2025年高考数学一轮复习 讲练测第03讲 导数与函数的极值、最值（七大题型）（练习）（含解析）

第03讲导数与函数的极值、最值目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：求函数的极值与极值点 2题型二：根据极值、极值点求参数 3题型三：求函数的最值（不含参） 6题型四：求函数的最值（含参） 7题型五：根据最值求参数 11题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用 13题型七：不等式恒成立与存在性问题 1602重难创新练 1803真题实战练 33题型一：求函数的极值与极值点1．已知函数，当时，求的极值.【解析】易知的定义域为，由可得，当时，，令可得；因此当时，，此时在上单调递减，当时，，此时在上单调递增，因此在处取得极小值；所以的极小值为，无极大值.2．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数．(1)当时，求在点处的切线方程；(2)讨论的单调性，并求出的极小值．【解析】（1）当时，，则，所以，又知，所以在点处的切线方程为．（2）因为，令，则或，所以当时，，当或时，．综上，在上单调递减，在和上单调递增；所以．3．已知，函数．证明存在唯一的极值点.【解析】令，则，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，，，当时，，画出大致图像如下：所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，，则，单调递增，当时，，则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点；题型二：根据极值、极值点求参数4．已知函数在时有极值0，则．【答案】11【解析】由函数，得，由题意得，解得或，当时，，仅当时等号成立，此时在R上单调递增，无极值，不符合题意；当时，，令，则或，令，则，即在上均单调递增，在上单调递减，故在处取得极小值，且，则，即符合题意，故，故答案为：115．（2024·陕西铜川·三模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为.【答案】【解析】的定义域为，，令，得.令，则.令，则，即，即.当时，单调递增；当时，单调递减.，又当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0，作出的草图如图，由图可知，当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点.6．（2024·四川成都·模拟预测）若函数在上有2个极值点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由函数，可得，因为函数在上有2个极值点，即在上有两解，即在上有两解，令且，可得，当时，可得，单调递增，不符合题意，（舍去）；当时，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当时，取得极小值，极小值为，要使得在上有两解，则满足，当时，解得；当，即，设，其中，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又因为，所以，所以不等式，可得，由可得，解得，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：.7．已知函数，其中且．若存在两个极值点，，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】对函数求导得：，因为存在两个极值点，所以有两个不同的变号零点．令，有，令，，所以与有两个交点；当时，，，设过原点的直线与的切点坐标为，切线斜率为，所以切线方程为：，将原点坐标带入切线方程得．此时切线的斜率为：，现在需要有两个交点，即，因为，有，所以，所以；同理知当时，，，即，所以．综上知：的取值范围为．故答案为：题型三：求函数的最值（不含参）8．函数在区间上的最大值是．【答案】【解析】，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故.故答案为：.9．（2024·安徽·二模）已知函数，当时的最大值与最小值的和为．【答案】【解析】，当时，，递增；当时，，递减；，，，故最大值与最小值的和为：．故答案为：10．函数在区间上的最大值是；最小值是．【答案】5【解析】由，求导得，而，则当时，，当时，，因此函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，函数在处取到极小值，当时，，当时，，则函数在处取到极大值5所以函数在区间上的最大值是5，最小值是.故答案为：5；题型四：求函数的最值（含参）11．已知函数．(1)求函数的最小值；(2)求函数在上的最小值.【解析】（1）因为，所以，由，得，所以；由，得，所以，所以函数在上单调递减，在单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，所以的最小值为，无最大值．（2）由（1）知，函数在上单调递减，在单调递增，当，即时，在单调递减，；当时，即在单调递减，单调递增，．当时，在单调递增，；综上所述.12．已知函数.(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；(2)当时，若函数在上的最小值为0，求实数的值.【解析】（1）当时，，定义域为，，又，所以切线方程为（或写成.（2），定义域为，，令得；①当，即时，在上单调递增，这时，不合题意，舍去；②当，即时，当单调递减单调递增，这时，解得；③当，即时，在上单调递减，这时，解得（舍去），综上：.13．已知函数，其中，求函数在区间上的最小值．【解析】函数的定义域为，，，令，得或（舍），当，即时，当时，，则在上单调递增，所以函数在区间上的最小值为，当，即时，当时，，则在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以函数在区间上的最小值为，当，即时，当时，，则在上单调递减，所以函数在区间上的最小值为，综上.14．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若的最小值不大于0，求的取值范围.