示空间直角坐标系，235,F0,C0由题得：A1,0,P2,B0,M,,2222设平面PCF的法向量为nx,y,z,PC2,PFx5y2z0有，令zn2,0,1xy2z03722231521015又AM,,cosAM,n22221015直线AM与平面PCF所成角的正弦值为20．解：20253035406568757273（1）x30，y70.6555xxyyii10(5.6)((2.6)04.451.4102.4100ˆbi10.45100250251002502xxii1ˆaybx70.60.43058.6所求经验回归方程为：y0.4x58.6202535406568727369.5（2）设l的方程为ybxa，x30，y11444xxyyii10(5.6)((2.6)51.4102.4∴bi10.414100250251002xxii1aybx69.50.43057.511bb的方程为y0.4x57.5，故l1，l∥l1a（3）由（12）知，剔除异常值后①x40时，l的斜率为0.4，x40时，回归直线的斜率为0.01而0.4远大于0.01（或0.01接近于0）②x40时，回归直线的最大值点为40故认为建议合理211）设Ax,y,Bx,y，由AP2PB，即x,1y2x,y11122112212x2有12x2，从而y2y3132y212m3y222x2432y24m24进一步，解得x224y224m2m210m9x242354故m2时，y242m10m9x2204（2）1m9o21m243设Mx,y3①当AQ斜率不存在时，、M重合，此时xx023111y22x2②当AQ斜率存在时，设直线AQ:yx1x1y22x22yx1y22y22则4x28x44m0x2x2x24y24m∵仅在椭圆内，AQ与椭圆一定相交44m44mm314132x23(m2m922y222414x241m210m94m1m1182m3256271116x23m1m1182m16319当且仅当m1182m即m时，等号成立325627故xx32221）fxexxa(x23x1eaxx上恒成立由题，有fx0在即exax在上恒成立10exa在上恒成立x1xx1exexx2exe令gx(xgxx1(x2(x2由gx0，解得x2；由gx0，解得1x2gx在1,2上单调递减，在上单调递增g(x)g2e2,a