高中数学选3-课时素养评价 六

课时素养评价

六二项式定理

基础练,

（25分钟,50分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

l.C0•24底•2片旺…+以•2^+…+C］等于（）

A.2rlB.2-1C.3nD.1

【解析】选C.原式=（2+1）"=3n.

2.（2017•全国卷I）（1+?（l+x）6展开式中X?的系数为（）

A.15B.20C.30D.35

【解析】选C.（1+?（l+x）6展开式中含X?的项为1-Cfx*2+*i•C^x4=30x2,故

x?的系数为30.

【类题-通】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个

二项式的每项,分析含X?的项共有几项,进行相加即可.这类问题的易错点主要

是未能分析清楚构成这一项的具体情况,尤其是两个二项展开式中的r不同.

3.在际+诉）'2的展开式中，含x的正整数次幕的项共有（）

A.4项B.3项C.2项D.1项

【解析】选B.(代+证)’2的展开式的通项为Tr+1=

《2(近)⑵'(版)(0WrW12),(0WrW12)为正整数，有3项，即

r=0,r=6,r=12.

4.(2020•广州高二检测)若(a%-(/的展开式中常数项等于一20,则a=()

11

A・士B•一士C.1D.-1

22

【解析】选C.(a%-§)6的展开式的通项公式为

Tk.尸尊(ax)「，-=(-1)ka6-kC^x6-2k.

当k=3时，常数项为(7)引仁二一20,解得a=1.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.(2020•全国HI卷乂％2+勺6的展开式中常数项是(用数字作答).

2(6r)rrr12-3r

【解析】因为Tr+1=Qx'2x-=2Qx,

由12-3-0,得r=4,所以12+勺6的展开式中常数项是：废-24=Cj-16=15X

16=240,故常数项为240.

答案：240

6.(2020•天津高二检测乂2正弓了的展开式中,1项的系数为.

k6k

【解析】因为二项式展开式的通项公式为Tkt1=C^(2Vx)(-1)X2-

Xx3-k;

令3-k=-1,所以k=4;

故展开式中含:项的系数为仁义22=60.

答案：60

三、解答题(每小题10分，共20分)

7.已知在(诳-息)”的展开式中,第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的

比是14：3.

⑴求n;

(2)求展开式中所有的有理项.

【解析】⑴依题意有第：*14：3,化简，得(n-2)(n-3)=56,解得n=10或

『-5(不合题意，舍去)，所以n的值为10.

10—〃/*1\kk/I、kio-2Jc

⑵通项公式为Tk+尸Cg(证)•(T)＜泉)=(-DQ)Cf0•%丁，由题意

号z,

得j0WkW10,

解得k=2,5,8,所以第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为

8.设f(x)=(l+x)"+(l+x)"的展开式中含x项的系数是19(m,n£N*).

⑴求f(x)的展开式中含X2项的系数的最小值.

⑵当f(x)的展开式中含Xz项的系数取最小值时，求f(x)的展开式中含X，项的系

数.

【解析】（1）由题设知m+n=19,所以m=19-n,

含X2项的系数为C铝片C葭+喋

（19-”）（18-⑴+九（n-1）

22

=n2-19n+171=（n--）2+—.

24

因为n£N*,所以当n=9或n=10时，x2项的系数的最小值为Q?+詈81.

（2）当n=9,m=10或n=10,m=9时,x2项的系数取最小值，此时x7项的系数为

。；0+鹭%+的56.

能力练,

（15分钟,30分）

L（5分）（2020-昆明高二检测乂1+々+£）4的展开式中，常数项为（）

A.1B.3C.4D.13

由于（1+近+：?表示4个因式+1+1）的乘积，故展开式

【解析】选D.

中的常数项可能有以下几种情况:①所有的因式都取1;②有2个因式取正,一个

1

因式取1,一个因式取与

X

故展开式中的常数项为1+C：X6=13.

2.的展开式中存在常数项,则n的取值可以是（

A.3B.4C.5D.6

【解析】选BD.卜-的展开式中通项公式：Tk+尸僚X”僚・(-11・xn@

因为存在常数，所以n-2k=0,即n=2k,n,keN*.则n的值可以是4,6.

3.(5分)(2020•天津高二检测)将(3+x：r的展开式按照x的升幕排列,若倒数第

三项的系数是90,则n的值是.

