2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第11练 对数与对数函数（精练：基础+重难点）（含解析）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第11练对数与对数函数（精练）1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logaxa>0，且a≠1互为反函数.一、单选题1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.2．（2022·天津·高考真题）化简的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式，故选：B3．（2022·浙江·高考真题）已知，则（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为，，即，所以．故选：C.4．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（

）A．当，时，二氧化碳处于液态B．当，时，二氧化碳处于气态C．当，时，二氧化碳处于超临界状态D．当，时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【分析】根据与的关系图可得正确的选项.【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.当，时，因,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D二、多选题5．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.【详解】由题意可知：，对于选项A：可得，因为，则，即，所以且，可得，故A正确；对于选项B：可得，因为，则，即，所以且，可得，当且仅当时，等号成立，故B错误；对于选项C：因为，即，可得，即，故C正确；对于选项D：由选项A可知：，且，则，即，可得，且，所以，故D正确；故选：ACD.三、填空题6．（2023·北京·高考真题）已知函数，则．【答案】1【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.【详解】函数，所以.故答案为：17．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则，．【答案】；．【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若，则的定义域为，不关于原点对称若奇函数的有意义，则且且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得，由得，，，故答案为：；．[方法二]：函数的奇偶性求参函数为奇函数[方法三]：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．【A级

基础巩固练】一、单选题1．（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解对数不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得.【详解】因为，由，即，解得，所以，所以.故选：A2．（2024·河南郑州·三模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合和即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以，所以.故选：D.3．（2024·广东广州·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数以及对数函数的单调性，即可得.【详解】由于，，，所以，故选：C4．（2024·湖北·模拟预测）已知函数则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分段函数的形式，结合对数和指数运算公式，即可求解.【详解】，故选：5．（2024·四川凉山·三模）工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间小时的关系为（，均为正的常数）．已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过（

）（最终结果精确到1h，参考数据：，）A．43h B．38h C．33h D．28h【答案】D【分析】先确定废气中初始污染物含量，由题意求出常数，即可解出．【详解】∵废气中污染物含量与过滤时间小时的关系为，令，得废气中初始污染物含量为，又∵前5小时过滤掉了10%污染物，∴，则，∴当污染物过滤掉50%时，，则，∴当污染物过滤掉50%还需要经过.故选：D.6．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数图象恒过的定点在双曲线的一条渐近线上，双曲线离心率为e，则等于（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先利用对数函数的性质，求得函数的图象恒过定点，代入双曲线的渐近线方程，求得，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由函数，令，可得，且，所以函数的图象恒过定点，又由双曲线的一条渐近线方程为，将点代入渐近线方程，可得，解得，所以双曲线的离心率为，所以.故选：C.7．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复合函数的单调性得到内函数在区间上单调递减，且，进而求出a的范围.【详解】函数是上的减函数，欲使函数在区间上单调递增，应有在区间上单调递减，且，于是应有，即，解得.故选：D.二、多选题8．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】ACD利用对数运算法则和换底公式可判断；B选项，利用指数幂的运算法则可判断.【详解】A选项，，A正确；B选项，，B错误；C选项，，C错误；D选项，由换底公式可得，D正确.故选：AD9．（河南省部分重点高中2023-2024学年高三下学期5月联考数学试卷（新高考））已知函数，则（

）A．的定义域为B．的值域为C．D．的单调递增区间为【答案】ABC【分析】根据函数的解析式，求出函数的定义域值域即可判断A、B，求出利用对数运算法则即可求解C，根据复合函数的单调性即可判断D.【详解】对AB，由，得，则的定义域为，值域为，A，B均正确；对C，，C正确；对D，因为，所以，外层函数为增函数，，令，所以函数定义域为，内层函数，在上单调递增，上单调递减，所以的单调递增区间为不是D错误.故选：ABC10．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知，则下列不等式可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用对数函数的图象与性质一一判定即可.【详解】在同一坐标系中作出函数，，的图象，从图中可以看出，当，，均在区间时，有，当，，均在区间时，有，故A正确，B错误；由于，所以有，作出函数，，的图象，类似地可以得出C正确，D不正确.故选：AC．

11．（2024·重庆·模拟预测）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间的衰变公式，表示物质的初始数量，是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知，右表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为，，，则（

