2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第13讲 函数与方程及函数模型的应用（精讲）（含解析）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第13讲函数与方程及函数模型的应用（精讲）①求函数的零点和零点所在区间问题②与零点有关的参数问题③二分法的应用④常见函数模型①-二次函数和分段函数⑤常见函数模型②-指对幂函数一、必备知识整合一、必备知识整合一、函数的零点对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.三、零点存在性定理如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法（1）定义：对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.（2）用二分法求函数零点近似值的步骤①确定区间，验证，给定精度.②求区间的中点.③计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）④判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）~（4）步.（用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.）五、几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型，为常数且反比例函数模型，为常数且二次函数模型，，为常数且指数函数模型，，为常数，，，对数函数模型，，为常数，，，幂函数模型，为常数，六、解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;(3)解模：求解数学模型，得出结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．函数的零点相关技巧:①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.二、考点分类精讲二、考点分类精讲【题型一求函数的零点和零点所在区间问题】1.确定函数零点个数的方法2.判断函数零点所在区间的方法【典例1】（单选题）（2023·陕西西安·模拟预测）函数的零点为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根据零点的定义即可求解.【详解】令，得，则．故选：A【典例2】（单选题）（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断.【详解】因为的定义域为，且在内单调递增，可知在内单调递增，且，所以函数的唯一一个零点所在的区间是.故选：B.一、单选题1．（2024高二下·湖南·学业考试）函数的零点是（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】令，求解方程即得.【详解】由，设，则得，解得，从而，所以.故选：C.2．（23-24高三上·浙江宁波·期末）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据零点存在性定理进行求解.【详解】由已知，可知为增函数，且，，根据零点存在定理，函数在有零点，且零点是唯一的.故选：B3．（2024·江苏·一模）函数在区间内的零点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】利用三角函数的性质求解即可.【详解】令，得，则；故，，所以在共有4个零点，故选：C.4．（23-24高三下·北京海淀·阶段练习）已知符号函数，则函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先分段写出的解析式，然后分类求方程的根即可.【详解】令，则，当时，若，得，符合；当时，若，得，符合；当时，若，得，符合；故函数的零点个数为.故选：C.5．（2023·广西·一模）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】根据给定条件，利用奇函数、函数零点的定义，列式求解作答.【详解】因为是函数的一个零点，则，于是，即，而函数是奇函数，则有，所以.故选：D6．（2023·北京·模拟预测）已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据x的取值范围不同，分别解出根即可得出答案.【详解】当时，，当时，解得；当时，，其中，，当时，解得，综上k的最大值是1.故选：C.7．（22-23高一上·四川凉山·期末）函数，则函数的所有零点之和为（

）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解.【详解】令，由得或，所以或，当时，或，当时，则或，解得，所以函数的所有零点之和为.故选：D.8．（2024·山东潍坊·二模）已知函数则图象上关于原点对称的点有（

）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】C【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可.【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故图象上关于原点对称的点有3对.

故选：C9．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知函数，则关于的方程实数解的个数为（

）A．4 B．5 C．3 D．2【答案】A【分析】由解得或2，再画出，，的图象数交点个数即可.【详解】因为，解之得或2，当时，；当时，，当且仅当时等号成立，所以，，的图象如图：由图可知使得或的点有4个.故选：A.10．（22-23高二下·河南焦作·期末）设分别是方程，，的实根，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，利用零点的存在性定理，求得，，作出与的图象，结合图象得到或，即可求解.【详解】令，可得在上单调递增，又由，所以；再令，可得在上单调递增，且，所以；对于，即，则方程的根为与的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中作出两个函数图象，如图所示，由图可知，或，综上，.故选：B.11．（23-24高三下·江苏·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】准确分析函数性质，在同一平面直角坐标系中画出两函数的图象即可得解.【详解】，所以的最大值为2，当取最大值时，有，即，由，令，解得，当趋于时，趋于正无穷，而，所以在上存在一个零点，根据上述分析，在同一平面直角坐标系中画出的图象与的图象如图所示，

