新高考数学一轮复习讲义命题方向全归类第5讲数列与不等式(2022-2023年高考真题)(原卷版+解析)

第5讲数列与不等式一．选择题1．（2023•天津）若，，，则A． B． C． D．2．（2022•浙江）若实数，满足约束条件则的最大值是A．20 B．18 C．13 D．63．（2022•乙卷）若，满足约束条件则的最大值是A． B．4 C．8 D．124．（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．5．（2023•甲卷）记为等差数列的前项和．若，，则A．25 B．22 C．20 D．156．（2023•天津）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为A．3 B．18 C．54 D．1527．（2023•甲卷）已知等比数列中，，为前项和，，则A．7 B．9 C．15 D．308．（2023•新高考Ⅱ）记为等比数列的前项和，若，，则A．120 B．85 C． D．9．（2022•乙卷）已知等比数列的前3项和为168，，则A．14 B．12 C．6 D．3二．多选题10．（2022•新高考Ⅱ）若，满足，则A． B． C． D．三．填空题11．（2023•乙卷）若，满足约束条件，则的最大值为．12．（2023•甲卷）设，满足约束条件，设，则的最大值为．13．（2022•上海），，求的最小值．14．（2023•甲卷）记为等比数列的前项和．若，则的公比为．15．（2023•乙卷）已知为等比数列，，，则．16．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前项和为，则．17．（2022•乙卷）记为等差数列的前项和．若，则公差．18．（2022•上海）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，2，，中不同的数值有个．四．解答题19．（2023•乙卷）记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．20．（2023•甲卷）已知数列中，，设为前项和，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．21．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）证明：当时，．22．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．（1）若，，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求．23．（2022•全国）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和．24．（2022•上海）数列对任意且，均存在正整数，，满足，，．（1）求可能值；（2）命题：若，，，成等差数列，则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由；（3）若，成立，求数列的通项公式．25．（2022•天津）设是等差数列，是等比数列，且．（1）求与的通项公式；（2）设的前项和为，求证：；26．（2022•浙江）已知等差数列的首项，公差．记的前项和为．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若对于每个，存在实数，使，，成等比数列，求的取值范围．27．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．28．（2022•甲卷）记为数列的前项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若，，成等比数列，求的最小值．29．（2022•新高考Ⅱ）已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且．（1）证明：；（2）求集合，中元素的个数．第5讲数列与不等式一．选择题1．（2023•天津）若，，，则A． B． C． D．【答案】【解析】，在上单调递增，，故，所以，，在，上单调递增，，故，即，所以．故选：．2．（2022•浙江）若实数，满足约束条件则的最大值是A．20 B．18 C．13 D．6【答案】【解析】实数，满足约束条件则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由已知可得，由图可知：当直线过点时，取最大值，则的最大值是，故选：．3．（2022•乙卷）若，满足约束条件则的最大值是A． B．4 C．8 D．12【答案】【解析】作出可行域如图阴影部分所示，由图可知，当取点时，目标函数取得最大值，且最大为8．故选：．4．（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．【答案】【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，又，所以，故正确，错误，，当且仅当，即时取等号，故错误，故选：．5．（2023•甲卷）记为等差数列的前项和．若，，则A．25 B．22 C．20 D．15【答案】【解析】等差数列中，，所以，，故，则，，则．故选：．6．（2023•天津）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为A．3 B．18 C．54 D．152【答案】【解析】因为为等比数列，，所以，，由等比数列的性质可得，，即，所以或（舍，所以，，则．故选：．7．（2023•甲卷）已知等比数列中，，为前项和，，则A．7 B．9 C．15 D．30【答案】【解析】等比数列中，设公比为，，为前项和，，显然，（如果，可得矛盾，如果，可得矛盾），可得，解得，即或，所以当时，．当时，．没有选项．故选：．8．（2023•新高考Ⅱ）记为等比数列的前项和，若，，则A．120 B．85 C． D．【答案】【解析】等比数列中，，，显然公比，设首项为，则①，②，化简②得，解得或（不合题意，舍去），代入①得，所以．故选：．9．（2022•乙卷）已知等比数列的前3项和为168，，则A．14 B．12 C．6 D．3【答案】【解析】设等比数列的公比为，，由题意，．前3项和为，，，，则，故选：．二．多选题10．（2022•新高考Ⅱ）若，满足，则A． B． C． D．