第六章　第五节　第1课时　余弦定理、正弦定理

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第五节解三角形第1课时余弦定理、正弦定理【课标解读】【课程标准】借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理.【核心素养】数学建模、数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法本节内容是新高考卷的必考内容,考查正、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用,同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查.预测预计高考仍以利用正弦定理、余弦定理解三角形为主,与三角函数的图象及性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.正弦定理条件在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径内容asinA=bsinB变形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=微点拨已知两边及一边的对角,利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论,可能有一解、两解或无解.2.余弦定理条件在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c内容a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC变形cosA=b2cosB=c2cosC=a3.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解4.三角形常用面积公式(1)S=12a·ha(ha表示a边上的高)(2)S=12absinC=12acsinB=12bcsinA(3)S=12r(a+b+c)(r为内切圆半径)常用结论在△ABC中,常有以下结论:(1)A+B+C=π.(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB,cosA<cosB.(4)三角形中的三角函数关系sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC;sinA+B2cosA+B2(5)三角形中的射影定理:在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号13241.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.()提示:(1)已知三角时,不可求三边.(2)在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B.()(3)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3.()提示:(3)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,△ABC为钝角三角形.()提示:(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC不一定为锐角三角形.答案:(1)×(2)√(3)×(4)×2.(应用正弦定理求角时漏解)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=2,A=30°,则B等于()A.30° B.45°C.30°或150° D.45°或135°【解析】选D.由正弦定理asinA=bsinB得1sin30°=2sinB,sinB=22又因为0°<B<150°,所以B=45°或135°.3.(必修第二册P48练习T2·变条件)在△ABC中,a=6,b=63,A=30°,则最长边c=.

【解析】在△ABC中,a=6,b=63,A=30°,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,36=108+c2-123×32c化简得c2-18c+72=0,解得c=6或c=12,因为c是最长的边,所以c=12.答案:124.(2023·上海高考)已知△ABC中,角A,B,C所对的边a=4,b=5,c=6,则sinA=.

【解析】a=4,b=5,c=6,由余弦定理得,cosA=b2+c2-又因为A∈(0,π),所以sinA>0,所以sinA=1-cos2A答案:7【核心考点·分类突破】考点一利用正、余弦定理解三角形1.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是()A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定【解析】选C.由正弦定理得bsinB=所以sinB=bsinCc=40×所以B不存在,即满足条件的三角形不存在.2.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,sinB=32,C=π6,则c=(A.3 B.3或3C.32或3 D.【解析】选B.由正弦定理知asinA=则c=asinCsinsinA=sin(π-B-C)=sin(B+C),因为sinB=32所以cosB=±1-sin2B=±12,故B又C=π6,故均满足题设当B=π3时,sinA=1,此时c=3当B=2π3时,sinA=12,此时c=3.(2023·北京高考)在△ABC中,(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),则C=()A.π6 B.π3 C.2π3【解析】选B.由正弦定理知,(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB)可化为(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b2-c22ab=ab24.(2023·全国乙卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB-bcosA=c,且C=π5,则∠B=(A.π10 B.π5 C.3π10 D【解析】选C.由题意结合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinC,即sinAcosB-sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,整理可得sinBcosA=0,由于B∈(0,π),故sinB>0,据此可得cosA=0,A=π2则B=π-A-C=π-π2-π5=5.(2023·天津高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=39,b=2,A=120°.(1)求sinB的值;【解析】(1)a=39,b=2,A=120°,则sinB=bsinAa=2×(2)求c的值;【解析】(2)a=39,b=2,A=120°,则a2=b2+c2-2bc·cosA=4+c2+2c=39,化简整理可得,(c+7)(c-5)=0,解得c=5(负值舍去);(3)求sin(B-C)的值.【解析】(3)因为a>c>b,所以B,C为锐角,所以cosB=1-sinc=5,a=39,A=120°,则sinC=csinAa=5×故cosC=1-sin所以sin(B-C)=sinBcosC-sinCcosB=1313×33926-51326解题技法应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边:利用正弦定理变形公式a=bsinAsinB等或余弦定理a2=b2+c2-2bc(2)求角:利用正弦定理变形公式sinA=asinBb等或余弦定理变形公式cosA=(3)利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.考点二利用正、余弦定理判断三角形形状[例1](1)(2023·绥化模拟)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosA=bcosB=ccosC,则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.三边比为1∶2∶3的三角形【解析】选B.因为acosA=bcosB,由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因为A,B为三角形的内角,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2同理可得B=C或B+C=π2当A=B时,B+C=π2不可能成立(三角形内角和不等于π);当B=C时,A+B=π当A+B=π2时,B+C=π所以只有A=B=C,即△ABC为等边三角形.(2)(2023·重庆模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-b+①求A;【解析】①由a-b+bc=b2+c2-a2,由余弦定理可得cosA=b2+c2-又0<A<π,所以A=π3②若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形【解析】②由b-c=33a及正弦定理可得,sinB-sinC=33sinA=所以sinB-sin(2π3-B)=sinB-32cosB-12sinB=12sinB-32cosB=sin(B因为B∈(0,2π3),所以B-π3∈(-π3所以B-π3=π所以B=π2,即△ABC是直角三角形解题技法三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,如a=2RsinA,a2+b2-c2=2abcosC等,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如sinA=sinB⇔A=B;sin(A-B)=0⇔A=B;sin2A=sin2B⇔A=B或A+B=π2等(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,如sinA=a2R,cosA=b提醒:1.注意无论是化边还是化角,在化简过程中是否出现公因式;2.在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注意挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响.对点训练1.在△ABC中,sinA=45,cosB=413,则该三角形是(A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.无法判断【解析】选A.根据题意,sinB=31713>45于是B>A,从而A,B为锐角.又sinA=45>22=sin于是A+B>2A>π2因此C为锐角,所以△ABC为锐角三角形.2.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c2-a2+b2=(4ac-2bc)cosA,则()A.△ABC一定为直角三角形B.△ABC可能为等腰三角形C.角A可能为直角D.角A可能为钝角【解析】选BC.由余弦定理可得2bccosA=(4ac-2bc)cosA,化简可得bcosA=(2a-b)cosA.当cosA=0时,A=90°,此时△ABC为直角三角形;当cosA≠0时,可得b=2a-b,即a=b,此时△ABC为等腰三角形,cosA=b2+c2考点三正、余弦定理的综合应用考情提示正、余弦定理在高考中一般综合考查,主要考查三角形的面积、周长、与边有关或与角有关的最值范围问题.角度1三角形面积问题[例2](1)(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=.