）物质τ的量纲单位τ的值铀234万年35.58铀235亿年10.2铀238亿年64.75A． B．与成正比例关系C． D．【答案】BD【分析】A选项，根据半衰期的定义得到，从而得到方程，求出；B选项，由A选项得到结论；C选项，由B选项可得C错误；D选项，计算出，作商得到D正确.【详解】A选项，由题意得，又，故，两边取对数得，，，A错误；B选项，由A可知，与成正比例关系，B正确；C选项，由B可知，与成正比例关系，由于铀234的值小于铀235的值，故，C错误；D选项，，，故，D正确.故选：BD三、填空题12．（2024·全国·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则．【答案】【分析】根据题意，，结合对数的运算性质，求得的值，即可求解.【详解】因为函数是定义在上的奇函数可得，又当时，，则，所以．故答案为：.13．（23-24高三下·上海·阶段练习）函数的定义域为．【答案】．【分析】根据对数函数的性质得不等式，然后解指数不等式可得．【详解】由题意，即，∴，，∴定义域为．故答案为：．14．（23-24高三下·全国·阶段练习）函数是偶函数，则.【答案】【分析】根据题意，利用列出方程，结合对数的运算，即可求解.【详解】因为是偶函数，可得，所以.故答案为：.15．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知，求.【答案】8【分析】利用函数的单调性解方程，得到，的值，问题即可解决.【详解】设，则在上为增函数，且，所以只有一解：；同理：方程只有一解：.所以：.故答案为：16．（2024·全国·模拟预测）已知，则．【答案】3【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式的互化关系，再利用对数的运算性质及换底公式计算得解.【详解】依题意，，则．故答案为：317．（23-24高三上·宁夏石嘴山·开学考试）已知是上的减函数，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定法，以及一次函数与对数函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数在上为单调递减函数，则满足，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题18．（2023高三·全国·专题练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)13【分析】利用对数和指数的性质求解.【详解】（1）解：原式．（2）原式．19．（23-24高三上·上海宝山·期中）已知函数的定义域为A，值域为B．(1)当时，求集合A；(2)当时，求集合B．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据对数定义需满足真数大于0恒成立，求出对应的定义域；（2）先求出定义域，再应用对勾函数性质求出取值范围，最后求出值域即可.【详解】（1）当时，所以，若则不等式无解，所以，即，即，解得或，所以；（2）当时，所以，若则不等式无解，所以，即，解得此时不等式恒成立，所以定义域，又当时恒成立（当且仅当时等号成立），所以，所以，所以20．（23-24高三上·广东·阶段练习）（1）求方程的根；（2）若，，求的取值范围．【答案】（1），；（2）【分析】（1）设，则，解得，再代入求出；（2）设，则对于恒成立，参变分离得到在时恒成立，求出的最大值，即可求出参数的取值范围.【详解】（1）设，则，即，得，，即或，解得或，所以方程的根为：，．（2）设，因为，则，令，，由题意可得对于恒成立，即在时恒成立，而在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取最大值为，所以．21．（23-24高三上·江苏常州·阶段练习）设函数为偶函数．(1)求k的值；(2)写出函数的单调性（不需证明），并解不等式．【答案】(1)1(2)单调性见解析，不等式解集为【分析】（1）根据得到方程，求出；（2）根据定义法得到函数的单调性，并根据单调性解不等式.【详解】（1）∵为定义在R上的偶函数，∴，即，故，即，解得；（2）在上单调递减，在上单调递增，理由如下：，设任取，且，则，因为，且，所以，，故，所以在单调递增，由复合函数同增异减可得，在单调递增，又在R上为偶函数，故在上单调递减，，∴，解得或，∴不等式解集为.【B级

能力提升练】一、单选题1．（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据时的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.【详解】，因为当时，都为增函数，所以，在上单调递增，故B，C错误；又因为，所以不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.故选：A2．（2024·全国·模拟预测）2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：，）（

）A．1.587 B．1.442C．0.587 D．0.442（

）【答案】C【分析】利用指数和对数的运算求解即可.【详解】空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，设，当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为，则，两式相比得：，即，故，故圆轨道半径增加的倍数大约是.故选：C.3．（2024·河北衡水·模拟预测）设，若函数是偶函数，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】根据对数的运算性质，结合偶函数满足的等量关系，即可求解.【详解】的定义域为，关于原点对称，故所以，故或（舍去），故选：D4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）设，，，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用对数的性质，结合对数函数的单调性求解.【详解】，，，因为，所以，因为，，所以，所以.故选：D.5．（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对数函数的单调性与底数有关，分和两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得的取值范围.【详解】设函数，则．①若，则在定义域上单调递减．又在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，故对任意的恒成立．又，所以对任意的显然成立．又因为对任意恒成立，所以0，故．②若，则在定义域上单调递增．又在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，故对任意的恒成立．因为抛物线的开口向上，所以不可能对任意的恒成立．所以的取值范围为．故选：A．二、多选题6．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）关于函数，下列结论正确的是（

