2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第05练 一元二次不等式及其应用（精练：基础+重难点）（含解析）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第05练一元二次不等式及其应用（精练）1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系.3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．【A级

基础巩固练】一、单选题1．（2024·北京朝阳·二模）已知集合则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得，结合交集的定义与运算即可求解.【详解】由题意知，，又，所以.故选：B2．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别求出集合，再根据交集的定义求解即可.【详解】由题意，，或所以.故选：A．3．（2024·山西·二模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出两个集合，再根据交集的定义即可得解.【详解】或，，所以.故选：D.4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解对数不等式求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根据并集的定义计算可得．【详解】由得，解得，所以．由解得，即，所以.故选：B．5．（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，再由交集的定义求解.【详解】不等式解得，不等式，即，解得，可得.故选：D.6．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】计算出集合、后，结合交集与补集的定义即可得.【详解】由，得，则，则或，由，得，则，所以.故选：C．7．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）设一元二次不等式的解集为，则的值为（

）A． B． C．12 D．7【答案】C【分析】由一元二次不等式解集求参数，即可得结果.【详解】由题设是的两个根，且，所以，故.故选：C8．（23-24高三上·山东滨州·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得.【详解】不等式对任意恒成立，则，成立，而，当且仅当，即时取等号，因此，所以实数的取值范围是.故选：B9．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，不等式恒成立时，，所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.故选：D.10．（2024·重庆·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据不等式的解法，求得或，分类讨论求得集合，结合，利用集合的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得或，所以或，又由不等式，当时，不等式解集为空集，不满足，不符合题意，舍去；当时，解得，即，此时不满足，不符合题意，舍去；当时，解得，即，要使得，则满足，综上可得，实数的取值范围为.故选：A.二、多选题11．（23-24高三上·甘肃·阶段练习）下列不等式的解集为的是（

）A． B．C． D．（其中是自然对数的底数）【答案】ABD【分析】利用一元二次不等式的解法判断ABC；利用指数函数的值域判断D.【详解】对于A，恒成立，不等式的解集为，A是；对于B，恒成立，不等式的解集为，B是；对于C，，则或，不等式的解集不是，C不是；对于D，函数的值域为，即，，D是.故选：ABD12．（23-24高三上·黑龙江·期中）关于的不等式对任意恒成立的充分不必要条件有（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】先求二次不等式恒成立的充要条件，得解集，则充分不必要条件是集合的非空真子集，验证选项即可.【详解】当不等式对任意恒成立时，有，解得，记.当的取值范围是集合的非空真子集时，即为不等式对任意恒成立的充分不必要条件，AB选项中的范围满足题意.故选：AB三、填空题13．（23-24高三下·上海·开学考试）不等式的解集是．【答案】或【分析】由已知结合分式不等式的求法即可求解．【详解】由,可得，即，解得或．故答案为：或．14．（23-24高三下·安徽·开学考试）已知集合，则．【答案】【分析】列举法表示M，由交集的定义求.【详解】因为，又，所以．故答案为：15．（23-24高三上·重庆长寿·期末）关于的不等式的解集为，则..【答案】【分析】由题意可得为方程的根，再由根与系数的关系求解即可.【详解】由的不等式的解集为，可得为方程的根，所以，解得：，所以.故答案为：.16．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可.【详解】当时，不等式为，显然不符合题意；当时，因为关于的不等式的解集为，所以有，所以实数的取值范围是，故答案为：17．（23-24高三下·北京·开学考试）关于的不等式的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个的取值范围.【答案】【分析】把不等式化为,讨论和时,求出不等式的解集,即可得出满足题意的取值范围.【详解】关于的不等式可化为,当时,解不等式得,当时,解不等式得,因为不等式的解集中至多包含1个整数,所以或,当时，不等式的解集为，也满足题意；所以的取值范围是.故答案为:.四、解答题18．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知(1)若，求；(2)若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意结合一元二次不等式求集合，再求；（2）由题意可知：集合B是集合A的真子集，分、和三种情况，根据包含关系运算求解.【详解】（1）由题意可得：，当时，，所以.（2）由题意可知：集合B是集合A的真子集，因为不等式等价于，则有：当时，，满足题意；当时，，则；当时，；综上所述：实数m的取值范围.19．（23-24高一上·重庆·期中）已知关于的方程有实根，集合.(1)求的取值集合；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）分，两种情况讨论，结合判别式求解；（2）若，则，分，两种情况讨论，列出不等式求解即可.【详解】（1）方程有实根，若，该方程无解；若，则，解得或，综上，.（2）若，则，当时，，符合题意；当时，，∵，∴或，∴，综上，.20．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，不等式的解集是．(1)求的解析式；(2)不等式组的正整数解仅有2个，求实数取值范围；【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意可得，是关于的一元二次方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）依题意可得，分别解出各不等式，再由正整数解的个数确定该正整数解为､，从而得到，解得即可.【详解】（1）因为，不等式的解集是，所以，是关于的一元二次方程的两个实数根，可得，解得，所以；（2）不等式，即，由，解得或，由，即，解得，因为不等式组的正整数解仅有个，可得该正整数解为､，所以，解得，则实数取值范围是；【B级