由图可知，在上存在一个零点，在上存在个零点，综上所述，的图象与的图象共有11个交点.故选：C．【点睛】关键点点睛：关键是对区间进行适当划分，从而研究函数在各个区间上的性质，由此即可顺利得解.二、填空题【题型二与零点有关的参数问题】已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围【典例1】（单选题）（2023高二下·浙江温州·学业考试）设实数a为常数，则函数存在零点的充分必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二次函数与二次方程之前的关系，以及根的分布列出关于的不等式，解之即可得解.【详解】因为函数存在零点，等价于方程在上存在零点，注意到的图像开口向上，对称轴为，且，故上述条件等价于，即，解得.所以函数存在零点的充分必要条件是.故选：A.【典例2】（单选题）（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用参变分离法，将函数存在两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数探究函数的图象及趋势特征即得参数范围.【详解】由，，可得：，令，依题意，函数存在两个零点，等价于函数与函数的图象有两个交点.又，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故时，取得极大值，且当时，，当时，，故要使函数与函数的图象有两个交点.，需使，解得.故选：C.一、单选题1．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用参变分离法，将函数存在两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数探究函数的图象及趋势特征即得参数范围.【详解】由，，可得：，令，依题意，函数存在两个零点，等价于函数与函数的图象有两个交点.又，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故时，取得极大值，且当时，，当时，，故要使函数与函数的图象有两个交点.，需使，解得.故选：C.2．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知m为常数，函数，则“”是“有零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用函数零点的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.【详解】当时，恒成立，即函数没有零点，反之，有零点，即有解，因此，则，所以“”是“有零点”的必要不充分条件.故选：B3．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可列式求解.【详解】是增函数，也是增函数，所以是上的增函数.因为在内有零点，所以，解得.故选：A4．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可.【详解】若函数存在1个零点位于内，单调递增,又因为零点存在定理，.故选：A.5．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）为函数的两个零点，其中，则下列说法错误的是（

）A． B．C．的最小值为 D．的最小值为【答案】C【分析】根据给定条件，由函数零点的意义可得直线与函数的图象有两个公共点，结合函数的性质可得，再借助对勾函数性质及基本不等式逐项分析得解.【详解】函数的定义域为，由，得，因此直线与函数的图象有两个公共点，其横坐标为，而当时，递减，当时，递增，于是，对于A，由，得，即，A正确；对于B，，而函数在上单调递增，因此，B正确；对于C，，函数在上单调递增，因此，C错误；对于D，，当且仅当时取等号，D正确.故选：C6．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）若函数恰有两个零点,则实数的取值不可能为（

）A．0 B． C．2 D．3【答案】A【详解】根据零点定义，逐个带入分析判断即可得解.【点睛】若，可得，此时令可得，只有一个零点，故A不符合；若，可得，此时令可得，恰有两个零点，故B符合；若，可得，此时令可得，恰有两个零点，故C符合；若，可得，此时令可得，恰有两个零点，故D符合；故选：A7．（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（

）A． B．或.C． D．或.【答案】D【分析】根据题意，分和，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求解.由函数，【详解】由函数，若，可得，令，即，解得，符合题意；若，令，即，可得，当时，即，解得，此时，解得，符合题意；当时，即且，则满足，解得且，若，可得，令，即，解得或，其中，符合题意；若，可得，令，即，解得或，其中，符合题意；综上可得，实数的取值范围为或.故选：D.8．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的实根在区间上，则（

）A． B．2 C．或2 D．1【答案】C【分析】根据方程的根与函数零点的关系转化为函数的零点来求解，画出函数图象观察交点范围，再用零点存在性定理证明即可.【详解】方程化为，分别做出方程左右两边的图象，从图象可知，方程，方程有两个分别在和之间的根，下面证明：方程在和之间各有一个实根，设，根据函数性质得在区间上是增函数，又，，则，由零点存在性定理知，在区间上仅有一个零点，即方程区间上仅有一个实根，同理可得方程区间上仅有一个实根，结合题意可知，或，故选：C.9．（2024·安徽合肥·二模）已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出函数的图象，由题意可得的图象与至少有两个不同的交点，从而得，结合图象可得，求解即可．【详解】因为，作出函数的图象，如图所示：由此可知函数在和上单调递减，在上单调递增，且，，又因为关于的方程至少有两个不同的实数根，所以至少有两个不同的实数根，即的图象与至少有两个不同的交点，所以，又因为当时，，令，可得；当时，，令，解得，又因为，所以，解得．故选:D．【题型三二分法的应用】【典例1】（单选题）（2023高三·全国·专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过次操作后，区间长度变为，若要求精确度为时则，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.【详解】因为开区间的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，所以经过次操作后，区间长度变为，令，解得，且，故所需二分区间的次数最少为7.故选：C.一、单选题1．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果.【详解】因为，由零点存在性知：零点，根据二分法，第二次应计算，即.故选：B.2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（

）A．或都可以 B．C． D．不能确定【答案】B【分析】借助二分法定义计算即可得.【详解】，，第一次取，有，故第二次取，有，故此时可确定近似解所在区间为.故选：B.3．（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解.【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B，有唯一零点，但恒成立，故不可用二分法求零点；对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B.4．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（

