2024届新疆喀什第二中学高三上学期期中数学试题及答案

喀什第二中学2023～2024学年第一学期高三年级期中测试数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数与解三角形、平面向量与复数。一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。A3,Bx2x30AB1.已知集合，则（）32,C.1,3D.A.B.1i)z3i，则|z|2.若复数z满足（）A.5B.5C.25D.203.如图所示，在中，6，则AD（）1166A.C.B.D.571757571ABACABAC66664.若角A.4的终边上有一点Pm，且sin，则m（）541B.C.-1D.5.设aR，则“a0”是“a3a2”的（）A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村产业､人才､文化､生态､组织振兴”的目标，第1页/共6页x某银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于还款人的年收入（单e0.9位：万元）的Logistic模型：P(x).已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为1e0.92e0.450%，若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为（参考数据：A.30%B.40%C.60%）3D.70%7.“风调雨顺､国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位､国家3A级旅游景区，小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB7.5，，在同一水平面上且三点共mCBCN线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（31.73）A31.42mB.33.26m有两条与直线C.35.48mD.37.52mfxx2ax平行的切线，且切点坐标分别为，y2xPx,fx8.已知函数1111Qx,fx，则的取值范围是（）22120,2222,C.A.B.0,4D.二、选择题：本题共4小题。9.下列等式成立的是（）122A.2B.sin222.522.52212cos28cos32cos62cos58C.D.33cos502第2页/共6页10.已知实数a，b，c，其中ab1，c0，则下列关系中一定成立的是（）Aa2bcb2acB.a3b211acbcabD.C.ab11.已知函数fxcos2x2cosx1，则下列说法正确的是（）fx的最小正周期为πA.B.C.的最大值为2fxπ的图象关于直线fx对称x2πD.在fx上单调递减212.已知为定义在R上的偶函数且fx不是常函数，，，fxFxf1x1gxfx11若是奇函数，则（）gxy的图象关于1fxA.B对称fxfx4C.是奇函数FxD.与Fx关于原点对称gx三、填空题：本题共4小题。π,aa2abb13.已知非零向量a,b的夹角为，则__________．314.圆心角为2的扇形的周长为4，则此扇形的面积为______.4xy0x215.已知，则的最小值为___________.y(xy)2xxf(x)，若的解集是fx__________；若函数x16.设函数1，则不等式x3x,x3恰好有两个零点，则的取值范围是__________．gxfx2四、解答题：本题共6小题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。105π17.已知sincos（1）求sincos，.的值；第3页/共6页2023π2023π的值.（2）求18.已知函数fxx2abx2a．fx的值；x0的解集为{1x，求ab（1）若关于的不等式（2）当b2时，解关于x的不等式fx0．πfxAsinx19.已知函数（其中A0,的图象fx2π向右平移个单位长度，得到函数的图象．gx4（1）求与的解析式；gxfxFxfxgx（2）令，求方程Fx在区间2π内的所有实数解的和．2f(x)21ax是偶函数.x20.已知函数2a（1）求的值;g(x)f(x)xh(x)x22xmx10,4，存在x5，使得2（2）设，，若对任意的，求的取值范围g1h2m.π3ABAD,CAD,ABABCπ21.如图，在平面四边形ABCD中，．243BC2,sinADC，求CD（1）若（2）若的长；5π,CD8，求AD的长．6fxaxaex,a0a1．22.已知函数且a（1）讨论的单调性．fx（2）若有且仅有两个零点，求a的取值范围．fx第4页/共6页喀什第二中学2023～2024学年第一学期高三年级期中测试数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数与解三角形、平面向量与复数。一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。A3,Bx2x30AB1.已知集合，则（）32,C.1,3D.A.B.1【答案】C【解析】3B,【分析】由题可得，然后利用交集的概念即得.2323B【详解】由2x30可得x，即,，2AB3．所以故选：C．i)z3i，则|z|2.