人教版八年级数学下册举一反三专题21.5期末复习之选择压轴题十五大题型总结(学生版+解析)(八年级下册)

专题21.5期末复习之选择压轴题十五大题型总结【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二次根式的化简求值】 1【题型2二次根式的值是整数】 2【题型3由勾股定理求最值】 2【题型4由勾股定理求面积】 3【题型5由勾股定理的逆定理判断三角形形状】 4【题型6由平行四边形的性质求解】 5【题型7矩形、菱形、正方形中的翻折问题】 6【题型8矩形、菱形、正方形中的动点问题】 7【题型9动点问题函数图像】 8【题型10一次函数性质的运用】 10【题型11一次函数中的行程问题】 11【题型12与一次函数有关的几何应用】 13【题型13数式或图形中新定义问题】 14【题型14数式或图形中规律问题】 15【题型15数式或图形中多结论问题】 17【题型1二次根式的化简求值】【例1】（2024八年级·河南洛阳·期末）设a为3+5−3−5的小数部分，b为6+33−6−3A．6+2−1 B．6−2+1【变式1-1】（2024八年级··北京朝阳·期末）已知实数x，y满足（x-x2−2008）（y-y2-2008）=2008，则3x2-2y2+3A．-2008 B．2008 C．-1 D．1【变式1-2】（2024八年级·安徽芜湖·自主招生）当x=4时，x−23x2A．1 B．3 C．2 D．3【变式1-3】（2024八年级·湖北武汉·期末）已知x＝12020−2019，则x6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020A．0 B．1 C．2019 D．2020【题型2二次根式的值是整数】【例2】（2024八年级·江苏泰州·期末）已知m、n是正整数，若2m+5A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是【变式2-1】（2024八年级·重庆巴南·期末）如果关于x的不等式组x−m2>0,x−23−x<−2的解集为x>2，且式子3−A．5 B．4 C．3 D．2【变式2-2】（2024八年级·北京朝阳·期末）若12−n是整数，则满足条件的自然数n共有（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-3】（2024八年级·河北邢台·期末）已知18x+2x2+2x=m，若A．10 B．8 C．4 D．−25【题型3由勾股定理求最值】【例3】（2024八年级·山东烟台·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值是（

A．5+1 B．3 C．5 D．【变式3-1】（2024八年级·辽宁朝阳·期末）如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值为（

）

A．23 B．22 C．32【变式3-2】（2024八年级·江苏苏州·期末）如图，在边长为4的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF，当DF最小时，AE的长度为（

）．A．2 B．2 C．3 D．3【变式3-3】（2024八年级·重庆忠县·期末）如图，已知线段AB=4，∠BAC=15°，点E为AC边上动点，则22AE+2

A．2 B．22 C．23【题型4由勾股定理求面积】【例4】（2024八年级·江苏泰州·期末）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF也是等边三角形．已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【变式4-1】（2024八年级·浙江温州·期末）如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，∠ACB=90°，则S1、SA．S1+S2+S3=【变式4-2】（2024八年级·陕西西安·期末）如图，分别以Rt△ACB的直角边AB和斜边AC为边向外作正方形ABGF和正方形ACDE，连结EF．已知CB=6，EF=10，则△AEF的面积为（

A．63 B．83 C．24【变式4-3】（2024八年级·浙江绍兴·期末）已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点O是两个底角的角平分线交点，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0,S1,A．53 B．2 C．196 【题型5由勾股定理的逆定理判断三角形形状】【例5】（2024八年级·河南许昌·期末）若a，b，c为△ABC的三条边，满足a2+bA．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形【变式5-1】（2024八年级·安徽合肥·期末）一个三角形的三边长都是整数，它的周长为12，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．以上三种情况都有可能【变式5-2】（2024八年级·山东烟台·期末）设三角形的三边a、b、c满足a4A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定【变式5-3】（2024八年级·河南南阳·期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c且a+b=4,ab=1,c=14，则△ABC的形状为（

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【题型6由平行四边形的性质求解】【例6】（2024八年级·安徽淮北·期末）如图，点P为平行四边形ABCD外一点，连接PA，PB，PC，PD，若△PAB的面积为8，△PAD的面积为4，△PCD的面积为7，则△PBC的面积为（