【解析】（1）由函数，则其定义域为，求导可得，令，解得，当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增.当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减.综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可知，当时，无最小值；则当时，在单调递减，在单调递增，则，由题意可得：，由，则，解得.15．（2024·山西吕梁·二模）已知函数.(1)当时，求的单调区间和极值；(2)求在区间上的最大值.【解析】（1）当时，，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是，函数的极大值为，没有极小值.（2）由题意得.若，当时，，在区间上单调递增，此时的最大值为；若，当时，，单调递增，当时，，单调递减，此时的最大值为；若，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，此时的最大值为；若，则，当时，，在区间上单调递增，此时的最大值为.综上可得，.题型五：根据最值求参数16．若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是.【答案】【解析】由得，所以当或时，，当时，，于是得在和上都单调递增，在上单调递减，当时，取得极小值，因在区间上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得，于是得，且，即，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：17．（2024·上海静安·二模）已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为．【答案】3【解析】当时，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故时，取得最小值，解得，．故答案为：3．18．（2024·高三·吉林长春·开学考试）函数在内有最小值，则实数的取值范围为.【答案】【解析】由题意可得，函数的定义域为，易知，若函数在内有最小值，则函数在内必有极值点，又，不妨设为方程的两个不相等实数根，则有，不妨令，因此即可；令，根据零点存在定理可得，解得；经检验在内有最小值，所以实数的取值范围为.故答案为：题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用19．（2024·高三·浙江杭州·期中）设，已知函数，.（Ⅰ）设，求在上的最大值.（Ⅱ）设，若的极大值恒小于0，求证：.【解析】（Ⅰ）由题知，当时，；当时，从而的单调递增区间是，递减区间是从而，,于是；当时，，所以;当时，，所以；综上所得（Ⅱ）依题知，则，因为存在极大值，则关于x的方程，有两个不等的正根，不妨，则，得，且,设列表如下：+0—0++0—0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增从而极大值，又，从而，对恒成立,设，，则因为，所以所以在上递增，从而所以，,设，则，又.若，；若，；从而，即.20．已知函数．(1)当在处取得极小值－1时，求的解析式；(2)当时，求在区间上的最值；(3)当且时，若，，求a的取值范围．【解析】（1）因为，所以，又在处取得极小值－1，所以，，即，解得所以．此时，所以在内单调递减，在内单调递增，在处取得极小值－1，满足题意．综上，的解析式为．（2）当时，，．①当时，在内单调递减，在内单调递增，所以的最小值为．又，，所以，故的最大值为；②当时，在内单调递增，在内单调递减，所以的最大值为，此时，故的最小值为．综上，当时，在区间上的最小值为，最大值为；当时，在区间上的最大值为，最小值为．（3）当且时，，．令，解得，所以在内单调递减，在内单调递增．①当时，，在内单调递增，所以；②当时，，在内单调递减，在内单调递增，所以，不满足题意，综上，a的取值范围为．21．已知，.(1)证明：当，有且只有2个零点；(2)讨论是否存在使有极小值？并说明理由.（注：讨论过程要完整，有明确的结论）【解析】（1）因为，所以定义域为，，因为，所以令得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有最大值为，因为，所以，所以，因为当时，单调递减，且，所以在上只有一个零点；因为当时，单调递增，且，所以在上只有一个零点；综上，当，有且只有2个零点.（2）令，则定义域为，，令，则，因为，所以令得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，当，即时，，即恒成立，所以单调递减，此时不满足题意；当，即时，由于当时，，当时，，所以有两个解，即有两个解，且从递增到一个正数，然后再递减到，所以存在极小值，即存在使得有极小值.题型七：不等式恒成立与存在性问题22．已知，，若，，使成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】∵，∴，∴当时，，在区间上单调递减，∴在区间上的最小值为；又∵，∴由二次函数知识，在上的最小值为，若，，使成立，等价于，即，∴实数的取值范围是.故答案为：.23．已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可知：，因为，则，注意到，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，又因为，由二次函数性质可知，可得，即实数的取值范围是.故选：C.24．已知使得不等式成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意可得：使得不等式成立.令则.而，由，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，得，所以，故实数a的取值范围为.故选：B.1．（2024·四川眉山·三模）已知函数，则的极大值点为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，故可得，令，因为，故可得或，则当时，；当时，；所以在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，故的极大值点为.故答案为：.2．（2024·浙江宁波·模拟预测）若为函数的一个极值点，则下列图象一定不可能为函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于，，则为函数的一个极值点等价条件为：，且在的左右两侧取值异号.对于选项A，，，，且在的左右两侧取值可能异号，图象可能为函数的图象.对于选项B，，，，且在的左右两侧取值可能异号，图象可能为函数的图象.对于选项C，，，，在的左右两侧可取异号，故可能符合条件.对于选项D，，，因此，不满足条件.故选：D.3．（2024·浙江台州·二模）已知函数，满足，则（

