2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第07讲 函数的单调性与最值（精讲）（含解析）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第06讲函数的单调性与最值（精讲）①函数单调性的判断与证明②求函数的单调区间③复合函数的单调性④函数单调性的应用（求参数、解不等式、比较大小）⑤求函数的最值（值域）一、必备知识整合一、必备知识整合1.函数的单调性

（1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.（3）【特别提醒】①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．②有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．2.函数的最值（1）最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：=1\*GB3①对于任意的，都有；=2\*GB3②存在，使得.那么，我们称是函数的最大值.（2）最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：=1\*GB3①对于任意的，都有；=2\*GB3②存在，使得.那么，我们称是函数的最小值.（3）函数最值存在的两个结论①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．1.∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数．2.对勾函数y＝(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．3.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．4.若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．5.函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝的单调性相反．6.复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”．二、考点分类精讲二、考点分类精讲【题型一函数单调性的判断与证明】1.定义法证明函数单调性的步骤2.判断函数单调性的四种方法(1)图象法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法．3.证明函数单调性的两种方法(1)定义法；(2)导数法．【典例1】（23-24高一上·陕西汉中·期中）已知函数．(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；(2)求函数在区间上的值城．【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析(2)．【分析】（1）利用定义法证明单调性即可；（2）由函数的单调性求值域即可.【详解】（1）易知，设，且，则，又由，则，，，所以，即在区间上单调递增；（2）由上可知函数在区间上单调递增，则，又，故的值域为.一、单选题1．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（

）A．函数在上一定是增函数；B．函数在上一定不是增函数；C．函数在上可能是减函数；D．函数在上不可能是减函数.【答案】D【分析】根据函数单调性的定义判断即可.【详解】因为函数，且成立，则函数在上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数，如，满足，但是在上不具有单调性，故D正确，A、B、C错误.故选：D2．（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可判定出结果【详解】因为函数在上单调递增，且，由增函数的定义可知，当时，有，充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾，若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立.即对实数，“”是“”的充要条件.故选：C二、解答题3．（23-24高三上·新疆阿克苏·阶段练习）已知函数，(1)求该函数的定义域；(2)证明该函数在上单调递减；(3)求该函数在上的最大值和最小值.【答案】(1)．(2)证明见解析(3)最大值为，最小值为．【分析】（1）由解析式中分母不为0即可求出结果；（2）利用单调性的定义直接证明即可；（3）根据函数单调性可直接求解；【详解】（1）由于，所以，所以，即函数的定义域为．（2）证明：任取,,，且，则，因为,,，且，所以，，，所以，即，所以函数在,上单调递减．（3）由（2）知函数在,上单调递减，所以函数在,上的最大值为，最小值为．4．（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数过点．(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；(2)求函数在上的最大值和最小值．【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析(2)最大值为，最小值为【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性；（2）根据单调性即可得出函数在上的最大值和最小值.【详解】（1）单调递增，由题意证明如下，由函数过点，有，解得，所以的解析式为：．设，且，有．由，得．则，即．∴在区间上单调递增．（2）由在上是增函数，所以在区间上的最小值为，最大值为．5．（2024高三·全国·专题练习）对于函数.(1)探索函数的单调性；(2)是否存在实数使函数为奇函数？【答案】(1)在上为增函数(2)存在使函数为奇函数【分析】（1）根据复合函数的单调性判断，再利用单调性的定义证明即可；（2）假设存在实数使为奇函数，则，即可求出的值.【详解】（1）函数的定义域为，而在定义域上单调递增且，又在上单调递减，所以在上单调递减，所以在上单调递增，证明如下：任取，且，则，所以，，故在上为增函数.（2）假设存在实数使为奇函数，则，，即，又，，故存在实数，使函数为奇函数.6．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知奇函数.(1)求实数m的值；(2)判断并证明在区间上的单调性；(3)设，对于任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)-1(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据函数为奇函数即可得结果；（2）对a分类讨论，用函数单调性的定义即可证明结果；（3）依题意，分别求出的最小值，根据条件可得结果.【详解】（1）因为为奇函数，所以，即，所以，解得，即，经检验：时不合题意，舍去，故.（2）当时在区间上为减函数；当时在区间上为增函数；证明如下:由（1）可知，任取，，因为，所以，即，当时，即，故在区间上为减函数；当时，即，故在区间上为增函数；综上：当时在区间上为减函数；当时在区间上为增函数；（3）因为，时为减函数，当时，由（1）可知，当时在区间上为减函数，当时，当时在区间上为增函数，当时，又对于任意的，总存在，使得成立，即，所以：或，即或，解得或，故实数a的取值范围为.【题型二求函数的单调区间】【典例1】（单选题）（2023·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（

