2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第02练 常用逻辑用语（精练：基础+重难点）（含解析）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第02练常用逻辑用语（精练）1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，理解数学定义与充要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的意义，能正确对两种命题进行否定.一、单选题1．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【详解】解法一：因为，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要条件.解法二：充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.解法三：充分性：因为，且，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C2．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B3．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；由，则，即，显然成立，必要性成立；所以是的必要不充分条件.故选：B4．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C5．（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】用充分条件、必要条件的定义判断.【详解】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件，由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件，综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件，故选：A.6．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.7．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.【A级

基础巩固练】一、单选题1．（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“，，”的否定形式是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定。【详解】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：命题“，，”的否定形式是“，，”.故选：C2．（2024·山东·二模）已知命题：若是自然数，则是整数，则是（

）．A．若不是自然数，则不是整数 B．若是自然数，则不是整数C．若是整数，则是自然数 D．若不是整数，则不是自然数【答案】B【分析】命题的否定，不否定条件，只否定结论.【详解】是“若是自然数，则不是整数”.故选：B3．（2024·山东·二模）已知，若集合，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由，可得或，再由充分不必要条件的定义即可得答案.【详解】因为，则或，所以，由推不出.故选:A．4．（2024·全国·模拟预测）已知命题：“”，命题：“”，则命题是命题的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据万能公式得到方程，求出，从而得到命题是命题的充分不必要条件.【详解】，解得，故，所以命题是命题的充分不必要条件.故选：B5．（2024·河南信阳·模拟预测）已知复数为虚数单位)，则“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的（

）条件A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据复数的除法运算化简，根据复数的几何意义，即可判断和选择.【详解】，则在复平面内对应的点为；点位于第四象限的充要条件是，即；故“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件.故选：A6．（23-24高三上·湖南·阶段练习）若，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】借助充分条件与必要条件的定义，结合基本不等式或举反例的方式计算即可得.【详解】由已知，当时，，，当且仅当时，等号成立，故“”是“”的充分条件；当时，，此时，故“”不是“”的必要条件；即“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7．（2024·河南·模拟预测）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】构造函数，根据函数单调性得到，故.【详解】构造函数，则在上单调递增，所以．故选：C．8．（2024·河北廊坊·模拟预测）已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】利用充分必要条件的判定及等比数列通项公式验证即可.【详解】设等比数列的公比为，若，则，因为不等于0，所以，若时，无法得出，所以“”不是“”的充分条件；若“”，则，所以“”是“”的必要条件.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B9．（2024·全国·模拟预测）设是两条相交直线，是两个互相平行的平面，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用线面平行判定、面面的性质，结合充分条件与必要条件的定义判断得解.【详解】若是两条相交直线，，且，由，则存在过直线的平面与相交，令交线为，于是，显然与也相交，令交线为，则，因此，由是两条相交直线，，知，否则与有公共点，所以，即充分性成立；若是两条相交直线，，且，则或者，即必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A10．（2024·四川·模拟预测）“”的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据对数函数的单调性，求得不等式对应的解集，再根据选项进行选择.【详解】等价于，即，因为可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，其它选项均不满足；所以“”的一个必要不充分条件是．故选：B．11．（2024·内蒙古包头·二模）设m，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】通过举反例说明“”不是“”的充分条件，再由对数的运算性质由推得，即得结论.【详解】由不能推出，如满足，但无意义，故“”不是“”的充分条件；再由可得，即得，故“”是“”的必要条件.即“”是“”的必要不充分条件.故选：B.12．（2024·陕西·模拟预测）已知：向量与的夹角为锐角．若是假命题，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用向量夹角为锐角得到关于的不等式组，进而求得的取值范围，再结合为假命题取的取值范围的补集即可得解.【详解】当向量向量与的夹角为锐角时，有且与方向不相同，即，解得且，因为是假命题，所以实数的取值范围是.故选：C.13．（2024高三·全国·专题练习）已知命题p：∃x∈[1，9]，x2－ax＋36≤0.若p是真命题，则实数a的取值范围是（