）A．定义域为B．是偶函数C．的图象关于点对称D．在上单调递增【答案】ACD【分析】由可求定义域判断A；根据定义域是否关于原点对称判断B；计算是否为0判断C；由复合函数的单调性判断D.【详解】对于A，由得或，故定义域为，A正确；对于B，因为定义域不关于原点对称，故不是偶函数，B错误；对于C，因为，所以图象关于点对称，正确；对于D，，因为函数在区间上单调递增，且在上单调递增，所以在上单调递增，D正确.故选：ACD.7．（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（

）(参考数据:)A．B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的D．若年后，样本中氚元素的含量为，则【答案】CD【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出，再判断D即可.【详解】由题意得，故有，左右同时取对数得，故得，故A错误，当时，，故B错误，而当时，，得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确，由题意得，化简得，，将代入其中，可得，故D正确.故选：CD三、填空题8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的值域为．【答案】【分析】求出函数的定义域，进而求出的范围，利用换元法结合二次函数求函数的值域.【详解】因为已知函数的定义域为且，定义域需满足，可得，令，则，则，又因为的图象开口向上，对称轴为，可知在内单调递增，当时，；当时，；可知函数的值域为.故答案为：.9．（23-24高三下·上海徐汇·阶段练习）若函数在上有最小值（、为常数），则函数在上最大值为.【答案】【分析】考虑函数，判断得是奇函数，根据奇函数对称性，结合在上的最值情况即可得解.【详解】考虑函数，定义域为R，又，所以是奇函数，则，设的最大值为，最小值为，则，又，所以，，所以，则，所以，故答案为：9.四、解答题10．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，且．(1)若，求方程的解；(2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)或(2)【分析】（1）令，利用换元法将原方程转化为，则或，结合对数的运算性质即可求解；（2）令，原不等式可转变为在上恒成立，结合二次函数的性质分类讨论，求出即可求解.【详解】（1）令，则，当时，等价于，即，得，有或，则或，所以或.（2）法一：令，由，得，依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立，令，对称轴，①当时，即，，得.所以.②当，即，，得.所以.综上所述，的取值范围为.法二：令，由，得，依题意得恒成立，令，①当时，易知在上单调递增，且当时，，所以此时没有最小值，即不存在使得不等式恒成立.②当时，易知在上单调递增，故恒成立，解得，即当时，不等式恒成立.③当时，由基本不等式得，当且仅当时取等号，要使原不等式成立，须使恒成立，解得综上所述，的取值范围为.法三：令，由，得，依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立，由，得，①当时，恒成立，R；②当，，所以在上恒成立，令，，则，在上单调递减，所以，所以，的取值范围为.③当，，所以在上恒成立，令，，则，当且仅当，即，，时等号成立，即，所以，的取值范围为综上所述，的取值范围为.11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数(且).(1)当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；(2)是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围；（2）由（1）同理可知，再分、两种情况讨论，结合二次函数的性质计算可得.【详解】（1）当时，函数恒有意义，所以在上恒成立，即在上恒成立．令，，则，所以在上单调递减，所以，所以.又且，所以.（2）函数在区间上有意义，则在上恒成立．由（1）同理可知，，又函数在区间上为减函数，并且最大值为.当时，为减函数，则且在上单调递增，所以，即，故不存在这样的实数；当时，为增函数，则且在上单调递减，所以，即，故不存在这样的实数.综上，不存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，且最大值为.【C级

拓广探索练】一、单选题1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则下面正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，，结合零点的存在性定理可得，，即可逐项判断.【详解】令，由，故，由与在上单调递增，故在上单调递增，又，，故，故B错误；令，由函数的图象及的图象可得在上只有一个零点，由，故，又，，故，故C错误；有，故A错误；，故D正确.故选：D.2．（2024·云南·二模）已知函数的定义域为，且若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】当时，判断函数单调性，由单调性可知；当时，根据单调性的性质和复合函数单调性可知单调递增，可得，然后将原不等式转化为即可得解.【详解】当时，，由复合函数的单调性可知在上单调递减，所以；当时，，因为在上单调递增，为增函数，所以在上单调递增，又在上为增函数，所以在单调递增，所以.综上，在上恒成立，当且仅当时取等号.所以不等式，解得且且，即原不等式的解集为.故选：D【点睛】思路点睛：解分段函数相关不等式时，需要根据自变量范围进行分类讨论，利用单调性求解即可.二、填空题3．（2024·全国·模拟预测）已知，，则．【答案】【分析】根据等式结构特征先利用换元法化简等式形式为，，然后通过两等式的联系（均可化为形式），构造函数研究出m与n的关系，从而建立x与y的关系，进而求出.【详解】令，，则，，由题可得，，所以，.因为函数在上单调递减，