）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据二分法结合零点的近似值求解.【详解】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，故需，解得，所以至少需要操作7次.故选：C5．（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根精确度为可以是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零点存在性定理及二分法，结合表格计算即可.【详解】因为，，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为因为，所以，所以函数在内有零点，因为，满足精确度为，所以方程的一个近似根精确度为可以是区间内任意一个值包括端点值.故选：C.【题型四常见函数模型①-二次函数和分段函数】【典例1】（单选题）（23-24高三上·上海奉贤·期中）某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：上市时间天41036市场价元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系（

）A． B．C． D．；【答案】B【分析】由题意观察出随的变化趋势，对比函数单调性即可得解.【详解】∵随着时间的增加，的值先减后增，而三个函数中、、显然都是单调函数，不满足题意，∴选择．故选：B.一、单选题1．（23-24高一上·四川绵阳·期中）红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙（墙长），其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口（不需材料），共用该种环保材料，则可围成该活动区的最大面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设这个活动区垂直于墙的一边长是，则平行于墙的一边是，面积，再利用二次函数的性质解答即可．【详解】设这个活动区垂直于墙的一边长是，则平行于墙的一边是，面积，墙长，所以，解得，对称轴方程，抛物线开口向下，，函数在上递减，当时，最大为（），故选：C．2．（22-23高三上·广东深圳·期末）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产万件该产品，需另投入成本万元.其中，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（

）A．720万元 B．800万元C．875万元 D．900万元【答案】C【分析】先求得该企业每年利润的解析式，再利用分段函数求最值的方法即可求得该企业每年利润的最大值.【详解】该企业每年利润为当时，在时，取得最大值；当时，（当且仅当时等号成立），即在时，取得最大值；由，可得该企业每年利润的最大值为.故选：C3．（23-24高一上·江西景德镇·期中）如图，某小区内有一个矩形花坛，且矩形的周长是4，设，，则函数的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知写出的解析式，利用复合函数的单调性得出选项．【详解】由条件，得，在区间(0,1]上是减函数，在区间[1,2)上是增函数，由题可知选项C适合题意.故选：C.二、解答题4．（23-24高三下·上海·开学考试）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容．习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）元．已知这种水果的市场售价为16元千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为（单位：元）．(1)求的函数关系式(2)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是430元．【分析】（1）根据题意可得，则化为分段函数即可，（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润．【详解】（1）；（2）当时，，对称轴为,当时，，当时，当且仅当时等号成立答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是430元．5．（23-24高二下·山东德州·期中）某工厂生产某产品的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部每售完.(1)求销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；(2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？【答案】(1)(2)当产量为80万箱时，所获利润最大【分析】（1）分和两种情况讨论，分别求出函数解析式；（2）利用导数求出函数在时的最大值，利用基本不等式求出当时的最大值，即可得解.【详解】（1）由题意可知，销售收入为万元，当产量不足万箱，即时，.当产量不小于万箱，即时，.综上可得.（2）设，当时，，则当时，当时，可知在上单调递增，在上单调递减.则，当时，由基本不等式可知，当且仅当，即时取等号.又，所以当产量为万箱时，所获利润最大值为万元.6．（23-24高一下·四川成都·开学考试）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离．在某种路面上，经过多次实验测试，某种型号汽车的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时，）的一些数据如下表．为了描述汽车的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）的关系，现有三种函数模型供选择：①，②，③．x0406080y08.418.632.8(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过13米，求行驶的最大速度．【答案】(1)最符合实际的函数模型；解析式为；(2)行驶的最大速度为千米/时．【分析】（1）结合表格数据选出最符合实际的函数模型，然后列方程组求解即可；（2）令，结合二次不等式的解法求解，再结合，即可求出的取值范围，即可得解．【详解】（1）结合表格数据可得最符合实际的函数模型，将，；，；，分别代入上式可得，解得，即所求的函数解析式为，；（2）令，即，解得，又，所以，即要求刹车距离不超过米，则行驶的最大速度为千米时．【题型五常见函数模型②-指对幂函数】【典例1】（单选题）（2023·云南·二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：一次购买件数5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上每件价格37元32元30元27元25元张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（

）A．116件 B．110件 C．107件 D．106件【答案】C【分析】根据题意，设购买的件数为，花费为元，根据表中的数据列出满足的函数关系式，当时，求出的最大值即可.【详解】设购买的件数为，花费为元，则，当时，，当时，，所以最多可购买这种产品件，故选：C.一、单选题1．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与（表示不大于的最大整数）成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为（）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】D【分析】利用题中的条件，第1天有15人进店消费，即可得出比例系数，进而可以解出．【详解】由题意可设比例系数为，所以，，，当时，，故选：D．2．（2024·全国·模拟预测）某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数与可见叶片数进行分析研究，其关系可以用函数（为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指