7.1条件概率与全概率公式第一课时教学设计高二下学期数学人教A版选择性

教学设计

课程基本信息学科数学年级高二学期春季课题7.1条件概率与全概率公式（第一课时）教科书书名：人教A版选择性必修第三册教材出版社：人民教育出版社教学目标1.引导学生对具体情境进行分析，通过缩小样本空间的方式，计算简单问题中事件的条件概率，并从特殊到一般，借助于Venn图，结合一般的古典概型推广问题，抽象出条件概率的概念；培养学生数学抽象、逻辑推理等数学核心素养；2.引导学生先后从直观感知和逻辑推理的角度，理解条件概率和事件独立性的关系；3.引导学生体会条件概率与概率的联系，类比概率的基本性质，得到条件概率的性质并进行论证，培养学生逻辑推理的核心素养；4.引导学生能用两种方式求解条件概率；引导学生思考两种求解方法在不同问题解决过程中的优越性；5.引导学生掌握概率的乘法公式，能够通过分析事件关系，利用概率的加法公式和乘法公式，求解复杂事件的概率。教学内容教学重点：1.抽象出条件概率的概念的过程，并能解决简单问题；2.理解事件的独立性和条件概率的关系；3.掌握概率的乘法公式，利用概率的加法和乘法公式，解决复杂事件的概率求解问题。

教学难点：1.抽象条件概率的概念，理解条件概率的意义；

2.论证条件概率与事件独立性的关系；3.理解条件概率与概率的关系，论证条件概率满足概率的基本性质。教学过程（一)复习回顾1、概率的定义对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件的概率用表示。事件概率的范围是，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。理解：概率的定义实际上建立起了一个随机事件，和一个内的实数之间的对应关系。2、事件的关系与概率的运算（1）若事件和事件互斥，则有：；特殊地，有：;（2）若事件和事件不互斥，则有：;（3）若事件和事件相互独立，则有；思考：若事件和事件不相互独立，如何计算？【设计意图】概率是一种测度，可以用于度量随机事件发生的可能性大小，它的定义采用公理化的定义，条件概率也满足该定义。本课程通过回顾概率的概念和基本性质，为学习条件概率奠定基础，同时为类比得到条件概率的性质做铺垫，进而帮助学生更好地理解条件概率与概率的关系，即：条件概率即为概率概念的推广，其适用性更广；同时，在学生已有的认知基础上，对事件关系和对应的概率计算方法进行层层推进的分析，自然引出问题，即：若事件和事件不相互独立，如何计算？引起学生的认知冲突，激发学习兴趣，凸显学习概率的乘法公式的意义。3、问题情境问题：某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率是，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里，下雨的概率还是吗？思考：一个事件的发生，对另一个事件发生的概率有何影响？【设计意图】条件概率研究的是一个事件的发生对另一个事件发生的概率有何影响，通过实际问题情境，激发学生探究兴趣，引入本节课重点研究的课题：条件概率。(二)问题探究情境：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示，在班里随机选择一人做代表。（1）选到男生的概率是多少？（2）选到男生且为团员的概率是多少？（3）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？【设计意图】通过对教材中的例题进行改编，引导学生对具体的问题进行分析，比较第（2）问和第（3）问中事件的区别和联系，体会条件概率的内涵；通过缩小样本空间的方式，求解在一个事件发生条件下，另一个事件发生的概率。为进一步从特殊到一般，抽象出条件概率的概念做铺垫。(三)新知探究探究：对于一般的古典概型：如图所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间，思考：三者有何关系？有：。一般化，可得条件概率的定义：条件概率：一般地，设为两个随机事件，且,我们为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率.即：。对条件概率的定义进行适当的变形，即得到与之等价的概率乘法公式：。【设计意图】从特殊到一般，结合一般的古典概型，利用Venn图抽象出条件概率的概念，培养学生数学抽象的核心素养；同时，推得与之等价的概率乘法公式，解决了课前提出的问题：若事件和事件不相互独立，可以利用概率的乘法公式计算。思考1:事件和事件有什么异同？解答：两个事件均表示同时发生，区别在于前者的样本空间为整个样本空间，而后者的样本空间缩小为。【设计意图】条件概率中学生学习的一个难点即为理解事件和事件，此处设置思考1，引导学生理解两个事件的区别和联系，对于事件，事件已经发生了，变成了条件，两者虽然都有同时发生，但两个事件的落脚点不同，前者的样本空间是原样本空间，而后者的样本空间为。思考2:何时等于？解答：当且仅当事件和事件相互独立。证明：事件和事件相互独立。推广：若事件和事件相互独立，且概率都大于0，则有：。【设计意图】两个事件相互独立的直观意义是事件的发生不影响事件的概率，在理解条件概率与事件相互独立的关系时，先让学生根据事件独立性的直观意义进行猜测，再利用定义进行严格推断，帮助学生建立起知识之间的关联性，培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养。思考3：条件概率也满足概率的性质吗？即设，则：（1）；（2）若事件和是两个互斥事件，则有：;（3）设和互为对立事件，则。证明：（2）【设计意图】引导学生体会条件概率与概率的关系，理解条件概率为概率概念的推广，其适用性更广。与课题开头呼应，类比探究证明条件概率的性质，其中，性质（2）和性质（3）属于运算性质，课上证明性质（2），性质（3）留给学生课后证明，巩固新知；引导学生从整体性、关联性的角度学习知识，培养学生数学抽象、逻辑推理的数学核心素养。(四)理论应用回归问题情境：某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率是，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里，下雨的概率还是吗？解：设“该地区刮风”为事件,“该地区下雨”为事件，在刮风天里下雨即为，则根据条件概率公式：。【设计意图】与课题开始的问题呼应，引导学生利用条件概率定义解决简单问题，进一步理解条件概率刻画了“一个事件的发生对另一个事件的概率的影响”。例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，求：（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率。答：设“第1次抽到代数题”为事件,“第2次抽到几何题”为事件，则“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”为事件,“第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”为事件,（1）在5道试题中不放回地随机抽取两道，有,,。（2）解法1：利用条件概率定义显然，则由条件概率公式有：。解法2：缩小样本空间已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道，故：。【设计意图】通过实例，引导学生利用条件概率的知识解决简单问题，帮助学生准确区分事件和事件，在计算条件概率时，通过两种解法，引导学生思考，两种解法有何不同，分别在哪些情况下更简单。例2.复杂事件概率的求解银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率。答：（1）设为”第次按对密码”（），则事件“不超过2次就按对”可表示为：，则根