【答案】【解析】方法一：由可得，，令，则，，，故错，对，，，故对，错，方法二：对于，，由可得，，即，，，故错，对，对于，，由得，，，故对；，，，故错误．故选：．三．填空题11．（2023•乙卷）若，满足约束条件，则的最大值为．【答案】8．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示：由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越小，越大，结合图形可知，当经过点时，最大，由可得，，即，此时取得最大值8．故答案为：8．12．（2023•甲卷）设，满足约束条件，设，则的最大值为．【答案】15．【解析】由题意，作出，满足约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数，可化为直线，由，可得，即，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，代入可得．故答案为：15．13．（2022•上海），，求的最小值．【答案】．【解析】如图所示：由，，可知行域为直线的左上方和的右上方的公共部分，联立，可得，即图中点，，当目标函数沿着与正方向向量的相反向量平移时，离开区间时取最小值，即目标函数过点，时，取最小值：．故答案为：．14．（2023•甲卷）记为等比数列的前项和．若，则的公比为．【答案】．【解析】等比数列中，，则，所以，解得．故答案为：．15．（2023•乙卷）已知为等比数列，，，则．【答案】．【解析】等比数列，，解得，而，可得，即，．故答案为：．16．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前项和为，则．【答案】189．【解析】等比数列的首项为3，公比为2，．故答案为：189．17．（2022•乙卷）记为等差数列的前项和．若，则公差．【答案】2．【解析】，，为等差数列，，，解得．故答案为：2．18．（2022•上海）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，2，，中不同的数值有个．【答案】98．【解析】等差数列的公差不为零，为其前项和，，，解得，，，，1，，中，，，其余各项均不相等，，，中不同的数值有：．故答案为：98．四．解答题19．（2023•乙卷）记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】（1）在等差数列中，，．，即，得，，则．（2），即时，，当时，，当时，数列的前项和，当时，数列的前项和．20．（2023•甲卷）已知数列中，，设为前项和，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】（1）当时，，解得，当时，，，，当时，可得，，当或时，，适合上式，的通项公式为；（2）由（1）可得，，，，．21．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）证明：当时，．【解析】（1）设等差数列的公差为，，为的前项和，，，则，即，解得，故；（2）证明：由（1）可知，，，当为偶数时，，，，当为奇数时，，，，故原式得证．22．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．（1）若，，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求．【解析】（1），，根据题意可得，，，又，解得，，，；（2）为等差数列，为等差数列，且，根据等差数列的通项公式的特点，可设，则，且；或设，则，且，①当，，时，则，，，又，解得；②当，，时，则，，，又，此时无解，综合可得．23．（2022•全国）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【解析】（1）已知是首项为1，公差不为0的等差数列，又，，成等比数列，则，即，又，即，则；（2）由（1）可得：，则，则当为偶数时，，当为奇数时，，即．24．（2022•上海）数列对任意且，均存在正整数，，满足，，．（1）求可能值；（2）命题：若，，，成等差数列，则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由；（3）若，成立，求数列的通项公式．【解析】（1），或．（2），，，，，，，为等差数列，，．逆命题：若，则，，，，，，，为等差数列是假命题，举例：，，，，，，，，．（3）因为，，，，，以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立：当，明显成立，假设时命题成立，即，则，则，命题得证．回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：1．若，则矛盾，2．若，则，，，此时，，3．若，则，，，（由（2）知对任意成立），，事实上：矛盾．综上可得．25．（2022•天津）设是等差数列，是等比数列，且．（1）求与的通项公式；（2）设的前项和为，求证：；【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，，，解得，，．（2）证明：，要证明，即证明，即证明，即证明，由数列的通项公式和前项和的关系得：，．26．（2022•浙江）已知等差数列的首项，公差．记的前项和为．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若对于每个，存在实数，使，，成等比数列，求的取值范围．【解析】（Ⅰ）因为等差数列的首项，公差，因为，可得，即，，即，整理可得：，解得，所以，即；（Ⅱ）因为对于每个，存在实数，使，，成等比数列，则，，整理可得：，则△恒成立在，整理可得，当时，可得或，而，所以的范围为；时，不等式变为，解得，而，所以此时，，当时，，则符合要求，综上所述，对于每个，的取值范围为，，使，，成等比数列．27．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．【解析】（1）已知，是公差为的等差数列，所以，整理得，①，故当时，，②，①②得：，故，化简得：，，，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以．28．（2022•甲卷）记为数列的前项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2