）A．函数有2个极小值点和1个极大值点B．函数有2个极大值点和1个极小值点C．函数有可能只有一个零点D．有且只有一个实数，使得函数有两个零点【答案】A【解析】设所以设，由.所以，因为二次函数的开口向上，对称轴方程为.所以方程有两个不等实数根，则设.则令可得或.令可得或.所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又当时，，又，所以由，所以所以根据单调性可知，函数有2个极小值点和1个极大值点，所以选项A正确，B不正确.根据函数的单调性，可画出函数的大致草图如下.当时，函数没有零点当时，函数有两个零点当时，函数有四个零点当时，函数有三个零点当时，函数有两个零点由上可知选项C,D都不正确.故选：A4．（2024·全国·二模）已知是函数的极大值点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则，，当时，时，，单调递减，而，时，，，且，，即在上单调递增，时，，，且，，即在上单调递减，是函数的极大值点，满足题意.当时，存在使得，即，，又在上单调递减，时，，，这与是函数的极大值点矛盾，综上所述a的取值范围是.故选：B5．（2024·甘肃兰州·一模）已知定义在上的函数，是的导函数，且满足，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】将题干中的等式变形为，可得出，并构造函数，可得出，进而可得出，利用求得的值，可得出函数的解析式，进而利用导数可求得函数的最小值.由，变形得，即，（为常数），则，，得.，，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，则.故选：D.6．（2024·湖南怀化·二模）若在上恒成立，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【解析】分离参数可得，只需，设，求导函数，分别令或或，求出函数的单调区间，进而求出函数的最小值即可.，设，则，令，则，解得，所以函数在上单调递增；令，则，解得，所以函数在上单调递减；令，则，解得，所以函数在处取得极小值，故，所以，所以实数的取值范围为.故选：A7．（2024·四川成都·二模）已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可知，，由可得出，，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，进而可得出，由此可得出，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值即可得解.，，由于，则，同理可知，，函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增，，则，，则，构造函数，其中，则.当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.所以，.故选：C.8．（2024·辽宁鞍山·三模）已知函数有三个极值点，则的取值范围是A． B．(,) C． D．(，）【答案】C【解析】函数的导数，若函数有三个极值点，等价为有三个不同的实根，即，即，则，则，有两个不等于的根，则，设，则，则由得，由得且，则当时，取得极小值（1），当时，，作出函数，的图象如图，要使有两个不同的根，则满足，即实数的取值范围是，故选．9．（多选题）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（

）A．， B．函数的极大值与极小值之和为6C．函数有三个零点 D．函数在区间上的最小值为1【答案】AB【解析】由题意，点在函数的图象上，故；又.由，即.故A正确；所以，所以.由或.所以在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为；极小值为，所以极大值与极小值之和为：，故B正确；因为函数的极小值，所以三次函数只有一个零点，故C错误；又，，所以函数在上的最小值为，故D错.故选：AB10．（多选题）（2024·辽宁大连·二模）已知函数，则下列命题正确的是（

）A．在上是增函数B．的值域是C．方程有三个实数解D．对于，（）满足，则【答案】ACD【解析】，当时，，在上单调递增；当时，；当时，，则在上单调递增，在上单调递减；综上可得在上是增函数，故A正确；，，故B不正确；方程，可得或，，方程共有三个实数解，故C正确；满足，即，则，化简得，当且仅当时取等号令，则，解得，故，故D正确故选：ACD．11．（多选题）已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（

）A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点C．函数必有2个零点 D．【答案】BD【解析】对函数求导，求出单调区间和极值，可判断选项A，B；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C；利用在上为增函数，比较与的大小关系，判断出选项D．函数，则，当时，，故在上为增函数，A错误；当时，，故在单调递减，故是函数g(x)的极小值点，B正确；若，则有两个零点，若，则有一个零点，若，则没有零点，故C错误；在上为增函数，则，即，化简得，D正确；故选：BD12．已知，对任意的都有，则的取值范围为.【答案】【解析】利用导数研究函数的单调性，进而求得在给定区间上的最大值，根据不等式恒成立的意义即得实数a的取值范围.由得或，在区间[-2,0)上,单调递增；在(0,2)内时单调递减.又，，，∴，又对于任意的x∈[-2,2]恒成立，∴，即a的取值范围是故答案为：.13．（2024·山东青岛·一模）函数在处取得极大值，则实数的取值范围为．