2.1.1直线倾斜角与斜率2

2.1.1直线倾斜角与斜率明确学习目标课标要求1.了解直线的倾斜角和斜率的概念。2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．重点难点1.了解直线的倾斜角和斜率的概念；2.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率知晓结构体系

1夯实必备知识知识点1直线的倾斜角1．倾斜角的定义：(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.倾斜角直线图示3.理解(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角．(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度．(3)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．知识点2直线的斜率1．斜率的定义把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.2.斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在．3．直线的方向向量与斜率的关系：(1)直线P1P2的方向向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为eq\f(1,x2－x1)eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(1，k)，其中k为直线P1P2的斜率．(2)当x1＝x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为(0,1)．4.理解(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关．(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换．(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0.(5)直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq\f(y,x).5.求直线的斜率的两种方法(1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tanα.(2)利用斜率公式：k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)．知识点3倾斜角和斜率的应用倾斜角与斜率的变化关系设直线的倾斜角为α，斜率为k.α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范围k＝0k>0不存在k<0k的增减性随α的增大而增大随α的增大而增大倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解．2提升学科能力题型一直线的倾斜角例1．设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，有下列四个值：①；②；③；④．则直线的倾斜角为（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】B【分析】分和讨论即可.【详解】直线l绕点A顺时针旋转后得直线，当时，直线的倾斜角为；当时，直线的倾斜角为．综上，直线的倾斜角为或.故选：B跟踪训练11．如图所示，直线与轴的夹角为，则的倾斜角为（

）

A． B． C． D．无法计算【答案】B【分析】由定义得出倾斜角即可.【详解】根据倾斜角的定义知，的倾斜角为．故选：B．2．设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分、两种情况讨论，求出对应的的取值范围，综合可得结果.【详解】由题意可知，，当时，则为钝角，且；当时，此时，.综上所述，直线的倾斜角的取值范围为.故选：D.3．已知直线l的倾斜角为，直线∥l，直线，则直线与的倾斜角分别是.【答案】20°，110°【分析】根据平行直线与垂直直线的位置关系得到倾斜角的关系，即可求解【详解】因为∥l，所以的倾斜角为.因为，所以的倾斜角为故答案为：；题型二直线的斜率例2．若直线经过，两点，则直线AB的倾斜角为（

）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】B【分析】根据题意求直线的斜率，进而可得倾斜角.【详解】因为直线AB的斜率，设直线AB的倾斜角为，则，所以.故选：B.跟踪训练21．若直线经过两点，则直线的斜率为【答案】【分析】根据已知条件，利用斜率公式即可求解．【详解】直线经过两点，则直线的斜率为，故答案为：2．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直线的方程得直线的斜率，得直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为，设倾斜角为，则，且，所以.故选：C.3．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.(1)，；(2)，；(3)，).【答案】(1)存在，斜率，倾斜角(2)存在，斜率，倾斜角(3)答案见解析【分析】（1）存在，计算斜率和倾斜角即可；（2）存在，计算斜率和倾斜角即可；（3）考虑和两种情况，计算斜率和倾斜角即可；【详解】（1）存在，直线AB的斜率，即，又，倾斜角.（2）存在，直线CD的斜率，即，又，倾斜角.（3）当时，斜率不存在，则倾斜角；当时，直线的斜率且倾斜角满足，.题型三倾斜角与斜率的概念辨析例3．对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜角的关系判断③和④的正误.【详解】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确；对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误；对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误；其中正确说法的个数为2.故选：B.跟踪训练31．在下列四个命题中，正确的是（

）．A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为C．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大【答案】AC【分析】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可.【详解】对于A，当时，其斜率，所以A正确；对于B，若一条直线的斜率为,则此直线的倾斜角为，所以B错误；对于C，根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以C正确；对于D，直线的倾斜角为锐角时斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D错误；故选：AC.2．有下列命题：其中错误的是（

