第01讲2.1.1倾斜角与斜率（知识清单9类热点题型讲练分层强化训练）（原卷版）

第01讲2.1.1倾斜角与斜率课程标准学习目标①理解直线的倾斜角与斜率的概念。②掌握直线的倾斜角的范围与斜率存在的意义.。③了解直线的方向向量与直线、直线的斜率的关系。④会用两点坐标求直线的斜率。⑤在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。通过本节课的学习，理解直线的倾斜角与斜率的概念，了解直线的方向向量与直线的斜率的关系，会求直线的斜率与倾斜角，掌握确定直线的条件及直线倾斜角与斜率的取值范围.知识点01：直线倾斜角的定义以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.（1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：；特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为.（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.知识点02：直线的斜率我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用字母表示，即（1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；（2）倾斜角时，直线的斜率不存在。【即学即练1】（2324高二上·江西赣州·期末）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．知识点03：斜率与倾斜角的联系倾斜角（范围）斜率（范围）不存在【即学即练2】（2324高二下·上海宝山·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为.知识点04：直线斜率的坐标公式如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：（1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；（3）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。【即学即练3】（2324高二上·北京·期中）过和两点的直线的斜率是（）A．1 B． C． D．题型01求直线的倾斜角【典例1】（2324高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角等于（

）A． B． C． D．【典例2】（2324高二上·湖北武汉·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（

）A． B． C． D．【变式1】（2324高二下·上海·期中）直线的倾斜角为.【变式2】（2324高二上·安徽合肥·阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是．题型02直线斜率的定义【典例1】（2324高二上·湖北·期末）直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【典例2】（2324高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【变式1】（2324高二下·河南·开学考试）已知直线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．0【变式2】（2324高二上·河南濮阳·阶段练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．不确定【变式3】（2324高二下·上海·阶段练习）已知直线的倾斜角为，则的值是．题型03斜率与倾斜角变化关系【典例1】（2324高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（2024高二上·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（）A． B．C． D．【典例3】（2324高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为，直线l的斜率的取值范围为．【变式1】（2324高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知直线过点，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（

）A． B．C． D．【变式2】（2324高二上·广东·阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是．【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知直线经过点，且与线段MN相交，又，，求直线的斜率k的取值范围．题型04已知两点求斜率【典例1】（2324高二上·浙江绍兴·期末）直线经过两点，则的倾斜角是（

）A． B． C． D．【典例2】（2324高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为．【变式1】（2324高二下·上海宝山·阶段练习）已知直线过点，则直线的斜率为．【变式2】（2324高二上·浙江·期末）过、两点的直线的斜率为．题型05已知斜率求参数【典例1】（2324高二上·江苏无锡·期末）已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【典例2】（2324高二上·天津武清·阶段练习）若经过，两点的直线的倾斜角是，则（

）A． B．0 C．1 D．3【变式1】（2324高二上·河南郑州·期末）经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（

）A．2 B．1 C．3 D．4【变式2】（2324高二上·贵州黔南·期中）已知两点，所在直线的斜率为，则.题型06利用直线斜率处理共线问题【典例1】（2324高二下·甘肃武威·开学考试）若三点，，共线，则.【典例2】（2024高二上·江苏·专题练习）若三点，，(其中)共线，则.【变式1】（2324高二上·江苏·开学考试）已知三点共线，则实数m的值为．【变式2】（2024高二·全国·专题练习）已知，，三点在同一条直线上，求的值．题型07求斜率或倾斜角的取值范围【典例1】（2324高二上·江苏·单元测试）若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是()A．B．C．D．或【典例2】（2324高二上·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【典例3】（2324高二上·湖南张家界·阶段练习）已知某直线的倾斜角，则该直线的斜率的范围为．【变式1】（2024高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（

）A． B．C．或 D．或【变式2】（2324高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线l的倾斜角为，斜率为k，直线的斜率取值范围为，则倾斜角的范围为题型08斜率公式的几何意义的应用【典例1】（2024高二上·全国·专题练习）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）点在函数的图象上，当，则的取值范围为.【变式1】（2324高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是．【变式2】（2324高三上·陕西西安·阶段练习）已知点在直线上，且满足，则的取值范围为．题型09直线与线段的相交关系求斜率范围【典例1】（2324高二上·吉林延边·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A．或 B．或 C． D．【典例2】（2324高二上·广东潮州·期中）已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． B．C． D．以上都不对【典例3】（2324高二上·全国·期中）已知点，，若直线过点，且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是．【变式1】（2324高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（

）A．B． C． D．【变式2】（2024高三·全国·专题练习）设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式3】（2024高二上·江苏·专题练习）若点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． B．C． D．A夯实基础B能力提升C新定义题型A夯实基础一、单选题1．（2324高二上·四川成都·期末）直线的一个方向向量为（

）A． B． C． D．2．（2324高二上·贵州安顺·期末）直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．3．（2324高二上·湖北武汉·期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（

）A．或 B．或 C．或 D．或4．（2324高二上·陕西西安·阶段练习）图中能表示直线的倾斜角的是（

）A．①④ B．①② C．①③ D．②④5．（2324高三下·山东菏泽·阶段练习）“直线经过第一、二、四象限”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2024高二·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．7．（2324高二上·重庆黔江·阶段练习）已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或8．（2024高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（

）A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞)C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞)二、多选题9．（2324高二上·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（

）A．任意一条直线都有唯一的倾斜角B．一条直线的倾斜角可以为C．倾斜角为的直线有无数条D．若直线的倾斜角为，则10．（2324高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（

）A． B． C． D．三、填空题11．（2024高三·上海·专题练习）过点和点的直线的倾斜角为，则的值是.12．（2324高二下·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是四、解答题13．（2324高二上·上海·课后作业）已知坐标平面内三点，，.(1)求直线，，的斜率和倾斜角；(2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围.14．（2324高二上·浙江·期中）已知，，．(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．B能力提升1．（2324高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（

）A． B．C． D．2．（2324高二上·四川凉山·期中）已知实数满足，则的取值范围为