第一讲集合的概念讲义高一上学期暑假高中数学预科

第一讲集合的概念知识点梳理：1．集合与元素的含义一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）．我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．2．集合中元素的三个特性（1）确定性（2）互异性（3）无序性3．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．集合A与集合B相等，记作A=B．4．元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果是集合A中的元素，就说a属于Aa∈A“a属于A”不属于如果不是集合A中的元素，就说a不属于AaA“a不属于A”

重难点解析：1．对集合概念的理解（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明．（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体．（3）广泛性：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，还可以是集合等．2．集合中元素的三个特性特性含义示例确定性给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了．接近于0的实数，不能构成一个集合，因为接近于0不是一个明确的标准，比如无法确定0.3是否符合这个标准；绝对值小于1的实数可以构成一个集合，因为“绝对值小于1”是明确的标准，根据这个标准，可以准确判断0.3或其他元素是否属于这个集合．互异性一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．若实数a，b是集合A中的两个元素，则a≠b．无序性构成集合的元素间无先后顺序由1，0构成的集合和由0，1构成的集合是同一个集合（1）元素特性——确定性的主要作用判断指定的一组对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，即组成集合的元素必须是确定的．（2）元素特性——互异性及无序性的主要作用①互异性的主要作用是提示我们求出结果后要检验．特别是题中含有参数时，一定要检验求出的参数是否使集合中元素满足互异性．②无序性的主要作用是方便定义集合相等．当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等，如本例就是分x=0与y=0两种情况讨论．3．集合相等（1）根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等，只要构成两个集合的元素是否完全相同．（2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如0<x<4，且x∈N构成的集合与1，2，3构成的集合相等．4．元素与集合的关系元素与集合只有两种关系：属于或不属于，没有模棱两可的关系．

例题讲解：题型1判断一组对象是否为集合【例1】（2023秋•图木舒克校级月考）下列对象中不能构成一个集合的是A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形【例2】（2023秋•安岳县校级期中）下列各组对象不能构成集合的是A．参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B．小于5的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数【例3】（2023秋•南开区期中）下列给出的对象能构成集合的有①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值；③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型2元素与集合的关系【例4】（2024•雁峰区校级模拟）若，2，，则的取值集合为A． B．， C．， D．，1，【例5】（2024春•岳麓区校级期中）若集合，，，且，则实数的值为．【例6】（2024•宝山区二模）已知集合，，，且，则实数的值为．题型3集合的相等【例7】（2023秋•浦东新区校级期末）若集合，2，，，，则．【例8】（2023秋•临沂期末）集合，，，，且，则实数．【例9】设集合，，，，，，且，求实数，的值．解题梳理：1．集合概念的理解（1）含义：集合是一个原始的不加定义的数学术语，像初中学过的点、直线一样，只能描述性说明．（2）对象：集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的听到的、触摸到的想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素．（3）整体：集合是一个整体，即暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．2．判断一组对象是否为集合的依据（1）确定性：负责判断这组元素是否构成集合．（2）互异性：负责判断构成集合的元素的个数．（3）无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．3．元素与集合的关系有属于与不属于两种：元素a属于集合A，记作a∈A，读作“a属于集合A"；元素a不属于集合A．记作a∉A，读作“a不属于集合A"．（1）a∈A与aA取决于a是不是集合A中的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何a与A．在a∈A与aA这两种情况中必有一种且只有一种成立．