）A． B．和C． D．和【答案】B【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求【详解】，则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；当，的单调递减区间为，故的单调递减区间是和.故选：B一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝的单调递减区间为（）A．（－∞，＋∞）B．（0，＋∞）C．（－∞，0）∪（0，＋∞）D．（－∞，0），（0，＋∞）【答案】D【解析】略2．（22-23高三上·甘肃兰州·开学考试）函数的单调增区间是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】由可得，即为偶函数，则当时，可得的单调区间，进而得到时，的单调区间，即可得到答案【详解】解：由，则为偶函数，的图像关于轴对称.当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减；则当时，在递增，在递减，则有的递增区间为.故选：C3．（22-23高三上·河北廊坊·阶段练习）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将函数化简，然后由解析式可求出函数的增区间.【详解】因为，所以的增区间为，故选：D.二、填空题4．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）函数在区间A上是减函数，那么区间A是.【答案】，(答案不唯一）【分析】化简函数为，作出其图象，数形结合，即可得答案.【详解】由题意得，作出其图像如图：由图像可知函数在区间，上是减函数，故区间A是，，或其子集故答案为：，5．（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数的单调递减区间为.【答案】【分析】作出的图像，根据图像即可求出结果.【详解】由，得到或，函数的图像如图所示，由图知，函数的单调递减区间为，故答案为：.

【题型三复合函数的单调性】求复合函数单调区间的一般步骤(1)求函数的定义域(定义域先行)．(2)求简单函数的单调区间．(3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．【典例1】（单选题）（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性可求得函数的单调递减区间.【详解】由，，解得或，所以函数的定义域为，令，则函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上为增函数，由复合函数单调性可得的单调递减区间为.故选：C.一、单选题1．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）函数的单调增区间为（