）A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；B．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；C．坐标平面上所有的直线都有倾斜角；D．坐标平面上所有的直线都有斜率．【答案】BD【解析】任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率，即可得到答案【详解】任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率当倾斜角为时，斜率不存在故选：BD【点睛】本题考查的是直线的倾斜角和斜率，较简单.3．下列四个命题中，错误的有（）A．若直线的倾斜角为，则B．直线的倾斜角的取值范围为C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为【答案】ACD【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可.【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确；对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误；故选：ACD题型四斜率与倾斜角的变化关系例4．图中的直线的斜率分别为，则（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根据图像得到直线，，的倾斜角满足，由倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，，由图像可得，由倾斜角与斜率的关系可得，.故选：D.跟踪训练41．如图，直线的斜率分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接由斜率的定义判断大小即可.【详解】由斜率的定义知，.故选：D.2．已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性即可得解.【详解】依题意得，，，，而在和上单调递增，且在上，，在上，所以，即.故选：D3．如图，已知直线的斜率分别为，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.【详解】设直线的倾斜角分别为，由题图知，直线的倾斜角为钝角，.又直线的倾斜角均为锐角，且，，.故选：D.题型五已知斜率求倾斜角范围例5．若直线斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（

）A． B．C． D．或【答案】D【分析】考虑和两种情况，计算得到答案.【详解】当斜率时，倾斜角为；当斜率时，倾斜角为；故选：D.跟踪训练51．若，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，结合余弦函数的值域求出直线斜率的范围，再利用斜率的定义求解作答.【详解】直线的斜率，显然此直线倾斜角，因此或，解得或，所以直线的倾斜角的取值范围为.故选：C2．已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是．【答案】【分析】确定，得到，解得答案.【详解】，则，设直线的倾斜角为，故，当时，直线的倾斜角；当时，直线的倾斜角；综上所述：直线的倾斜角故答案为：3．若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是()A．B．C．D．或【答案】D【分析】作出正切函数在的图象，根据斜率的范围结合图象确定出的范围.【详解】作出正切函数在的图象如下图，

如图所示，当，即，解得或，即或，故选：D.题型六已知斜率求参数例6．直线经过点，且倾斜角为，则实数为．【答案】【分析】利用倾斜角和斜率的关系、斜率公式计算即可得解.【详解】解：由题意，直线的斜率为，∵为直线上的点，∴由斜率公式得，解得：.故答案为：.跟踪训练61．过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（

）A．或 B． C． D．【答案】D【分析】根据斜率公式计算可得.【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为，所以，即，解得.故选：D2．若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为．【答案】1【分析】利用直线的斜率公式求解.【详解】由已知可得，过点，的直线的斜率，解得，故答案为：.3．若点在过点，的直线上，则．【答案】【分析】根据题意，结合直线的斜率公式，列出方程，即可求解.【详解】由点在过点和的直线上，可得，即，解得.故答案为：.题型七斜率公式的应用例7．(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求解作答.【详解】依题意，三点所在直线不垂直于x轴，因此直线的斜率相等，于是，整理得，所以或.故选：AC跟踪训练71．若三点，，共线，则.【答案】【分析】由三点共线可得其中任意两点的直线斜率相等，列出方程解之即得.【详解】由题意，直线的斜率为，直线的斜率为：，因三点共线，故，即，解得：.故答案为：.2．已知三点共线，则实数的值为.【答案】4【分析】根据确定直线斜率存在，再根据三点共线可得斜率相等，即可得实数的值.【详解】因为的横坐标不相同，故三点共线可得，则，解得.故答案为：.3．若三点，，(其中)共线，则.【答案】【分析】依题意可得，利用斜率公式得到方程，解得即可.【详解】由于，，三点共线且、，显然、的斜率存在，则，所以，所以，所以.故答案为：题型八直线与线段的相交例8．经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】画出坐标系，连接，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解.【详解】设直线的倾斜角为，，因为直线l与连接点，的线段总有公共点，所以，即，所以.故选：A.