（2）符号“∈”，“在”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点千万要记准．（3）a与{a}的区别和联系：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素a；它们之间的联系为．（4）由集合中元素的特性求解字母取值（范围）的步骤变式练习：1．下列各组对象不能构成集合的是A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数2．下列说法正确的是A．我校爱好足球的同学组成一个集合 B．，2，是不大于3的自然数组成的集合 C．集合，2，3，4，和，4，3，2，表示同一集合 D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素3．下面四个命题正确的是A．10以内的质数集合是，3，5， B．0与表示同一个集合 C．方程的解集是， D．由1，2，3组成的集合可表示为，2，或，2，4．下列元素中属于集合，，的是A． B． C． D．5．若集合，，中的元素是的三边长，则一定不是A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形6．若以集合，，，的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形7．已知，2，，则的取值为A．1 B．1或2 C．0或2 D．10或1或28．由实数，，，所组成的集合中，含有元素的个数最多为A．2 B．3 C．4 D．59．若，，则A．1 B． C．0或1 D．0或1或10．集合，，中，应满足的条件是A． B． C．且且 D．或或11．下列对象中不能构成集合的是A．直角三角形 B．比1小0.001的数 C．高个子的男生 D．平面直角坐标系中的所有点12．由实数所组成的集合，最多含个元素．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个13．若，，，则实数的可能取值为A．4 B．2 C．1 D．14．集合中有且仅有一个元素，则实数的值为A．1 B． C．0 D．215．下列所给的对象能构成集合的是．（1）高中数学必修第一册课本上所有的难题；（2）高一（3）班的高个子；（3）英文26个字母；（4）中国古代四大发明；（5）方程的实数根．16．集合中元素的三大特征是．17．有下列各组对象：（1）某校的年轻教师；（2）被5除余数是2的所有整数；（3）著名数学家；（4）直线上的所有点；（5）大于1且小于2的所有有理数．其中能构成集合的对象有（填写序号）18．下列语句中确定是一个集合的有①在某一时刻，广东省新生婴儿的全体；②非常小的数的全体；③身体好的同学的全体；④十分可爱的熊猫的全体．19．若，，，则．20．已知集合，1，，若，则实数．21．已知，2，，则实数为．22．举例说明：设集合中含有三个元素3，，（1）求实数，应满足的条件；（2）若，求实数的值．23．已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．

答案与解析【例1】（2023秋•图木舒克校级月考）下列对象中不能构成一个集合的是A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形【答案】【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可．【解答】解：：比较出名的标准不清，故不能构成集合；，方程根确定，可构成集合；：不小于3的自然数可表示为，可构成集合；：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合．故选：．【例2】（2023秋•安岳县校级期中）下列各组对象不能构成集合的是A．参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B．小于5的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数【答案】【分析】根据集合的定义结合选项逐一排除即可．【解答】解：选项，参加杭州亚运会的全体乒乓球选手可以构成集合；选项，小于5的正整数可以构成集合；选项，2023年高考数学难题，不是一个确定的概念，不能构成集合；选项，所有无理数可以构成集合．故选：．【例3】（2023秋•南开区期中）下列给出的对象能构成集合的有①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值；③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】【分析】由已知结合集合元素的确定性即可判断．【解答】解：根据集合元素的确定性可知，①某校2023年入学的全体高一年级新生可以构成集合；②的所有近似值不能构成集合；③某个班级中学习成绩较好的所有学生不能构成集合；④不等式的所有正整数可以构成集合．故选：．【例4】（2024•雁峰区校级模拟）若，2，，则的取值集合为A． B．， C．， D．，1，【答案】【分析】结合元素与集合的关系计算即可得．【解答】解：当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，则，2，，符合题意，当时，有或，已知当时符合题意，当时，则，2，，符合题意，故的取值集合为，．故选：．【例5】（2024春•岳麓区校级期中）若集合，，，且，则实数的值为．【答案】0或1．【分析】由已知分别讨论，，，求出的值，再分别求出集合，然后根据集合元素的性质即可判断求解．【解答】解：因为集合，，，且，所以当时，，此时集合，，，成立，当时，解得，此时集合，，，与集合元素的互异性矛盾，所以不成立，当时，解得或，当时，此时集合，1，成立，综上，实数的值为0或1，故答案为：0或1．【例6】（2024•宝山区二模）已知集合，，，且，则实数的值为．【答案】0．