）A．[37，＋∞)B．[13，＋∞)C．[12，＋∞)D．(－∞，13]【答案】C【详解】∵p：∃x∈[1，9]，使得x2－ax＋36≤0为真命题，即∃x∈[1，9]，使得x2－ax＋36≤0成立，即a≥x＋能成立．设f(x)＝x＋，则f(x)＝x＋≥2＝12，当且仅当x＝，即x＝6时，取等号，即f(x)min＝12，∴a≥12，故实数a的取值范围是[12，＋∞).故选C.14．（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）设椭圆的离心率为，则“”，是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论判断充分性，由离心率定义判断必要性，即可得答案.【详解】因为椭圆的离心率为，当时，，则；当时，，则；所以推不出，即充分性不成立；当时，则，即必要性不成立；综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.15．（2023·湖南邵阳·二模）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】若“”是“”的充分不必要条件，则，列出不等式组求解即可.【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则，所以，解得，即的取值范围是.故选：B.16．（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的的值即可．【详解】由题，，，当时，有，符合题意；当时，有，此时，所以或，所以.综上，实数的所有可能的取值组成的集合为.故选：A.17．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先解不等式，然后由题意可得是的真子集，从而列不等式可求得结果.【详解】由，解得，因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，所以，经验证，端点值满足条件，故.故选：B18．（23-24高一上·辽宁大连·期中）“若，恒成立”是真命题，则实数可能取值是（）A． B． C．4 D．5【答案】A【分析】由题得到恒成立，求出即可得到答案.【详解】，，即恒成立，，当且仅当，即时等号成立，故.对比选项知A满足.故选：A19．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，转化为对任意的，不等式恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由命题“”为假命题，可得命题“”为真命题，即对任意的，不等式恒成立，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A.20．（2024·陕西安康·模拟预测）记为数列的前项和，已知是公比为3的等比数列，：当时，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】当成立时，借助等比数列性质计算可得，当成立时，可举出反例，故是的充分不必要条件.【详解】若是公比为3的等比数列，则有，即当时，成立，故是的充分条件；若当时，，取符合要求，故不是的必要条件；即是的充分不必要条件.故选：A.21．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）已知，，则是方程的解的充要条件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用二次函数的图象和性质，理解全称量词命题和存在量词命题的真假以及充要条件的意义即可.【详解】因为，所以函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为：，函数的最小值为.若“是方程的解”，则，那么就是函数的最小值，所以“，”，即“是方程的解”是“，”的充分条件；若“，”，则为函数的最小值，所以，即，所以“是方程的解”，故“是方程的解”是“，”的必要条件.综上可知：“是方程的解”的充要条件是“，”.故选：C二、填空题22．（22-23高二下·四川绵阳·期中）写出“实数x、y满足条件”的一个充分不必要条件：（答案不唯一）【答案】，（此题答案不唯一）【分析】根据充分不必要条件的定义填空即可【详解】根据充分不必要条件的定义，只需找出一组满足不等式的值即可，不妨令，，而不能推出该组值，故符合要求.（答案不唯一）故答案为：，.23．（23-24高三上·上海松江·期中）已知，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据不等式所表示的集合的关系列出不等式，解出即可.【详解】，解得，设，，若是的充分不必要条件，则，则有，且等号不会同时取到，解得，则实数的取值范围是.故答案为：.24．（22-23高一下·上海徐汇·期中）设，是非零向量，则是成立的条件.（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”填空）【答案】充分不必要【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断【详解】因为，所以共线且方向相同，因为表示方向上的单位向量，所以，而当时，可得共线且方向相同，但不一定是，所以是成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要.25．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）设命题，，若是假命题，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据命题的否定与原命题的关系得出命题是真命题，即可根据命题得出，，再根据基本不等式或对勾函数的性质得出在上的最小值，即可得出答案.【详解】是假命题，是真命题，，，，，当时，，当且仅当时，即时，等号成立，，可取到，，，故答案为：.26．（23-24高三上·湖南永州·阶段练习）已知：，，若真假，则实数的取值范围为．【答案】【分析】根据式恒成立，和方程无实数解可得.【详解】等价于，因为命题p为真，所以不等式恒成立，易知，时不满足题意，所以，解得；因为为假，所以方程无实数解，所以，解得.综上，实数的取值范围为.故答案为：【B级