【答案】【解析】f（x）的导数为f′（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+2]ex＝（x﹣2）（ax﹣1）ex，若a＝0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．x＝2处f（x）取得极大值，满足题意；若a，则f′（x）（x﹣2）2ex≥0，f（x）递增，无极值；若a，则2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x＝2处取得极小值；不满足题意．当0＜a，则2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，可得f（x）在x＝2处取得极大值，满足题意；若a＜0，则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．x＝2处f（x）取得极大值，满足题意；综上可得，a的范围是：（﹣∞，）．故答案为．14．已知函数.若是在上的极小值点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由题意，令，解得，.若,则在上单调递增；在内单调递减；在上单调递增，∴在上，是极大值点，是极小值点，不合题意；当时，在上，恒成立，单调递增，没有极值点，不合题意；当时，在内单调递减；在上单调递增，∴是在上的极小值点，符合题意，所以m的取值范围是.故答案为：.15．（2024·重庆·一模）已知函数，.(1)当时，讨论的单调性；(2)若存在唯一极值点，求的取值范围.【解析】（1）由题知，，即，令，则，故在和上单增，在上单减，又，，所以，或，从而或，，∴在和上单增，在上单减；（2）由题知，，即，令，则，或，，即在和上单增，在上单减，∵且时，时，∴在上唯一零点，记为，当时，，，单增，当时，，，单减，∴为的极小值点，由题知有唯一极值点，故在上无极值点，在上，由的单调性可知，的极大值为，且时，且时，故当时，，在上单增，在上无极值点；当时在和内各存在一个零点，分别记为，，则或时，，单增，时，，单减，所以为的极大值点，为的极小值点，不合题意，舍去；综上，，即，化简得.∴实数的取值范围是.16．已知函数，（1）求函数的单调增区间；（2）若函数有两个极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1），，注意到，①当时，，在上单调递增；②当时，令，得，，此时，在及上导数值大于零，所以在及上递增；（2）由（1）知，，，，则，由恒成立，即，即，即，记，，则，故在上为增函数，，故.17．（2024·安徽淮北·二模）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，．（2）若存在两个极值点，证明：．【解析】解析：（1）当时，，定义域为，在定义域上恒成立，所以在上单调递减，当时，；当时，．原命题得证．（2），若存在两个极值点，则，解得．由韦达定理可知，原命题即证：．不妨设，原命题即证：，由（*）知，齐次化，即证：，不放令，原命题即证：，记，则，当时，在上单调递减，．原命题得证．18．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线在处的切线方程为，且．（1）求的解析式；（2）求函数的极值；（3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1），∴，，，，，切线方程为,即,∴．（2）由（1）知，函数定义域为，所以，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数在处取得极大值，极大值为，无极小值．（3）令,，，,当时，，所以在上单调递增，所以，即符合题意；当时，设，①当，，，所以在上单调递增，，所以在上单调递增，所以，所以符合题意；②当时，，，所以在上递增，在上递减，，所以当，，所以在上单调递减，，所以，，舍去.综上：.19．已知函数（，）．（1）当，时，求曲线在点处的切线方程．（2）设，是的两个极值点，是的一个零点，且，．证明：存在实数，使得，，，按某种顺序排列后构成等差数列，并求的值．【解析】（1）当，时，，因为，故．又，所以曲线在点处的切线方程为（2）因为，由于，故，所以的两个极值点为，．不妨设，，因为，，且是的零点，故．又，所以，此时，，，成等差数列，所以存在实数，满足题意，且．1．（2024年天津高考数学真题）设函数．(1)求图象上点处的切线方程；(2)若在时恒成立，求的值；(3)若，证明．【解析】（1）由于，故.所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为.（2）设，则，从而当时，当时.所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当.设，则.当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有.一方面，若对任意，都有，则对有，取，得，故.再取，得，所以.另一方面，若，则对任意都有，满足条件.综合以上两个方面，知的值是2.（3）先证明一个结论：对，有.证明：前面已经证明不等式，故，且，所以，即.由，可知当时，当时.所以在上递减，在上递增.不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当时，有，结论成立；情况二：当时，有.对任意的，设，则.由于单调递增，且有，且当，时，由可知.所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时.故在上递减，在上递增.①当时，有；②当时，由于，故我们可以取.从而当时，由，可得.再根据在上递减，即知对都有；综合①②可知对任意，都有，即.根据和的任意性，取，，就得到.所以.情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，.而根据的单调性，知或.故一定有成立.综上，结论成立.2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数(1)若，且，求的最小值；(2)证明：曲线是中心对称图形；(3)若当且仅当，求的取值范围．【解析】（1）时，，其中，则，因为，当且仅当时等号成立，故，而成立，故即，所以的最小值为.