）．

A．21 B．19 C．17 D．15【变式6-1】（2024八年级·江苏无锡·期末）已知在平行四边形ABCD中，AB=32，AD=6,∠ABC=45°，点E在AD上，BE=DE，将△ABD沿BD翻折到△FBD，连接EF，则EF的长为（

A．23 B．13 C．15 【变式6-2】（2024八年级·江苏无锡·期末）□ABCD中，∠ABC的角平分线交线段AD于点E，DE=1，点F是BE中点，连接CF，过点F作FG⊥BC，垂足为G，设AB=x，若□ABCD的面积为8，FG的长为整数，则整数x的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．1或3【变式6-3】（2024八年级·浙江杭州·期末）如图在▱ABCD中，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，BG．则△BEG的面积为（）A．163 B．143 C．83【题型7矩形、菱形、正方形中的翻折问题】【例7】（2024·陕西·期末）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=3,EF=4，则边BC的长是（）A．4 B．5 C．8 D．10【变式7-1】（2024八年级·重庆涪陵·期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将△BCE沿BE翻折至△BFE，连接DF，则DF的长度是（）A．55 B．255 C．3【变式7-2】（2024八年级·山东济南·期末）如图，边长2的菱形ABCD中，∠A=60∘，点M是AD边的中点，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为(A．6 B．6−1 C．7 D．【变式7-3】（2024八年级·江苏宿迁·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点O为矩形ABCD的对称中心，点E为边AB上的动点，连接EO并延长交CD于点F．将四边形AEFD沿着EF翻折，得到四边形A'EFD'，边A'E交边BC于点G，连接

A．18－3 B．92+37 C．12−【题型8矩形、菱形、正方形中的动点问题】【例8】（2024八年级·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCO，B4,3，点D为x轴上的一个动点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接OE，则OE的最小值为（

A．1 B．1.5 C．2 D．2.4【变式8-1】（2024八年级·吉林·期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（）．A．逐渐增加 B．逐渐减小C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等【变式8-2】（2024八年级·河南信阳·期末）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC边上的动点，连接OE并延长交AB的延长线于点P，过点O作OQ⊥OP交CD于点F，交BC延长线于点Q，连接PQ．若点E恰好是OP中点时，则PQ的长为（

）

A．2 B．2 C．5 D．10【变式8-3】（2024八年级·浙江绍兴·期末）如图，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，已知I，J，K，L分别是边AH，BC，DE，FG上的动点，且满足

A．4+22 B．2+22 C．4+2【题型9动点问题函数图像】【例9】（2014·北京·中考真题）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是(

)A．B． C．D．【变式9-1】（2024八年级·山东潍坊·期末）如图，在直角坐标系中，有一矩形ABCD，长AD=2，宽AB=1,AB//y轴，AD//x轴．点D坐标为3,1，该矩形边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标yp与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是(

A． B．C． D．【变式9-2】（2024八年级·安徽芜湖·期末）如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（

）A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC．从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB【变式9-3】（2024·河南平顶山·期末）如图1，在△ABC中，∠ABC=60°．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y随x变化的关系图像，其中M为曲线DE的最低点，则△ABC的面积为（

）A．43 B．433 C．2【题型10一次函数性质的运用】【例10】（2024八年级·福建漳州·期末）在平面直角坐标系中，一次函数y1＝m（x+3）−1（m≠0）和A．m≥34 B．m>34 C．m≤34且m≠0 D．m<3【变式10-1】（2024八年级·福建泉州·期末）如图，直线y=ax+b与x轴交于A点4,0，与直线y=mx交于B点2,n，则关于x的一元一次方程ax−b=mx的解为（

）A．x=2 B．x=−2 C．x=4 D．x=−4【变式10-2】（2024八年级·福建福州·期末）一次函数y＝kx+b的部分自变量与相应的函数值如表：xm2﹣mynp若满足m＜1，n+p＝b2+4b+3，则n与p的大小关系为（）A．n＜p B．n≤p C．n＞p D．n≥p【变式10-3】（2024·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将函数y=3x的图象向上平移m个单位长度，使其与y=−3x+6的交点在位于第二象限，则m的取值范围为（