若复数z满足（）A.5B.5C.25D.20【答案】A【解析】【分析】由复数的除法计算出复数z，再利用模长公式求|z|.3ii)1ii)i)z3iz12(2)25．【详解】因为，所以，所以|z|故选：A．第1页/共19页3.如图所示，在中，6，则AD（）1166A.C.B.D.71757571ABACABAC6666【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.【详解】根据向量的线性运算法则，可得：6671767ADABBDABBCABACABABAC.7故选：A.4.若角A.45m（的终边上有一点Pm，且sin，则）541B.C.-1D.【答案】C【解析】y【分析】根据公式sin，即可得到本题答案.2x2yym5【详解】由已知，得sin，解得m1.5x2y2(2)2m25y0因为sin故选：C，所以，则m1.55.设aR，则“a0”是“a3a2”的（）A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B第2页/共19页【解析】【分析】分别证明充分性和必要性，即可得到本题答案.1aa0aa0a分性不成立；““a32““a322a2，解得a1a1a0，故必要性成立.②由a3，因“”可以推出“a03a2综上，可知“故选：B”是“a”的必要不充分条件.6.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村产业､人才､文化､生态､组织振兴”的目标，x某银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于还款人的年收入（单e0.9位：万元）的Logistic模型：P(x).已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为1e0.92e0.450%，若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为（参考数据：）3A.30%B.40%C.60%D.70%【答案】B【解析】e0.90.1x【分析】根据题意求得Px，令x5，即可求解.1e0.1xe0.99kx9P50%50%0.99k1，，解得e【详解】由题意知，当所以9k0.90，可得时，，则1e0.99ke0.90.1xk0.1，所以Px，1e0.1x23e0.90.15e0.4当x5时，Px40%.1e0.90.151e0.4231故选：B.7.“风调雨顺､国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位､国家3A级旅游景区，小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB7.5，，在同一水平面上且三点共mCBCN线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为第3页/共19页30°，则镇国寺塔的高度约为（31.73）A.31.42m【答案】C【解析】B.33.26mC.35.48mD.37.52m6ABsin15【分析】由已知，在△ACM中应用正弦定理得求镇国寺塔的高度.，再由倍角余弦公式求sin15，进而2△ACM中ACM105,CAM45，则AMC30，【详解】在ABsin153AC，所以，而，sin30sin4526ABsin15130(3262所以，又sin15，228467.543)则故选：C35.48m.2622fxx2ax有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，y2xPx,fx8.已知函数1111Qx,fx，则的取值范围是（）22120,2222,C.A.B.0,4D.【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义求出fxx2ax在P,Q两点处的切线斜率，即可得出是x,x12112x22xa0的两根，利用韦达定理即可得出的取值范围.12第4页/共19页【详解】根据题意可知fxx2ax，所以1,2，的定义域为axfx2x易得，a时，切线斜率为21Px,fx由导数的几何意义可得切点为,111a同理可得，Q点处切线斜率为22；2a21221a2121a0y2x又因为两条切线与直线平行，可得，即2222a022222所以x,x是关于方程2x22xa0的两根，121a所以可得(2)42a>0，即a，又xxxx212122210a；2111x1a222110a2所以12xxa，由可得122a1121112>4的取值范围是.即，所以12aa12故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用导数的几何意义和两直线平行的位置关系得出关于x,x的等量12关系，再根据函数定义域和韦达定理即可求得表达式的取值范围.二、选择题：本题共4小题。9.下列等式成立的是（）122A.2B.sin222.522.52212cos28cos32cos62cos58C.D.33cos502【答案】AB第5页/共19页【解析】【分析】应用倍角正余弦、和差角正余弦公式及诱导公式化简求值，即可判断各项的正误.1【详解】A：212sin15cos151sin30，成立；22B：sin222.5222.545，成立；212cos28cos32cos62cos58cos28cos32sin28sin32cos(2832)cos60C：，不成立；sin103cos10cos102sin50cos50sin100D：3cos50cos50cos10cos10cos10cos101，不成立.