【解析】将(3+x”的展开式按照x的升球排列，则倒数第三项的系数是＜3^90,

求得"5(负值舍去).

答案：5

4.(5分)(2019•浙江高考)在二项式(或+x)9的展开式中，常数项是,系

数为有理数的项的个数是.

【解析】展开式通项是:「*尸。6(&亡父，所以常数项是TFCg(&)9=16或,若系

数为有理数，则9-r为偶数，所以r为奇数，所以r可取1,3,5,7,9.

答案：16或5

5.(10分)已知f(x)=(l+x)"',g(x)=(l+2x)n(m,n£N*).

(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式含x2的项.

⑵令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展开式中x的项的系数为12,那么当m,n为何值

时,含x2的项的系数取得最小值？

［解析］⑴当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)。

(l+xT展开式的通项为Qx',

(1+2x)4展开式的通项为C［(2x)r,

f(x)g(x)的展开式含x2的项为

1XCl(2x)2+C|xXCl(2x)+Cjx2X1=51x2.

(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.

因为h(x)的展开式中x的项的系数为12,

所以C#2*12,

即m+2n=12,所以m=12-2n.

x2的系数为C/+4《=功+4鬣

=-(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)

2

=4n-25n+66=4(n-3+等,neN*,

所以n=3,m=6时，x?的项的系数取得最小值.

培优练

1.若(x+aLg-iy的展开式中常数项为—1,则a的值为.

k1

【解析】由于(x+a)2=x2+2ax+a：而的展开式通项为Tk+F(-1)C^•x^，其

中k=0,1,2…，5.于是的展开式中x-2的系数为(-1尸底=70,xT项的系数

为(TV谶=5,常数项为-1,因此(x+a)2g-l)5的展开式中常数项为1X(-10)+2a

X5+a2X(-1)=-a?+1OaT0,依题意-a%10a70=-1,解得a2-10a+9=0,即a=1或

a=9.

答案：1或9

n2rn

2.设(q+x)=a0+aix+a2x+•••+arx+•••+anx,其中q£R,n£N*,

n

⑴当q=l时，化简：E工

r=or+l

⑵当q=n时，记AjS+a”B“=£a,,试比较An与B„的大小.

2r=o

【解题指南】(1)当q=l时,a=—•品林从而得到结果.

rn+1

(2)当q=n时，由二项式定理可得An=n叫Bn=(n+1尸,猜想、归纳,用数学归纳法

加以证明即可.

【解析】⑴当q=1时，ar二C1

由于c」—1•加-加-1«("+1"-1•cr+i其中

r+lr+1r!(n-r)!(r+l)!(n-r)!n+1(r+l)!(n-r)!n+1鹿+1''

r=0,1,2,•••,n.

19n+i_1

所以原式二—(%+1+量+1+底+i+・・・+c龄;)=------

九+1III±»<.I±ill±ill±九+1

(2)当q=n时，aF"

nnn+1

所以a0=n,aFn,所以An=n,

n

令x=1,得Bn=(n+l),

当『1,2时，M“<01+1严；

zi\n

当n'3时，nn+,>(n+1严，即n七+1).

下面先用数学归纳法证明:

当n23时,n>Q+1)"\……(☆)

①当n-3时,3乂;+1)二段，(☆)式成立;

②设n=k》3时，(☆)式成立,即k>Q+1)：

式右边=(W+】广।

则n=k+1时，(☆)

二岛+1)岛+1)〈岛+1)《+1)〈岛+1)・—+k<k+1.

k+l

也就是说，当n=k+1,(☆)式也成立.

/I\Tl

综合①②知，当心3时，n>Q+1)-

所以，当n=1,2时,A«Bn；当n，3时,A)Bn.

【一题多解】当q=n时,a尸

nnn+1

所以a0=n,aFn,所以An=n,

n

令x=1,得Bn=(n+l),

要比较。与。的大小，即可比较詈与缪的大小，设Inx.I

ABfM:—,则f'

X

/、1-lnx

由f'Q)>0,得O〈x<e,

所以千(%)在(0,e)上递增,

由fz(x)<0,得x>e,所以f(%)在(e,+8)上递减,

所以当n=1,2时,竺々妈竺An<Bn.

nn+1

当心3时，警噜衿,即(九+l)lnn>nln(n+1),即In吐小In(7i+1尸，即

An>Bn,

综上所述,当n=1,2时,A<Bn；当心3时,An>Bn.

【一题多解】当