）A．m<6 B．m>6 C．m<2 D．m>2【题型11一次函数中的行程问题】【例11】（2024·重庆九龙坡·期末）甲乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车从A地匀速驶向B地，乙车从B地匀速驶向A地．两车之间的距离y（单位：km）与两车行驶的时间x（单位：h）之间的关系如图所示，已知甲车的速度比乙车快20km/h．下列说法错误的是（

）A．A、B两地相距360km B．甲车的速度为100km/hC．点E的横坐标为185 D．当甲车到B地时，甲乙两车相距280【变式11-1】（2024八年级·重庆·期末）周末老张和小胜相约从各自的家出发去体育馆打羽毛球，且老张家，小胜家，体育馆顺次在同一直线上，老张先从家出发4分钟后来到小胜家和小胜汇合，汇合时间忽略不计，两人以老张的速度一起走了4分钟后，小胜发现自己装备带错了需回家换装备，于是立即加速回家用了少许时间取了装备后又以加速后的速度赶往体育馆，老张仍以原速前行，结果小胜比老张提前1分钟到达体育馆．若老张与小胜两人和体育馆之间的距离y（米）与小胜出发的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．则以下说法错误的是（

）．A．小胜加速后的速度为250米/分钟B．老张用了24分钟到达体育馆C．小胜回家后用了0.6分钟取装备D．小胜取了装备后追上老张时距离老张家3025米【变式11-2】（2024八年级·重庆·期末）已知A、B、C三地顺次在同-直线上，甲、乙两人均骑车从A地出发，向C地匀速行驶.甲比乙早出发5分钟；甲到达B地并休息了2分钟后，乙追上了甲.甲、乙同时从B地以各自原速继续向C地行驶.当乙到达C地后，乙立即掉头并提速为原速的54倍按原路返回A地，而甲也立即提速为原速的二倍继续向C地行驶，到达C地就停止.若甲、乙间的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（

A．甲、乙提速前的速度分别为300米/分、400米/分.B．A、C两地相距7200米C．甲从A地到C地共用时26分钟D．当甲到达C地时，乙距A地6075米【变式11-3】（2024八年级·重庆·期末）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车改变速度继续出发23h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离ykm与货车行驶时间xA．a=120B．点F的坐标为8,0C．出租车从乙地返回甲地的速度为128D．出租车返回的过程中，货车出发12517h或123【题型12与一次函数有关的几何应用】【例12】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，一次函数y=x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（

A．6+2 B．32 C．2+【变式12-1】（2024八年级·广东深圳·期末）如图，在直角坐标系中，等腰Rt△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是−8,0，直角顶点B在第二象限，等腰Rt△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（

A．y=−2x+2 B．y=−12x+4 C．y=−3x−4【变式12-2】（2024·福建·期末）如图，△ABC的顶点A(−8,0)，B(−2,8)，点C在y轴的正半轴上，AB=AC，将△ABC向右平移得到△A'B'C'，若A．74,6 B．(3,6) C．72【变式12-3】（2024·河南·期末）如图，正方形OABC中，点A（4，0），点D为AB上一点，且BD＝1，连接OD，过点C作CE⊥OD交OA于点E，过点D作MN∥CE，交x轴于点M，交BC于点N，则点M的坐标为（

）A．（5，0） B．（6，0） C．（254，0） D．（27【题型13数式或图形中新定义问题】【例13】（2024八年级·江苏镇江·期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点B−1.5,0.5到x轴、y轴的距离分别为0.5,1.5，距离和为2，则点B是“成双点”，点C1,1,D−0.8,−1.2也是“成双点”．一次函数y=kx+bk≠0的图象l经过点−3,−4，且图象lA．23≤k≤2 B．45≤k≤2 C．【变式13-1】（2024·湖北武汉·八年级期末）如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（