故选：AB10.已知实数a，b，c，其中ab1，c0，则下列关系中一定成立的是（）A.a2bcbacbc2acB.a3b211abD.C.ab【答案】ABD【解析】【分析】根据作差法判断A，D选项，根据不等式的性质判断B选项，特殊值法判断C选项.【详解】对于A，a2bcbacabacbcababc0，故A正确；222对于B，因为a3a2，a2b2，所以a3b2，故B正确；对于C，当a3，b2，c5时，acbc，故C错误；1ab1bab1ab0，故D正确.对于D，因为故选:ABD.aab11.已知函数fxcos2x2cosx1，则下列说法正确的是（）fx的最小正周期为πA.第6页/共19页的最大值为2fxB.C.π的图象关于直线fx对称x2πD.在fx上单调递减2【答案】BD【解析】1252fπxf(x)fπx【分析】由f(x)是否成立判断A、Cfx2(cosx)2、，结合余弦函数、二次函数性质判断B、D.【详解】由fπx2(πx)2cos(πx)12x2x1f(x)，的周期，A错；fxπ所以不是fπx2(πx)2cos(πx)12x2x1f(x)，由π所以的图象不关于直线对称，C错；fxx2152fxxx)2x2)2cosx[，由，而2152fx2)22，B对；所以2π2xx上递减，且x由在，π2结合二次函数及复合函数的单调性知：在fx上单调递减，D对.故选：BD12.已知为定义在R上的偶函数且fx不是常函数，，，fxgxFxf1x1fx11若是奇函数，则（）gxy的图象关于1fxA.B.C.对称fxfx4是奇函数FxD.与Fx关于原点对称gx【答案】ABC【解析】第7页/共19页【分析】根据偶函数和函数对称性的定义可判断A选项；利用函数的周期性可判断B选项；利用奇函数的定义可判断C选项；利用对称性的定义可判断D选项.fx1fx10，gxgx0【详解】由题意，得，即fx1fx12整理得y的图象关于1fx，所以对称，故A正确；又因为为偶函数，则，2fxfxfx2fxf2xfx2fx42fx，所以，故B正确；所以fx4fxfx4，则，则为奇函数，故C正确；FxFxf1x1f1x10FxFxgx因为，所以与关于轴对称，不关于原点对称，故D错误．Fxgxy故选：ABC．三、填空题：本题共4小题。π,aa2abb13.已知非零向量a,b的夹角为，则__________．3【答案】12【解析】【分析】将向量垂直转换为数量积为0，由数量积的计算公式结合已知条件即可求解.π,aa2ab【详解】由题意非零向量a,b的夹角为，3a2ab0所以，化简得ab2a2，π3b232b，解得12由数量积公式得.3故答案为：12.14.圆心角为2的扇形的周长为4，则此扇形的面积为______.【答案】1【解析】【分析】根据弧长公式结合面积公式计算即可.【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，则l2r4，又l2r，所以r1，l2，扇形的面积1Slr1.2故答案为：1.4xy0x215.已知，则的最小值为___________.y(xy)第8页/共19页【答案】8【解析】416x21616x2x2x22x22yxyx2x解.4416x2x2x2x2yxy2xy0xy0yxy【详解】由，可得，可得，2yxyx2y时，等号成立，当且仅当，即161616x2x28，当且仅当2x2x2，即时，等号成立，2又由2xx2x4x2y2x2综上所述，当故答案为：8.16.设函数时，取得最小值8.yxy2xxx3x,xf(x)的解集是fxx1，则不等式__________，若；若函数3恰好有两个零点，则的取值范围是__________．gxfx2①.4,0②.,【答案】【解析】的解集，画出1时，分x1和x1两种情况解不等式即可fxx【分析】当y2xyx33x的图象，结合图象求解即可2xx1f(x)1时，【详解】当，x3x,x131，解得x2或1x0，令2x4x且x1，解得1x4，x33xx，且xfxx令所以的解集为．(0)33x2，解得x1或x2，令2x42，解得x3，x令由当yx33x，得y3x23x，20，x1或x1时，y0，当1x1时，y第9页/共19页所以所以yxyx3x在(,和)上递增，在(上递减，333x的极大值为(33(2，极小值为1312，3如图所示，当3时，fx2恰有两个零点，符合题意；2当当当恰有3个零点，不符题意；32时，fx恰有2个零点，符合题意；21时，fx2恰有1个零点，不符题意．1时，fx2所以的取值范围是,32,1．故答案为：4,0；,.画出函数的图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题.四、解答题：本题共6小题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。105π17.已知sincos（1）求sincos，.的值；2023π2023π的值.（2）求2105【答案】（1）（2）-5【解析】1）应用同角三角函数关系求值再根据角的范围判断符号即可；（2）先根据同角三角函数关系求值再应用诱导公式求值.