【分析】由已知结合元素与集合的关系即可求解．【解答】解：因为集合，，，且，所以或，所以或，当时，，1，，符合题意，当时，，1，，与集合元素的互异性矛盾．故答案为：0．【例7】（2023秋•浦东新区校级期末）若集合，2，，，，则．【分析】利用集合相等的定义求解．【解答】解：，2，，，，．故答案为：6．【例8】（2023秋•临沂期末）集合，，，，且，则实数．【答案】．【分析】根据集合关系，分别讨论，，从而可求解．【解答】解：由题意得，当时，，，，则，，符合题意；当时，解得或，若，则，，，，不符合题意；若，则，，不符合题意；综上所述：．故答案为：．【例9】设集合，，，，，，且，求实数，的值．【分析】根据集合相等的定义，当集合时，集合，，，，，，中元素对应相等，由此我们可以分类讨论构造不同的方程组，然后根据集合元素的性质排除不满足情况的答案，即可得到结论．【解答】解：由题意，不符合；时，舍去），集合，，，，1，，，；时，舍去），集合，1，，，，，，．变式练习：1．【答案】【分析】根据集合的概念，判断各选项中对象是否符合，即可得答案．【解答】解：对于，参加杭州亚运会的全体电竞选手是确定的，可以构成集合；对于，小于的正整数是确定的，可以构成集合；对于，2023年高考数学难题，难题的标准是不确定的，不能构成集合；对于，所有无理数都是确定的，能构成集合．故选：．2．【答案】【分析】根据集合的含义逐项进行判断，从而得出结论．【解答】解：选项：不满足确定性，选项：不大于3的自然数组成的集合是，1，2，，选项：满足集合的互异性，无序性，确定性，选项，0，5，，，，组成的集合有5个，故选：．3．【答案】【分析】根据集合的基本概念及集合元素的性质检验各选项即可判断．【解答】解：10以内质数集合是，3，5，，错误；0表示元素，不是集合，错误；根据集合元素的互异性可知的解集是，错误；根据集合元素的无序性可知，正确．故选：．4．【分析】利用选项回代验证，求出是相同的整数即可．【解答】解：集合，，，、当时，时，，，，，不相同，不满足题意．、当，时，，，，，不相同，不满足题意．、当，时，，，，；不相同，不满足题意．、当，时，，，，，相同，满足题意．故选：．5．【答案】【分析】根据集合元素的互异性，在集合，，中，必有、、互不相等，则不会是等腰三角形．【解答】解：根据集合元素的互异性，在集合，，中，必有、、互不相等，故一定不是等腰三角形；故选：．6．【答案】【分析】利用集合中元素的互异性，直接判断选项多边形的边长构成的结合的元素个数即可得到结果．【解答】解：因为集合中的元素是互异的，也是无序的，所以平行四边形的边长构成的集合只有2个元素；菱形的边长构成的集合只有1个元素；矩形的边长构成的集合只有2个元素；满足题意的可能是梯形．故选：．7．【答案】【分析】分别代入0，1，2可得结果．【解答】解：若，则，2，中，不成立，排除，，选项，若，则，2，成立；若，，2，也成立．故选：．8．【答案】【分析】由；，或，即可得出结论．【解答】解：由；，或，因此由实数，，，所组成的集合中，时，含有元素的个数最多为2．故选：．9．【答案】【分析】根据题意，若，，则必有或，进而分类讨论：①，②，然后求出的值．并验证是否符合集合中元素的性质，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，若，，则必有或，进而分类讨论：①、当时，，不符合集合中元素的互异性，舍去，②、当，解可得或（舍当时，，符合题意，综合可得，，故选：．10．【分析】根据集合元素互异性可得，且，且解得答案．【解答】解：集合，，中，，且，且解得：且且故选：．11．【答案】【分析】根据题意，由集合中元素的确定性分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，直角三角形，满足集合中元素的确定性，可以构成集合；对于，比1小0.001的数，满足集合中元素的确定性，可以构成集合；对于，高个子的男生，不满足集合中元素的确定性，不可以构成集合；对于，平面直角坐标系中的所有点，满足集合中元素的确定性，可以构成集合．故选：．12．【答案】【分析】根据绝对值的定义和开平方、立方的方法，应对对分，，三种情况分类讨论，根据讨论结果可得答案．【解答】解：当时，，，此时集合共有2个元素，当时，，此时集合共有1个元素，当时，，，此时集合共有2个元素，综上的，此集合最多有2个元素，故选：．13．【答案】【分析】先根据题意求的值，再利用集合元素的互异性验证即可．【解答】解：三个元素中有且只有一个是3，要分三类讨论．当时，，此时，，故符合题意；当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，，经检验符合题意．综上可知，或．故选：．14．【答案】【分析】由集合，中有且仅有一个元素，得或，由此能求出实数．【解答】解：集合，中有且仅有一个元素，或，解得或，故选：．15．【答案】（3）（4）（5）．【分析】根据集合的含义判断即可．【解答】解：对于（1），高中数学必修第一册课本上所有的难题，“所有的难题”不确定，不满足集合的确定性，故（1）不能构成集合；对于（2），高一（3）班的高个子，“高个子”不确定，不满足集合的确定性，故（2）不能构成集合；对于（3），英文26个字母，是确定的且满足互异性，故（3）能构成集合；对于（4），中国古代四大发明，是确定的且满足互异性，故（4）能构成集合；对于（5），方程没有实数根，故能构成空集，故能构成集合的是（3）（4）（5），故答案为：（3）（4）（5）．16．【答案】确定性，无序性，互异性．【分析】由集合中元素的特征即可求解．【解答】解：集合中元素的三大特征是：确定性，无序性，互异性．故答案为：确定性，无序性，互异性．17．【分析】可看出（1）所说的“某校”和（3）所说的“著名”都不能确定，从而都不能构成集合的对象．而（2）（4）（5）所说的对象是可确定的，能构成集合的对象．【解答】解：（1）“某校”不确定，不能构成集合的对象；（2）”被5除余数是2的