2024-2025学年新教材高考数学 第1章 空间向量与立体几何 4 二面角教案 新人教B版选择性必修第一册

2024-2025学年新教材高考数学第1章空间向量与立体几何4二面角教案新人教B版选择性必修第一册学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：空间向量与立体几何

2.教学年级和班级：高三年级1班

3.授课时间：2024年10月10日

4.教学时数：1课时（45分钟）

二、教学内容及目标

1.教学内容：

（1）复习平面向量的概念及运算；

（2）引入空间向量的概念，掌握空间向量的运算；

（3）学习二面角的定义及其计算方法；

（4）运用空间向量与二面角解决立体几何问题。

2.教学目标：

（1）理解并掌握空间向量的概念及运算；

（2）掌握二面角的定义及其计算方法；

（3）能够运用空间向量与二面角解决立体几何问题。

三、教学步骤

1.导入：复习平面向量的概念及运算，引导学生思考向量的扩展到空间向量的必要性。

2.新课讲解：

（1）讲解空间向量的概念，引导学生通过实物模型直观理解空间向量；

（2）介绍空间向量的运算，如加法、减法、数乘等；

（3）引入二面角的定义，通过实物模型展示二面角的形状；

（4）讲解二面角的计算方法，如用向量表示法计算二面角。

3.例题讲解：选取典型例题，引导学生运用空间向量与二面角解决立体几何问题。

4.课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

5.总结：对本节课的主要内容进行总结，强调空间向量与二面角在立体几何中的重要性。

四、课后作业

1.复习本节课所学内容，整理笔记；

2.完成课后练习题，加深对空间向量与二面角的理解。

五、教学评价

1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；

2.课后作业：检查学生完成作业的情况，评估学生对课堂所学知识的掌握程度。核心素养目标1.逻辑推理：通过学习空间向量与二面角，培养学生的逻辑推理能力，使其能够运用所学知识解决立体几何问题。

2.直观想象：通过实物模型和几何图形的观察，培养学生的直观想象力，使其能够形象地理解空间向量与二面角的概念和运用。

3.数学建模：通过典型例题和课堂练习，培养学生的数学建模能力，使其能够将实际问题转化为数学模型，并运用空间向量与二面角解决。

4.数学运算：通过空间向量的运算和二面角的计算，培养学生的数学运算能力，使其能够熟练运用运算规则进行空间向量与二面角的计算。教学难点与重点1.教学重点

（1）空间向量的概念及其表示方法：学生需要理解空间向量是从起点到终点的有向线段，以及如何用有序数对表示空间向量。

（2）空间向量的运算规则：学生需要掌握空间向量的加法、减法和数乘等运算规则，以及这些运算在立体几何中的应用。

（3）二面角的定义及其计算方法：学生需要理解二面角是由两个平面相交所形成的角，以及如何用向量表示法计算二面角。

（4）运用空间向量与二面角解决立体几何问题：学生需要学会如何运用空间向量与二面角的知识解决立体几何问题，如求解空间距离、角度和体积等。

2.教学难点

（1）空间向量的直观理解：学生可能难以形象地理解空间向量的概念，特别是对于三维空间中的向量。

（2）空间向量运算的规则：学生可能对空间向量的加法、减法和数乘等运算规则理解不深，导致在实际应用中出错。

（3）二面角的计算方法：学生可能难以理解二面角的定义，以及如何用向量表示法进行计算。

（4）立体几何问题的解决方法：学生可能不知道如何将实际问题转化为数学模型，并运用空间向量与二面角的知识解决。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《2024-2025学年新教材高考数学第1章空间向量与立体几何》的教材或学习资料。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如空间向量的示意图、二面角的模型图等。

3.实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性，如立体几何模型、向量标尺等。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如在讲台附近设置黑板和投影仪，学生桌椅排列成适合小组讨论和实验操作的布局。教学过程1.导入（5分钟）

同学们，上节课我们学习了平面向量的概念及运算，今天我们将学习空间向量与立体几何中的一个重要概念——二面角。希望大家能够积极参与，共同探索空间向量与二面角的奥秘。

2.新课讲解（15分钟）

（1）空间向量（5分钟）

同学们，空间向量是从起点到终点的有向线段，我们可以用有序数对来表示空间向量。假设有一个空间向量A→=(x,y,z)，其中x,y,z分别为该向量在x轴、y轴、z轴上的分量。