能力提升练】一、单选题1．（23-24高三下·江西赣州·期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.【详解】因为可得，由可得：或，解得：或因为或，所以.故选：C.2．（2024·天津河西·一模）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】由得，解得，由得，所以，解得，所以“”是“”成立的必要不充分条件.故选：B3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由不等式的解法和集合的运算，求得或，结合，列出不等式组，即可求解.【详解】由集合，且，所以或，因为，可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：D．4．（2024·广东·一模）已知且，则“的解集为”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.【详解】由题意，二次不等式的解集为，则等价于，即，即，当时，不能推出，所以“的解集为”是“”的充分不必要条件，故选：A5．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）已知命题，，若命题是假命题，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用含有一个量词命题的否定转化为不等式对恒成立，根据判别式可求得.【详解】根据题意可知，命题的否定为“，”为真命题；即不等式对恒成立，所以，解得；可得的取值范围为.故选：C6．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二次函数的图象及根的分布计算即可.【详解】易知恒成立，即有两个不等实数根，又，即二次函数有两个异号零点，所以要满足不等式在区间上有解，所以只需，解得，所以实数m的取值范围是．故选A．7．（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】说明时，不合题意，从而将化为，令，结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.【详解】当时，即为，不符合题意；故，即为，令，由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，故时，，即，解得，故，故选：D二、多选题8．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．不等式的解集是B．不等式的解集是C．若不等式恒成立，则a的取值范围是D．若关于x的不等式的解集是，则的值为【答案】CD【分析】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断.【详解】对于A，或，故A错误；对于B，，故B错误；若不等式恒成立，当时，是不可能成立的，所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确；对于D，由题意得是一元二次方程的两根，从而，解得，而当时，一元二次不等式满足题意，所以的值为，故D正确.故选：CD.9．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知关于的不等式的解集为或，则以下选项正确的有（）A．B．不等式的解集为C．D．不等式的解集为或【答案】ABD【分析】求得a的取值范围判断选项A；求得不等式的解集判断选项B；求得的取值范围判断选项C；求得不等式的解集判断选项D.【详解】关于的不等式的解集为或，则和是方程的二根，且则，解之得，由，可得选项A判断正确；选项B：不等式可化为，解之得，则不等式解集为.判断正确；选项C：.判断错误；选项D：不等式可化为，即，解之得或.则不等式的解集为或.判断正确.故选：ABD10．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（