跟踪训练81．一束光射向轴，与轴相交于点，经轴反射，与以连接、两点的线段总有公共点，这束光所在直线的斜率取值范围为.【答案】【分析】利用直线斜率公式、直线及其对称直线的关系分析运算即可得解.【详解】解：

由斜率公式，射线的斜率为，射线的斜率为，如上图，由题意，一束光射向轴，经轴反射，与线段始终相交，则射线即与关于对称，射线即与关于对称，∴，，∴这束光所在直线的斜率取值范围为.故答案为：.2．如图，已知点、、，点是线段上任意一点，求直线的斜率的取值范围．

【答案】【分析】利用点的坐标并结合图形可知，分别计算出和之间的斜率即可.【详解】根据题意可知，两点之间的斜率为，两点之间的斜率为，又点是线段上任意一点，由倾斜角与斜率之间的关系可知，即直线的斜率的取值范围为.3．已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． B．C． D．以上都不对【答案】C【分析】过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率或，进而求解即可【详解】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或，而，于是直线l的斜率或，所以直线l斜率k的取值范围是，故选：C题型九直线方向向量与斜率的关系例9．若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角即可.【详解】设直线的倾斜角为，若向量是直线的一个方向向量，则直线的斜率为，因为，所以.故选：A.跟踪训练91．直线的一个方向向量是．【答案】（与其共线的非零向量均可）【分析】根据直线的一般式求出斜率，从而得到方向向量.【详解】依题意，的斜率为，故该直线的一个方向向量为.故答案为：（与其共线的非零向量均可）2．已知直线l过点且一个方向向量为，则l在y轴上的截距为（

）A． B．1 C． D．5【答案】A【分析】设l在y轴上的截距为，根据斜率公式列式求解即可.【详解】因为直线l一个方向向量为，可知直线l的斜率，设l在y轴上的截距为，即直线l过点，则，解得.故选：A.3．已知点，直线：，(1)若是直线l的一个方向向量，求a的值；(2)若直线l与线段有交点，求a的范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据直线的方向向量的定义可求（2）判断出直线l过定点，分别求出，即可求出l的斜率a的取值范围【详解】（1）因为是直线l的一个方向向量，所以（2）过定点，如图因为，要使直线l与线段有交点，则a的范围为题型十斜率的几何意义例10．已知函数.则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出函数的图象，结合图形，利用两点表示直线斜率公式即可求解.【详解】将函数图象向左平移1个单位长度可得函数的图象，如图，

由图可知，函数在上单调递增，点分别与原点的连线的斜率随着x的增大而减小，即，所以.故选：C跟踪训练101．点在函数的图象上，当，则可能等于（

）A．1 B． C． D．0【答案】BC【分析】根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围.【详解】由表示与点所成直线的斜率，又是在部分图象上的动点，图象如下：如上图，，则，只有B、C满足.故选：BC2．已知曲线，则的取值范围是．【答案】【分析】首先画出函数的图象，表示曲线上的点与连线的斜率，求出临界点处的斜率，即可求出的取值范围.【详解】函数，则函数在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下所示：当时，即，当时，则，表示曲线上的点与连线的斜率，令，又，，由图可得或，即的取值范围为.故答案为：3．已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是．【答案】【分析】将的范围转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可.【详解】方程，令，则，令，则，设点，，所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率，，，所以的取值范围为.故答案为：.3质量检测评价一、单选题1．直线的倾斜角是（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根据倾斜角的定义判断.【详解】直线与轴垂直，所以倾斜角为.故选：D.2．直线的一个方向向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可.【详解】由得，，所以直线的一个方向向量为，而，所以也是直线的一个方向向量.故选：B.3．若，，三点共线，则实数m的值为（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】先判定斜率存在，再由三点共线可得，任意两个点组成直线斜率相等即可得结果【详解】因为，直线斜率存在，，，三点共线，则，即，解得．故选：D4．如图，在平面直角坐标系中有三条直线，其对应的斜率分别为，则下面选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据三条直线的倾斜角，直接判断斜率的大小关系【详解】由题图可知，，，，且，所以，，，故选：A.5．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率.【详解】由得的倾斜角为，所以的倾斜角为，即的斜率为.故选：A6．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A．或 B．或C．或 D．【答案】D【分析】根据两点间斜率公式计算即可.【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，结合图象可得直线的斜率的取值范围是.故选：D二、多选题7．下列说法中正确的是（

）A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为C．若，，则直线的倾斜角为D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点【答案】CD【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式及斜截式判断各项正误即可.【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错；B：直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错；C：由题设，知两点横坐标相