（2）二面角（5分钟）

3.例题讲解（15分钟）

现在，我们来解决一些实际问题，看看如何运用空间向量与二面角来解决立体几何问题。

例1：已知空间向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→与向量B→的夹角。

解：首先，我们计算向量A→与向量B→的点积，即A→·B→=1×4+2×5+3×6=26。然后，我们计算向量A→和向量B→的模长，分别为|A→|=√(1^2+2^2+3^2)=√14和|B→|=√(4^2+5^2+6^2)=√77。因此，向量A→与向量B→的夹角θ的余弦值为cosθ=A→·B→/(|A→||B→|)=26/(√14×√77)=2/7。所以，向量A→与向量B→的夹角为arccos(2/7)。

例2：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，CD=4，求二面角D-AA1-B的大小。

解：首先，我们找出长方体的对角线AC1，其长度为AC1=√(AB^2+BC^2+CD^2)=√(2^2+3^2+4^2)=√29。然后，我们找出平面AA1B1B和平面CC1DD1的法向量n1→和n2→。由于n1→垂直于平面AA1B1B，我们可以取n1→=AB→×BC→=(3,2,-1)。同理，我们可以取n2→=CD→×AC1→=(4,3,-2)。因此，二面角D-AA1-B的大小为θ=arccos|n1→·n2→|/|n1→||n2→|=arccos(1)/√(3^2+2^2+1^2)√(4^2+3^2+(-2)^2)=π/3。

4.课堂练习（15分钟）

现在，我们来做一些课堂练习，巩固一下今天所学的知识。

练习1：已知空间向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→与向量B→的夹角。

练习2：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，CD=4，求二面角D-AA1-B的大小。

5.总结（5分钟）

6.课后作业（5分钟）

同学们，课后请完成教材上的练习题，并预习下一节课的内容。教学资源拓展六、教学资源拓展

1.拓展资源

（1）空间向量与立体几何的相关论文和学术文章，以便学生能够更深入地了解空间向量与立体几何的理论基础。

（2）空间向量与立体几何的在线课程和教学视频，如Coursera、edX等平台上的相关课程，以便学生能够从不同角度和层面理解知识。

（3）空间向量与立体几何的数学竞赛题目和解答，如AMC、AIME等竞赛的相关题目，以便学生能够通过竞赛提高自己的数学能力。

（4）空间向量与立体几何的应用案例和实际问题，如工程设计、物理建模等领域中的应用案例，以便学生能够了解空间向量与立体几何在实际生活中的应用。

2.拓展建议

（1）建议学生阅读空间向量与立体几何的相关论文和学术文章，加深对理论知识的理解和掌握。

（2）建议学生参加空间向量与立体几何的在线课程和教学视频，从不同角度和层面学习知识，提高学习效果。

（3）建议学生参加空间向量与立体几何的数学竞赛，通过竞赛提高自己的数学能力，培养解决问题的思维和能力。

（4）建议学生寻找空间向量与立体几何的应用案例和实际问题，了解知识在实际生活中的应用，提高学习的兴趣和动力。典型例题讲解为了更好地帮助同学们理解和掌握空间向量与立体几何的知识，下面我将讲解一些典型的例题。

例题1：已知空间向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→与向量B→的夹角。

解：首先，我们计算向量A→与向量B→的点积，即A→·B→=1×4+2×5+3×6=26。然后，我们计算向量A→和向量B→的模长，分别为|A→|=√(1^2+2^2+3^2)=√14和|B→|=√(4^2+5^2+6^2)=√77。因此，向量A→与向量B→的夹角θ的余弦值为cosθ=A→·B→/(|A→||B→|)=26/(√14×√77)=2/7。所以，向量A→与向量B→的夹角为arccos(2/7)。

例题2：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，CD=4，求二面角D-AA1-B的大小。

解：首先，我们找出长方体的对角线AC1，其长度为AC1=√(AB^2+BC^2+CD^2)=√(2^2+3^2+4^2)=√29。然后，我们找出平面AA1B1B和平面CC1DD1的法向量n1→和n2→。由于n1→垂直于平面AA1B1B，我们可以取n1→=AB→×BC→=(3,2,-1)。同理，我们可以取n2→=CD→×AC1→=(4,3,-2)。因此，二面角D-AA1-B的大小为θ=arccos|n1→·n2→|/|n1→||n2→|=arccos(1)/√(3^2+2^2+1^2)√(4^2+3^2+(-2)^2)=π/3。