）A．6个 B．7个 C．9个 D．11个【变式13-2】（2024八年级·福建三明·期末）对于实数a,b，定义符号mina,b其意义为：当a≥b时，mina,b=b；当a<b时，mina,b=a．例如：min{2,−1}=−1，若关于xA．1 B．43 C．53 【变式13-3】（2024八年级·江苏连云港·期末）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3，则△ABC中AB边的“中高偏度值”为（

A．247 B．257 C．125【题型14数式或图形中规律问题】【例14】（2024八年级·广东佛山·期末）等腰△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A为原点，AB=4，CA=CB=3，把等腰△ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②，…，依此规律，第2021次翻转后点B的坐标是（）A．6734,0 B．673713,453【变式14-1】（2024八年级·广东·期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（

）．A．n2−1 B．n2−2 C．【变式14-2】（2024·云南·期末）在平面直角坐标系中，点A1(−1,1)在直线y=x+b上，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1，作等腰直角三角形A1B1B2(BA．(22019−1,C．(22020−1,【变式14-3】（2024八年级·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），四边形OABC是菱形，∠AOC=60°，以OB为边作菱形OBB1C1，使顶点B1在OC的延长线上，再以OB1为边作菱形OB1B2C2，使顶点B2在A．（−31011C．（−(3【题型15数式或图形中多结论问题】【例15】（2024八年级·山东济南·期末）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，CE⊥AB，垂足E在线段AB上，F、G分别是AD、CE的中点，连接FG，EF、CD的延长线交于点H，则下列结论：①∠DCF=12∠BCD；②EF=CF：③S△BEC=2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式15-1】（2024八年级·广东湛江·期末）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC；⑤PB2+PD2＝2PA2，正确结论是（）A．①③ B．①②③ C．①③⑤ D．①②③⑤【变式15-2】（2024八年级·浙江嘉兴·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P是△ABC内一点，且CP=1，BP=2，AP=2，以CP为直角边，点C为直角顶点，作等腰Rt△DCP，下列结论：①点A与点D的距离为2；②AP⊥PC；③AB=22；④S△APBA．①②③ B．②④ C．①② D．②③④【变式15-3】（2024八年级·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线a，b相交于点C−①a⊥b；②C为线段BD中点；③△ABC≌△BOD；④点E的坐标为0，A．1 B．2 C．3 D．4专题21.5期末复习之选择压轴题十五大题型总结【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二次根式的化简求值】 1【题型2二次根式的值是整数】 4【题型3由勾股定理求最值】 6【题型4由勾股定理求面积】 11【题型5由勾股定理的逆定理判断三角形形状】 18【题型6由平行四边形的性质求解】 20【题型7矩形、菱形、正方形中的翻折问题】 26【题型8矩形、菱形、正方形中的动点问题】 31【题型9动点问题函数图像】 37【题型10一次函数性质的运用】 41【题型11一次函数中的行程问题】 44【题型12与一次函数有关的几何应用】 51【题型13数式或图形中新定义问题】 56【题型14数式或图形中规律问题】 61【题型15数式或图形中多结论问题】 66【题型1二次根式的化简求值】【例1】（2024八年级·河南洛阳·期末）设a为3+5−3−5的小数部分，b为6+33A．6+2−1 B．6−2+1【答案】B【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【优尖升-详解】3+===∴a的小数部分为2-6+3===∴b的小数部分为6-2∴2b故选：B．【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．【变式1-1】（2024八年级··北京朝阳·期末）已知实数x，y满足（x-x2−2008）（y-y2-2008）=2008，则3x2-2y2+3A．-2008 B．2008 C．-1 D．1【答案】D【优尖升-详解】由（x-x2−2008）（y-那么说明x=y是方程的一个解由此可以解得x=y=2008，或者x=y=-2008，则3x2-2y2+3x-3y-2007=1，故选D.【变式1-2】（2024八年级·安徽芜湖·自主招生）当x=4时，x−23x2A．1 B．3 C．2 D．3【答案】A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【优尖升-详解】解：原式=x−2=将x=4代入得，原式=====1.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．【变式1-3】（2024八年级·湖北武汉·期末）已知x＝12020−2019，则x6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020A．0 B．1 C．2019 D．2020【答案】C【分析】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．【优尖升-详解】∵x=1∴x=x=x=x=x=x=−x+2x−2020=x−2020=2019故选：C【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，对所求式子进行变形，反复代入x的值即可解决．【题型2二次根式的值是整数】【例2】（2024八年级·江苏泰州·期末）已知m、n是正整数，若2m+5A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是【答案】C【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案．【优尖升-详解】解：∵2m+5∴m=2，n=5或m=8，n=20，当m=2，n=5时，原式=2是整数；当m=8，n=20时，原式=1是整数；即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．【变式2-1】（2024八年级·重庆巴南·期末）如果关于x的不等式组x−m2>0,x−23−x<−2的解集为x>2，且式子3−A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为x>2可得出m≤2，再由式子3−m【优尖升-详解】解：解不等式x−m2解不等式x−23∵不等式组解集为x＞2，∴m≤2，∵式子3−m则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，由m≤2得，m=-3，-2或2．即符合条件的所有整数m的个数是3个．故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．【变式2-2】（2024八年级·北京朝阳·期末）若12−n是整数，则满足条件的自然数n共有（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本题主要考查了对二次根式的定义的应用，关键是能根据已知求出n．根据二次根式的意义求出n≤12，在此范围内要使12−n是整数，n只能是3或8或11或12，求出即可．【优尖升-详解】解：∵要使12−n有意义；必须12−n≥0，解得n≤12；∵12−n是整数；∴n只能是3或8或11或12；∴满足条件的n有4个故选：D．【变式2-3】（2024八年级·河北邢台·期末）已知18x+2x2+2x=m，若A．10 B．8 C．4 D．−25【答案】A【分析】由18x+2x2+2x=m，可得32x【优尖升-详解】解：∵18x+2∴32x+2x∵x的值为整数，∴m是5的倍数，且为正值，∴m的值可能为10，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握．【题型3由勾股定理求最值】【例3】（2024八年级·山东烟台·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值是（