）A． B．C．和 D．【答案】C【分析】令，根据二次函数的性质求出的单调区间，再由复合函数的单调性即可得函数的单调增区间.【详解】设，则有且，，则，所以函数的定义域为：且，由二次函数的性质可知的单调递增区间为：；单调递减区间为：和；又因为在区间和上单调递减，由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：和.故选：C.2．（2023高三上·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数与对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，建立不等式组，可得答案.【详解】令，易知该函数在上单调递减，在上单调递增，根据函数在其内单调递增，结合复合函数的单调性，可得，化简可得，解得．故选：D．3．（23-24高三上·广东湛江·开学考试）已知函数，则的增区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复合函数的单调性求函数的增区间.【详解】函数定义域为，令，又在上单调递增，的增区间为，所以的增区间为.故选：A.4．（23-24高三下·甘肃·开学考试）函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据余弦函数的单调性及复合函数的性质，列式解得答案.【详解】，由题意单调递减，且，则，解得，，所以的单调递减区间是.故选：D.5．（23-24高三上·辽宁锦州·阶段练习）下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（）A． B．C． D．y＝|x－|【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数、复合函数、分段函数的单调性逐一判断.【详解】对于A，，因为，所以指数函数在单调递减，故A选项错误；对于B，，因为，所以对数函数在单调递减，故B选项错误；对于C，，因为二次函数在上单调递增，所以函数在单调递增，故C选项正确；对于D，由，可得函数在内上单调递减，在内单调递增，故D选项错误.故选：C.6．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数在上单调递减，则t的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据复合函数的单调性可得的单调性，从而可求得t的取值范围.【详解】因为函数在上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数在上单调递减，则，解得.故选：A7．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据复合函数的单调性可得在区间上单调递减，且在区间上恒为正数，由此列不等式组求解即可.【详解】由题意得函数在上单调递减，且在上恒成立，所以，解得，故a的取值范围是.故选；B.【题型四函数单调性的应用（求参数、解不等式、比较大小）】1．比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．2．求解含“f”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数的范围(或值)的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系．【典例1】（单选题）（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得，所以的取值范围为.故选：C【典例2】（单选题）（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.【详解】由，故在上单调递增，由，有，即.故选：A.【典例3】（单选题）（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解.【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增，所以，即.故选：B.一、单选题1．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得，再由，进而求得的取值范围.【详解】由函数的对称轴是，因为函数在区间上是增函数，所以，解得，又因为，因此，所以的取值范围是.故选：A．2．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数，在区间上单调递减，则正实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】利用复合函数的单调性，结合指数函数和一次函数的单调性即可得解.【分析】根据题意，函数，令，由正实数知，函数单调递减，因为在区间上单调递减，则单调递增且，所以，解得：，故的取值范围是故选：C.3．（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先分析的单调性，再列不等式即可求解.【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增．又函数在区间上不单调，所以，故选：B．4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可.【详解】，易知在单调递减，在单调递减，且在处连续，故在R上单调递减，由，则，解得,故不等式的解集为.故选：A5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据奇偶性定义判断出为偶函数，再根据上的单调性得到参数的取值范围.【详解】由题意可知的定义域为，且，所以为偶函数．当时，函数，单调递减．若成立，则，解得或．又，所以正实数的取值范围是．故选：A．6．（23-24高三上·北京顺义·期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的单调性判断即可.【详解】由得，，结合在上单调递减，则必有，显然B正确，A错误，而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误.故选：B7．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）已知为上的减函数，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用对数函数的单调性得到与0.5的大小，再利用为上的减函数判断.【详解】因为，所以，又因为为上的减函数，所以，故选：B8．（2024·北京西城·一模）设，其中，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.【详解】由，故，故，由对勾函数性质可得，，且，综上所述，有.故选：C.二、填空题9．（2024高三·全国·专题练习）已知f（x）在定义域R上是增函数．若f（a2－2）＞f（a），则实数a的取值范围是【答案】（－∞，－1）∪（2，＋∞）【解析】略10．（22-23高三上·江西·期中）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】根据分式函数的单调性求解即可.【详解】，故若函数在上单调递减，则，即.故答案为：11．（23-24高三上·上海静安·期末）不等式的解集为.【答案】【分析】构造函数，利用函数的单调性及的函数值即可解决问题.【详解】令，易知在区间上单调递增，又，所以的解集为，故答案为：.12．（2023·陕西渭南·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为．【答案】/【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】因为，所以，所以函数在区间上单调递增，即在上恒成立，显然，所以问题转化为在上恒成立，设，所以，所以在上单调递增，所以，故，所以的最小值为：.故答案为：.【题型五求函数的最值（值域）】求函数最值的五种常用方法【典例1】（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数过点．(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；(2)求函数在上的最大值和最小值．【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析(2)最大值为，最小值为【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性；（2）根据单调性即可得出函数在上的最大值和最小值.【详解】（1）单调递增，由题意证明如下，由函数过点，有，解得，所以的解析式为：．设，且，有．由，得．则，即．∴在区间上单调递增．（2）由在上是增函数，所以在区间上的最小值为，最大值为．一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）如果奇函数在上是增函数且最小值5，那么在区间上是（

）．A．增函数且最小值为 B．减函数且最小值为C．增函数且最大值为 D．减函数且最大值为【答案】C【分析】根据奇函数的性质即可得对称区间上的单调性与最值.【详解】因为是奇函数，所以在区间上的单调性与在上的单调性相同，也是增函数，在上的最小值5，即，所以在区间上的最大值为.故选：.2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）若“，”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】只需的最小值小于即可.【详解】，，只需的最小值小于即可，由于的最小值为，故.故选：D3．（2024·全国·模拟预测）已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在区间恒成立，只需要即可，再根据指数函数的单调性求出最大值即可得解.【详解】由解析式易知：单调递增，当时，恒成立，则，