，（2）的定义域为，设为图象上任意一点，关于的对称点为，因为在图象上，故，而，，所以也在图象上，由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.（3）因为当且仅当，故为的一个解，所以即，先考虑时，恒成立.此时即为在上恒成立，设，则在上恒成立，设，则，当，，故恒成立，故在上为增函数，故即在上恒成立.当时，，故恒成立，故在上为增函数，故即在上恒成立.当，则当时，故在上为减函数，故，不合题意，舍；综上，在上恒成立时.而当时，而时，由上述过程可得在递增，故的解为，即的解为.综上，.3．（2024年上海夏季高考数学真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．【解析】（1）当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．（2）由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．（3）设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域R上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③④得即，因为则，解得，则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，恒成立，求的取值范围．【解析】（1）当时，，故，因为在上为增函数，故在上为增函数，而，故当时，，当时，，故在处取极小值且极小值为，无极大值.（2），设，则，当时，，故在上为增函数，故，即，所以在上为增函数，故.当时，当时，，故在上为减函数，故在上，即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍.当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍；综上，.5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.当时，由，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D6．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【答案】AC【解析】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.7．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是．【答案】【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为，所以方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，即图象在上方当时，，即图象在下方，图象显然不符合题意，所以．令，则，设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的取值范围为．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导=0的两个根为因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，设函数，则，若，则在上单调递增，此时若，则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．【解析】（1）当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.（2）解法一：因为的定义域为，且，若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，无极值，不合题意；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，由题意可得：，即，构建，则，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为；解法二：因为的定义域为，且，若有极小值，则有零点，令，可得，可知与有交点，则，若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，符合题意，由题意可得：，即，构建，因为则在内单调递增，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为.9．（2021年全国新高考I卷数学试题）函数的最小值为.【答案】1【解析】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.10．（2023年北京高考数学真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．【解析】（1）因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以.（2）由（1）得，则，令，解得，不妨设，，则，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上单调递减，在，上单调递增，即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，，即所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，在上单调递减，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点；当时，在上单调递增，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，，所以，则单调递增，所以在上无极值点；综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.11．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.【解析】（1）当时，，则，据此可得，函数在处的切线方程为，即.（2）令，函数的定义域满足，即函数的定义域为，定义域关于直线对称，由题意可得，由对称性可知，取可得，即，则，解得，经检验满