A．5+1 B．3 C．5 D．【答案】A【分析】由D为BC的中点可知BD=1．要求△BDE周长的最小值，就要求DE+BE的最小值，

过点B作BO⊥AC于O，延长BO到B'，使OB'=OB，则B'、B关于AC对称．连接DB'交AC此题考查了线路最短的问题，确定动点E的位置时，使DE+BE的值最小是关键．【优尖升-详解】

过点B作BO⊥AC于O，延长BO到B'，使OB'=OB，则B'、B关于连接DB'交AC于E，此时连接CB∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2∴∠A=∠BCA=45°．又∵BO=B'O∴CB'=CB=2∴∠B∵D为BC的中点，BC=2，∴BD=CD=1，∴DB∴△BDE周长的最小值=DB'+BD=5故选：A【变式3-1】（2024八年级·辽宁朝阳·期末）如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值为（

）

A．23 B．22 C．32【答案】C【分析】将FC沿着FE向左平移使F与E重合，得到C'E，根据动点最值问题“将军饮马”模型，作G关于AB的对称点G'，连接C'G【优尖升-详解】解：将FC沿着FE向左平移使F与E重合，得到C'

由平移性质得到EC∴GE+CF=GE+EC作G关于AB的对称点G'，连接C

∴由对称性得到G'∴GE+CF=GE+EC由图可知，GE+CF=GE+EC'=G'E+EC∵EF=1，∴CC在长方形ABCD中，AB=4，BC=2，由矩形性质可得AD=BC=2,AB=DC=4，∴DC∵G是AD的中点，∴GA=1∵G与G'关于AB∴AG在长方形ABCD中，∠D=90°，∴在Rt△G'DC'中，∠D=90°，∴GE+CF的最小值32故选：C．【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及平移性质、对称性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型题型的识别及做题方法步骤是解决问题的关键．【变式3-2】（2024八年级·江苏苏州·期末）如图，在边长为4的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF，当DF最小时，AE的长度为（