例题3：已知空间向量A→=(1,0,1)和B→=(0,1,1)，求向量A→与向量B→的夹角。

解：首先，我们计算向量A→与向量B→的点积，即A→·B→=1×0+0×1+1×1=1。然后，我们计算向量A→和向量B→的模长，分别为|A→|=√(1^2+0^2+1^2)=√2和|B→|=√(0^2+1^2+1^2)=√2。因此，向量A→与向量B→的夹角θ的余弦值为cosθ=A→·B→/(|A→||B→|)=1/(√2×√2)=1/2。所以，向量A→与向量B→的夹角为arccos(1/2)=π/3。

例题4：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，求二面角A-BC-D的大小。

解：首先，我们找出正方体的对角线AC1，其长度为AC1=√(AB^2+BC^2+CD^2)=√(2^2+2^2+2^2)=2√3。然后，我们找出平面ABCD的法向量n→，取n→=AB→×BC→=(2,2,-2)。因此，二面角A-BC-D的大小为θ=arccos(n→·CD→)/|n→||CD→|=arccos(2/2√3)=π/6。

例题5：已知空间向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→与向量B→的夹角的余弦值。

解：首先，我们计算向量A→与向量B→的点积，即A→·B→=1×4+2×5+3×6=26。然后，我们计算向量A→和向量B→的模长，分别为|A→|=√(1^2+2^2+3^2)=√14和|B→|=√(4^2+5^2+6^2)=√77。因此，向量A→与向量B→的夹角θ的余弦值为cosθ=A→·B→/(|A→||B→|)=26/(√14×√77)=2/7。所以，向量A→与向量B→的夹角的余弦值为2/7。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了空间向量与立体几何中的二面角。我们首先介绍了空间向量的概念及其表示方法，然后学习了空间向量的运算规则，包括加法、减法和数乘。接着，我们引入了二面角的定义，并学习了如何用向量表示法计算二面角。最后，我们通过典型例题的讲解，使同学们能够运用空间向量与二面角解决实际问题。

当堂检测：

下面进行当堂检测，请同学们认真完成。

1.已知空间向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→与向量B→的夹角。

2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，CD=4，求二面角D-AA1-B的大小。

3.已知空间向量A→=(1,0,1)和B→=(0,1,1)，求向量A→与向量B→的夹角。

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，求二面角A-BC-D的大小。

5.已知空间向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→与向量B→的夹角的余弦值。

请同学们在规定时间内完成上述题目，我们将进行批改和讲解。板书设计①空间向量的概念及其表示方法

1.空间向量是从起点到终点的有向线段，用有序数对表示。

2.空间向量的运算规则：加法、减法和数乘。

3.空间向量在立体几何中的应用：解决空间距离、角度和体积等问题。

②二面角的定义及其计算方法

1.二面角是由两个平面相交所形成的角，用向量表示法计算。

2.二面角的计算步骤：找出法向量、计算点积、求解夹角。

3.二面角在立体几何中的应用：求解空间角度、判断空间位置关系等。

③空间向量与二面角解决立体几何问题的实例

1.例题：已知空间向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→与向量B→的夹角。

2.例题：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，CD=4，求二面角D-AA1-B的大小。

3.例题：已知空间向量A→=(1,0,1)和B→=(0,1,1)，求向量A→与向量B→的夹角。

4.例题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，求二面角A-BC-D的大小。

5.例题：已知空间向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→与向量B→的夹角的余弦值。

九、板书设计

①空间向量的概念及其表示方法

②二面角的定义及其计算方法

③空间向量与二面角解决立体几何问题的实例

九、板书设计

①空间向量的概念及其表示方法

②二面角的定义及其计算方法

③空间向量与二面角解决立体几何问题的实例

④板书设计应具有艺术性和趣味性

⑤板书设计应条理清楚、重点突出、简洁明了反思改进措施在这次教学过程中，我深刻反思了自己的教学方法和学生的学习情况，认为有许多可以改进的地方。以下是我对本次教学的反思和改进措施：

一、教学特色创新

1.引入实际案例：在讲解空间向量与二面角的概念时，我引入了实际生活中的案例，如建筑设计中的空间向量应用，使学生更直观地理解了空间向量的概念和应用。

2.利用多媒体教