【小问1详解】第10页/共19页25105因为sin，所以(sincos)2，23所以12sincos，即2sincos0.55π，则sin0，所以cos0，sincos0，因为因为82105(sincos)212sincos，所以sincos.5【小问2详解】105sin,3101010解得sincos，由，210510sin,sincostan3；所以911152023πtan2023πsincos32tantan所以.1010fxxabx2a．18.已知函数2的解集为{1x，求ab的值；fxx0（1）若关于的不等式（2）当b2时，解关于x的不等式fx0．ab1【答案】（1）（2）答案见解析【解析】a1ab1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系列方程，解方程得到，然后求即b2可；（2）分a【小问1详解】由题意可知，关于的不等式2、a2和a2三种情况解不等式即可.x2的解集为x1x，abx2a0xx所以关于的方程x2abx2a0a1的两个根为1和2，ab3所以，解得，2a2b2第11页/共19页则ab1．【小问2详解】由条件可知，0，x2a2x2a0xax2，即xax2或当a2时，解得；当a2时，解得x2；当a2时，解得x2xa或．x2；xxa或综上可知，当a2时，原不等式的解集为xx2；当a2时，原不等式的解集为xa.或当a2时，原不等式的解集为2πfxAsin（其中的图象xA0,fx19.已知函数2π向右平移个单位长度，得到函数的图象．gx4（1）求与的解析式；gxfxFxfxgx（2）令，求方程Fx2在区间2π内的所有实数解的和．ππ3fx2sin2x【答案】（1）gx2cos2x，317π（2）6【解析】1）由函数图象可得A即周期，即可求出，再利用待定系数法求出，即可求出函数的fx解析式，再根据平移变换的原则即可求得函数的解析式；gx（2）先求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质即可得解.Fx【小问1详解】第12页/共19页由图可知，A2，7ππ1232π函数的周期T4π，所以2，fxfx2sin2x所以，7π127π67π6f2sin3π2，所以sin1，又7ππ2π，所以2π,kZ所以，623ππ，所以又，23πfx2sin2x所以，3π因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数fx的图象，gx4ππ43πgx2sin2x所以22x；3【小问2详解】Fxfxgxπ3π32sin2x22xππ22sin2x34π1222sin2x，π12Fx22sin2x由2，π1122sin2x得，ππ49πx2π，所以2x,因为所以，121212ππ5π13π17π2x或或或，126666第13页/共19页π25πππ所以x或或或，248248Fx在区间2π内的所有实数解的和为2所以方程π3π25π11π17π．24824861ax是偶函数.f(x)2x20.已知函数2a（1）求的值;g(x)f(x)xh(x)x22xmx10,4，存在x5，使得2（2）设，，若对任意的，求的取值范围g1h2m.12a【答案】（1）(,2]（2）【解析】1）由偶函数的性质即可求解的值；a（2）由题意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分别求出和的最0,4hx0,5gxhxgx小值，即可求解.【小问1详解】f(x)2x1ax因为所以是偶函数，2f(x)f(x)，1ax21ax，2xx即222x12x12ax0，2212x2x112ax0，，22x122x12ax0222x2xlog22ax012x，2xlog22x2ax0，第14页/共19页x2ax0，，12ax012所以12a0a，即.【小问2详解】1g(x)2x1x，22x10,4，存在x52gxhx，使得，12因为对任意的所以在上的最小值不小于在上的最小值，gx0,4hx0,510,4在上单调递增，g(x)2x1x因为22所以g01，gx因为h(x)x2xmxm1，22所以在上单调递减，在上单调递增，hx5所以hm1，hx所以1m1，解得m2，m所以的取值范围为(,2].π3ABAD,CAD,ABABCπ21.如图，在平面四边形ABCD中，．243BC2,sinADC，求CD（1）若的长；5π,CD8（2）若，求AD的长．6【答案】（1）5（2）243【解析】3sin，进而可得【分析1）在中，应用正弦定理求得13sinBAC,cosBAC，进而有AC10，在ACD应用正弦定理求CD；1010第15页/共19页πCADBAC及sinACDsin(CADADC)（2）由，再结合正弦定理求AD.2【小问1详解】BCABπBAC)BCsin(π在中sinBAC4AB，sin(BAC)sinBAC41sinBACBACsinBAC)3sin整理得，21313tanBACsinBAC,BAC所以，故，101022BCsinABCBCAC2AC10，又sinBACsinABCsinBAC110CDπ在ACD中，又ABAD,CAD，sinCADsin2310ACBAC10所以sinCADBAC，故CD【小问2详解】5.35sinACABABsinABC2ACππBACsinBAC由sinABC，sin(BAC)sin(BAC)44ACCDCDsinsinCAD4AC由，sinsinCADsinCADπ4CADBACAC而，故sinCADBAC，故，2cosBAC42122sintan所以，sin1221所以sinB