甘肃省庆阳市环县环县第一中学高一下学期5月月考数学试题

环县一中20222023学年度高一数学5月月考卷满分：150分，考试时间：120分钟一､单选题（每小题5分，共40分）1.若复数（是虚数单位），则z的虚部是（）A B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法运算计算作答.【详解】，所以z的虚部是3.故选：B2.如图，是水平放置的直观图，其中，轴，轴，则（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】借助余弦定理计算可得直观图中的长度，结合斜二测画法可知形状及边长，即可得.【详解】在，，，由余弦定理可得：，即，而，解得，由斜二测画法可知：中，，，，故.故选：C.3.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A中位数 B.平均数C.方差 D.极差【答案】A【解析】【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大排列为．则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确．②原始平均数，后来平均数平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确③由②易知，C不正确．④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.4.苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣．《蝶恋花春景》是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道．墙外行人，墙里佳人笑．笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼．”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行．在佳人荡秋千的过程中，下列说法中错误的是（）A.秋千绳与墙面始终平行 B.秋千绳与道路始终垂直C秋千板与墙面始终垂直 D.秋千板与道路始终垂直【答案】B【解析】【分析】根据图中秋千绳，墙面，道路的位置关系以及相关的线面，线线垂直的判定定理、性质定理等即可判断．【详解】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化，则秋千绳与道路的位置关系在发生变化，而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直．故选：B.5.如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸，的俯角分别为，，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（）A.60 B. C.30 D.【答案】A【解析】【分析】利用锐角三角函数，得到，，进而利用，即可得到答案.【详解】由已知得，得到，，故选：A6.如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中点E，连接，易得（或其补角）为异面直线与所成的角，进而求其大小即可.【详解】如图，取的中点E，连接，则，则（或其补角）即为异面直线与所成的角.由条件知：，则，故选：C.7.在中，已知，，，则向量在方向上的投影为（）．A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形内角和及正弦定理求得、，再根据向量投影的定义求结果.【详解】由题设，则，可得，所以向量在方向上的投影为.故选：C8.在中，角所对的边分别为，若，，则（）A.4 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理得到，然后由，求得，再由正弦定理求解.【详解】根据条件，由正弦定理，得，所以，所以．由余弦定理，得，因为，所以．由，得，所以．由正弦定理，得，所以．故选：C.二､多选题（每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9.下列命题正确的是（