）A．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为RC．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0D．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集【答案】AD三、填空题11．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】.【分析】根据题意分离参数，进而构造函数求定区间的最值即可.【详解】当时，不等式恒成立，所以当时，恒成立，则，令，则在单调递增，所以，所以.故答案为：.12．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设集合，，则，则实数a的取值范围为.【答案】【分析】由题意可以先将所给集合化简，若满足，则，故只需根据包含关系列出不等式组求出参数范围即可.【详解】由题意，或，若满足，则，又因为，所以，解得.故答案为：.13．（2022高三上·河南·专题练习）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是．【答案】【分析】先对求解得，对化简得，再结合是的必要不充分条件，对进行分类讨论，即可求解.【详解】由，解得，所以，对于，即，若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以；若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以；若，则为，符合题意，所以实数的取值范围是.故答案为：.14．（23-24高一上·湖北荆州·期末）若命题为真命题，则m的取值范围为.【答案】【分析】利用二次函数性质求解可得.【详解】由题意，不等式有解，即不等式有解，设，则函数图象开口向上，要使不等式有解，则函数图象与轴有交点，则，化简得，解得或．故答案为：四、解答题15．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）设.(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)已知解关于的不等式【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，转化为对一切实数恒成立，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；（2）根据题意，求得的两个根为，分类讨论，即可求解.【详解】（1）解：由对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立，当时，，不满足题意；当时，则满足，解得，综上所述，实数的取值范围为.（2）解：由不等式，即，方程的两个根为，①当时，不等式的解集为②当时，不等式的解集为③当时，不等式的解集为.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，解集为.16．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若在上的最小值为0，求a的值．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）由题意可得，分类讨论a的取值范围即可得出对应的解集；（2）易知对称轴为，根据二次函数的性质，分类讨论，求出当、、时的表达式，列方程，解之即可求解.【详解】（1），当时，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为．（2）因为的对称轴为，当即时，在上单调递增，此时，解得或，又因为，所以不存在这样的a；当即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，解得，此时满足，所以成立；当即时，在上单调递减，此时，解得或，又因为，所以不存在这样的a；综上：在上的最小值为0时，．17．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）（1）解关于x不等式；（2）若对于，不等式恒成立，求x的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）【分析】（1）分类讨论的取值情况，结合二次不等式的解法即可得解；（2）将问题转化为对于恒成立，利用主元法即可得解.【详解】（1）因为，所以，即，①当时，不等式化为，解得；②当时，方程的两根分别为，当时，不等式化为，则其解集为，当时，不等式化为，当，即时，不等式的解集为，当，即时，不等式的解集为，当，即时，不等式的解集为，综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；（2）因为对于，恒成立，所以对于恒成立，则，解得，故的取值范围为.18．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数．(1)若对，都有成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）化简不等式，根据的符号进行分类讨论，由此求得的取值范围.（2）化简不等式，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.【详解】（1）对，都有成立，即成立，①，无解；②，解得：或．综上，．（2），即，①当时，，∴；②当时，，∴；③当时，，∴；④当或时，，∴或．综上，当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当或时，原不等式解集为．【C级

拓广探索练】一、单选题1．（贵州省铜仁市2023-2024学年高一上学期1月期末质量监测数学试题）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.【详解】当时，不等式恒成立，当时，满足不等式恒成立；当时，令，则在上恒成立，函数的图像抛物线对称轴为，时，在上单调递减，在上单调递增，则有，解得；时，在上单调递增，在上单调递减，则有，解得.综上可知，的取值范围是.故选：D.【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.二、多选题2．（山东省菏泽第一中学南京路校区2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题）下列命题正确的是（

）A．若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是B．若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是C．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或D．若，则的最小值为【答案】ACD【分析】对于A，原问题等价于，解一元二次不等式即可验证；对于B，原问题等价于在上恒成立，由此即可验证；对于C，首先得，然后解分式不等式即可验证；对于D，首先由基本不等式得，然后由即可验证，注意取等条件是否成立.【详解】对于A，二次函数，开口向上，若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则，解得，故A正确；对于B，若关于x的不等式在上恒成立，则只需，即在上恒成立即可，则实数k的取值范围是，故B错误；对于C，若关于x的不等式的解集是，则，所以关于x的不等式或，故C正确；‘对于D，若，则，解得，等号成立当且仅当，所以，等号成立当且仅当，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：A选项的关键是得，B选项的关键是得在上恒成立，C选项的关键是得，D选项的关键是利用基本不等式得，然后适当变形即可求解.三、填空题3．（第