能力提升练】一、单选题1．（2024·河北邯郸·二模）已知是两个平面，是两条直线，且，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面垂直的性质可得结果.【详解】用平面代表平面，平面代表平面，当如图所示时显然m与平面不垂直，反之，当时，又，根据线面垂直的性质有，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：A.2．（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分离参数，求函数的最小值即可求解.【详解】因为命题“”为真命题，所以．令与在上均为增函数，故为增函数，当时，有最小值，即，故选：A．3．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数，设甲：；乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】利用特殊值的函数值判断充分性不成立，利用导数研究的单调性和值域，结合三角函数的有界性，从而判断必要性.【详解】，，满足，但，故甲不是乙的充分条件；令，则，故在单调递增，即，也即在恒成立，则在恒成立；故当时，，，甲是乙的必要条件.综上所述，甲是乙的必要条件，但不是充分条件.故选：B.4．（2024·北京丰台·二模）已知等差数列的公差为，首项，那么“”是“集合恰有两个元素”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】依据题意证明充分性成立，举反例否定必要性即可.【详解】对于充分性，已知等差数列的公差为，首项，当“”时，集合恰有两个元素，故充分性成立，对于必要性，当时，“集合也恰有两个元素”，故必要性不成立，故“”是“集合恰有两个元素”的充分而不必要条件.故选：A5．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数和余弦函数的性质即可判断AC；举出反例即可判断B；由作差法即可判断D.【详解】对于AC，当时，，所以，故A正确，C错误；对于B，当时，，故B错误；对于D，，因为，所以，故D错误.故选：A.6．（2024·青海·模拟预测）记数列的前n项积为，设甲：为等比数列，乙：为等比数列，则（

）A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用等比数列通项公式、等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.【详解】若为等比数列，设其公比为，则，，于是，，当时，不是常数，此时数列不是等比数列，则甲不是乙的充分条件；若为等比数列，令首项为，公比为，则，，于是当时，，而，当时，不是等比数列，即甲不是乙的必要条件，所以甲是乙的既不充分也不必要条件.故选：D7．（2024·北京丰台·一模）已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先求出、的解析式，再根据正弦函数的性质求出使是偶函数且是奇函数时的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为，则，，若是奇函数，则，解得，若是偶函数，则，解得，所以若是偶函数且是奇函数，则，所以由推得出是偶函数，且是奇函数，故充分性成立；由是偶函数，且是奇函数推不出，故必要性不成立，所以“”是“是偶函数，且是奇函数”的充分不必要条件.故选：A8．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可.【详解】命题“，”是假命题，则“，”是真命题，所以有解，所以，又，因为，所以，即.故选：B.9．（2024·全国·模拟预测）在中，命题，命题，则P是Q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据三角恒等变换解命题P可得A，B，C必有一个为直角；根据平面向量的线性运算与垂直关系的向量表示解命题Q可得A为直角，结合充分、必要条件的定义即可求解.【详解】命题P：由，及，得，∴，得，则，，必有一个为0，∴A，B，C必有一个为直角．命题Q：由得，即，得，即，∴A为直角，故P是Q的必要不充分条件.故选：B．二、填空题10．（2024·上海普陀·二模）设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是.【答案】（或,答案不唯一）【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．【详解】，，成等差数列，则，即，解得或，故“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是（或．故答案为：（或,答案不唯一）11．（2024高三·全国·专题练习）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能取值是.（写出一个符合要求的答案即可）【答案】（答案不唯一）【分析】解不等式，可得出满足条件的一个的值.【详解】由可得，则，所以，解得.因为“”是“”的一个充分条件，所以的一个可能取值为（答案不唯一，均满足题意）．故答案为：（答案不唯一，均满足题意）.12．（23-24高三上·河南·阶段练习）若命题“，”为假命题，则的取值范围为.【答案】【分析】根据已知条件知命题“，”为真命题，再分类讨论，即可求解.【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.当时，可得.若，则有，符合题意；若，则有，解得，不符合题意；当时，则，解得.综上，的取值范围是.故答案为：.【C级

拓广探索练】一、单选题1．（2024·吉林·模拟预测）已知函数，则“有两个极值”的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据有两个正的穿越零点，求得有两个极值点的充要条件，再求其充分不必要条件即可.【详解】由题可得，若满足题意，则有两个正的穿越零点，令，则，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；又，，当趋近于正无穷时，趋近于，若有两个正的穿越零点，则，解得，即有两个极值的充要条件是：，根据选项，则有两个极值的一个充分不必要条件是.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对，分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性，从而求得有两个极值点的充要条件.2．（2023·全国·模拟预测）已知是等比数列，则甲：数列为递增数列，乙：，恒成立，则甲是乙的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用充分必要条件的定义，分别讨论甲乙的充分性与必要性，结合等比数列的通项公式分类讨论即可得解.【详解】设等比数列的公比为，则．当为递增数列时，，即，恒成立，故充分性成立；当，恒成立时，，即，若，则或，当时，，与假设矛盾，舍去，故，此时，则为递增数列；若，则或，当时，，与假设矛盾，舍去，故，此时，则为递增数列．综上所述，当，时，为递增数列，故必要性成立；