【解析】由题意得S△ABC=12acsinB=34ac=3,则ac=4,所以a2+c2=3ac=3×4=12,所以b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×12=8,则b答案:22(2)(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3,已知S1-S2+S3=32,sinB=1①求△ABC的面积;【解析】①由题意得S1=12·a2·32=34S2=34b2,S3=34c则S1-S2+S3=34a2-34b2+34c2即a2+c2-b2=2.由余弦定理得cosB=a2+c2-b22又sinB=13,则cosB=1-(ac=1cosB=324,则S△ABC=12ac②若sinAsinC=23,求【解析】②由正弦定理得bsinB=asin则b2sin2B=asinA·csinC=acsinAsinC=324解题技法三角形面积问题的常见类型(1)求三角形面积:一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等,求出角与边,再求面积;(2)已知三角形面积解三角形:常选用已知邻边求出其夹角,或利用已知角求出角的两边间的关系;(3)已知与三角形面积有关的关系式:常选用关系式中的角作为面积公式中的角,化为三角形的边角关系,再解三角形.对点训练在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)a的值;【解析】选条件①:c=7,cosA=-17,且a+b=11(1)在△ABC中,由余弦定理,得cosA=b2+c2-解得a=8.(2)sinC和△ABC的面积.条件①:c=7,cosA=-17条件②:cosA=18,cosB=9注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.【解析】选条件①:c=7,cosA=-17,且a+b=11(2)因为cosA=-17,A∈所以sinA=1-cos2A在△ABC中,由正弦定理,得sinC=c·sinAa=因为a+b=11,a=8,所以b=3,所以S△ABC=12absinC=12×8×3×32选条件②:cosA=18,cosB=916,且a+b(1)因为A∈(0,π),B∈(0,π),cosA=18,cosB=9所以sinA=1-cos2A=1-164=37在△ABC中,由正弦定理,可得ab=sinAsinB=又因为a+b=11,所以a=6,b=5.(2)sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=378×916+18×57所以S△ABC=12absinC=12×6×5×74角度2三角形中的最值与范围问题[例3]锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3bcosC=2asinA-3ccosB.(1)求A;【解析】(1)因为3bcosC=2asinA-3ccosB,由正弦定理可得3sinBcosC=2sinAsinA-3sinCcosB,则3(sinBcosC+sinCcosB)=2sin2A,即3sin(B+C)=2sin2A,又sin(B+C)=sinA,sinA>0,则sinA=32因为0<A<π2,所以A=π(2)若b=2,D为AB的中点,求CD的取值范围.【解析】(2)△ACD中,由余弦定理可得CD=AD2+因为锐角三角形ABC中,cosB>0,cosC>0,所以a2又a2=c2+4-2c,c>0,所以c2-c故CD的取值范围为[3,2).解题技法解三角形中的最值或范围问题的两种解法(1)将问题表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;(2)将问题用三角形某一个角的三角函数表示,利用三角函数的有界性,单调性再结合角的范围确定最值或范围.对点训练(2023·牡丹江模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a+2c=bcosC+3bsinC.(1)求角B;【解析】(1)因为a+2c=bcosC+3bsinC,整理得,sinA+2sinC=sinBcosC+3sinBsinC,sin(B+C)+2sinC=sinBcosC+3sinBsinC,c