）A.平行于同一个平面的两直线平行B.两条平行直线被两个平行平面所截得的线段相等C.一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，这两平面平行D.一条直线与两平行平面中的一平面平行，则与另一平面也平行【答案】BC【解析】【分析】以长方体为例，举例即可判断A、C、D；根据面面平行的性质定理，可证得线线平行，进而通过证明平行四边形，即可得出B项.详解】对于A项，如图1，长方体中，平面，平面，但是，故A项错误；对于B项，如图2，已知两个平面，，两条直线，且直线，，，.因为，所以可构成平面，设为，则由图可知，，，根据面面平行的性质定理可知，.又因为，所以，四边形为平行四边形，所以，故B项正确；对于C项，根据面面平行的判定定理可知，C项正确；对于D项，如图1，长方体中，平面，平面平面，但是平面，故D项错误.故选：BC.10.下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式、正切公式的逆运用可以分别计算出A、D选项，利用二倍角正弦公式的逆运用可以计算出B选项，根据降幂公式可以化简病求出C选项.【详解】对于A选项，，所以A正确；对于B选项，，所以B不正确；对于C选项，，所以C不正确；对于D选项，，所以D正确；故选：AD.11.已知向量，，则下列命题正确的是（）A.存在，使得 B.当时，与垂直C.当时， D.对任意，都有【答案】BC【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示及三角函数的性质可判断A，根据向量垂直的坐标关系结合条件可判断B，根据向量数量积的坐标表示及同角关系式可判断C，利用特值可判断D.【详解】因为向量，，若，则，即，又，故不存在，使得，故A错误；当时，，，即与垂直，故B正确；当时，所以，∴，即，所以，即，故C正确；因为当时，，，，故D错误.故选：BC.12.已知正方体的棱长为1，点为的中点，则下列说法正确的是（）A. B.平面C.点到平面的距离为 D.与平面所成角的正弦值为【答案】ACD【解析】【分析】连接，根据，，证得平面，可判定A正确；根据与是相交直线，可判定B不正确；由平面，得到到平面的距离等于点到平面的距离，可判定C正确；取的中点，连接，证得平面，得到为平面与平面所成的角，在直角中，可判定D正确.【详解】对于A中，连接，在正方形中，可得,又由平面，且平面，所以因为且平面，所以平面，又因为平面，所以，所以A正确；对于B中，在平面内，可得与不平行，即是相交直线，所以与平面不平行，所以B不正确；对于C中，在正方体中，同A分析，易得平面，因为平面，且在上，所以到平面的距离等于点到平面的距离，又因为，即到平面的距离为，所以C正确；对于D中，取的中点，连接及，在正方体中，因为分别为的中点，可得平面，所以为平面与平面所成的角，在直角中，，所以，所以D正确.故选：ACD.三､填空题（每小题5分，共20分）13.在立体几何中，下列结论一定正确的是_______.（请填所有正确结论的序号）①一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；②用一个平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称为棱台；③将直角三角形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆锥；④将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆台.【答案】①④【解析】【分析】根据棱柱，棱台，圆锥及圆台的概念逐项分析即得.【详解】①一个平面多边形沿某一方向平移后两平面平行，且平移长度相等，符合棱柱定义，正确；②用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的几何体为棱台，故②错误；③将直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆锥，故③错误；④将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆台，正确.故答案为：①④.14.已知向量，，．若，则实数___________．【答案】##【解析】【分析】根据向量的坐标运算与垂直关系的坐标表示求解即可.【详解】解：因为，，所以，因为，所以，解得，故答案为：15.已知，则_______．【答案】【解析】【分析】转化为齐次式求解.【详解】，故答案为：16.正三棱锥中，，，则直线和平面所成的角的正弦值为___．【答案】##【解析】【分析】先作出直线和平面所成的角，进而利用三角函数求得该角的正弦值.【详解】取正中心为O，连接并延长交于D，连接，则D为中点，平面，则为直线和平面所成的角，中，，，，则，中，，，，则，则.则直线和平面所成的角的正弦值为.故答案为：四､解答题（17题满分10分，1822题满分12分，共70分）17.已知向量，．（1）求；（2）已知，且，求向量与向量的夹角．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答.（2）由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答.【小问1详解】向量，，则，所以.【小问2详解】由，，得，解得，由，得，于是，而，则有，所以向量与向量的夹角.18.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N，P分别为AB，BC，B1C1的中点．（1）求证：AC∥平面B1MN；（2）求证：平面ACP∥平面B1MN．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知，M，N分别为AB，BC的中点．所以MN∥AC，利用线面平行的判定定理即可证明AC∥平面B1MN；（2）由已知，P为B1C1的中点．可证B1P＝CN，B1P∥CN，从而证明四边形B1PCN是平行四边形，得到CP∥B1N，利用线面平行的判定定理即可证明CP∥平面B1MN，结合第（1）问AC∥平面B1MN，利用面面平行的判定定理即可证明平面ACP∥平面B1MN.【小问1详解】证明：因为M，N分别为AB，BC的中点．所以MN∥AC，因为MN⊂平面B1MN，平面B1MN，所以AC∥平面B1MN，得证.【小问2详解】证明：因为P为B1C1的中点．所以B1P＝CN，又因为B1P∥CN，所以四边形B1PCN是平行四边形，所以CP∥B1N，又因为B1N⊂平面B1MN，平面B1MN，所以CP∥平面B1MN，由第（1）问，AC∥平面B1MN，AC∩CP＝C，AC⊂平面ACP，CP⊂平面ACP，所以平面ACP∥平面B1MN．得证.19.某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成五组，得到如图所示频率分布直方图.（1）求图中a的值；（2）估计该校高一学生这次数学成绩的众数和平均数；（3）估计该校高一学生这次数学成绩的75%分位数.【答案】（1）（2）众数为，平均数为（3）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；可得，（2）根据频率分布直方图的中众数的概念和平均数的计算公式，即可求解；（3）因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，结合百分数的计算方法，即可求解.【小问1详解】解：由频率分布直方图的性质，可得，解得.【小问2详解】解：根据频率分布直方图的中众数的概念，可得众数为，平均数为.【小问3详解】解：因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，所以75%分位数为.20.在中，．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.小问1详解】解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.21.已知函数．（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．【答案】（1）．,

．（2）【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】（1）由题意，函数，==，所以的最小正周期：．由，解得即函数的单调递减区间是

．（2）由（1）知，因为，所以．要使f（x）在区间上的最小值为1，即在区间上的最小值为1．所以，即．所以m的最小值为．【点睛】本题考查了三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力和转换能力及