）．A．2 B．2 C．3 D．3【答案】C【分析】连接CF，证得△ABE≌△CBF，通过全等的性质，再利用点到线的距离垂线段最短以及勾股定理进行计算即可得出答案．【优尖升-详解】解：连接CF∵等边△ABC边长为4，D是BC的中点，∠ABD=∠EBF=60°，∴∠BAD=30°，CD=12BC=2在△ABE和△CBF中，AB=CB∴△ABE≌△CBF(SAS∴∠BCF=∠BAD=30°，AE=CF，当DF最小时，DF⊥FC，此时DF=1在Rt△CDF中，∴AE=故选：C【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形的判定和性质，以及直角三角形30°角的性质和勾股定理，牢固掌握这些性质是解题的关键．【变式3-3】（2024八年级·重庆忠县·期末）如图，已知线段AB=4，∠BAC=15°，点E为AC边上动点，则22AE+2

A．2 B．22 C．23【答案】C【分析】以AE为斜边向下作等腰直角三角形AEF，得出EF=22AE，进而将22AE+【优尖升-详解】如图所示，以AE为斜边向下作等腰直角三角形AEF，连BF，

由勾股定理得AF∵AF=EF，∴EF=2∴22∵BE+EF≥BF，∴当22AE+2BE最小即BE+EF取最小值时，E必在线段BF上，即最小值为线段

∵∠BAC=15°，∴∠BAF=60°，∴在Rt△AFB中，∠ABF=90°−60°=30°∴AF=1∴BF=4∴22AE+2故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识点，作出辅助线是解决此题的关键．【题型4由勾股定理求面积】【例4】（2024八年级·江苏泰州·期末）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF也是等边三角形．已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】连接BF，由题意知S△ABD=S△AFC=S△BEC，再由点D、E、F分别是BE、CF、AD【优尖升-详解】解：连接BF，如图所示：

∵点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，∴S△BDF=∵△ABC为等边三角形，△DEF也是等边三角形，∴AB=BC=AC,DE=EF=DF,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,∠FED=∠FDE=∠EFD=60°，∴∠ABD+∠CBD=60°，∵∠FDE是△ABD∴∠BAD+∠ABD=60°，∵∠FED是△BCE∴∠CBE+∠BCE=60°，∴∠BAD=∠CBE,∠ABD=∠BCE，在△ABD和△∠BAD=∠CBEAB=BC∴△同理，可得△ABD∴S∴S△ABD∴S∵S∴7S△DEF=故选：B．【点睛】本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确作出辅助线，得出S△ABC【变式4-1】（2024八年级·浙江温州·期末）如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，∠ACB=90°，则S1、SA．S1+S2+S3=【答案】C【分析】先推导出正三角形的面积公式，设Rt△ABC的三边为：AC=b，AB=C，BC=a，根据勾股定理有：a2+b2=c2，则根据上述所推出的正三角形的面积公式，可知△AGC、△AFB、△BCH的面积分别为：34b2、34【优尖升-详解】正△XYZ的边长为u，过顶点x作XV⊥YZ，V为垂足，如图，在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u，∵XV⊥YZ，∴YV=VZ=12YZ=∴在Rt△XYV中，有XV=X∴正△XYZ的面积为：S=1如图，可知△AGC、△AFB、△BCH是正三角形，设Rt△ABC的三边为：AC=b，AB=C，BC=a，根据勾股定理有：a2则根据上述所推出的正三角形的面积公式，可知△AGC、△AFB、△BCH的面积分别为：34b2、3则根据上图有：S1+S5=即有S1∵a2∴S1即S1故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的面积等知识，正确识别图形是解答本题的关键．【变式4-2】（2024八年级·陕西西安·期末）如图，分别以Rt△ACB的直角边AB和斜边AC为边向外作正方形ABGF和正方形ACDE，连结EF．已知CB=6，EF=10，则△AEF的面积为（

A．63 B．83 C．24【答案】D【分析】连接CE,CF,BE,BF，设BE,CF交于点M，AC,BE交于点N，证明△ABE≌△AFCSAS，进而证明CF⊥BE，根据勾股定理得出AB2=16，AC2=52，过点A作【优尖升-详解】解：如图，连接CE,CF,BE,BF，设BE,CF交于点M，AC,BE交于点N，∵四边形ACDE,ABGF是正方形，∴AC=AE,AB=AF，∠EAC=∠FAB=90°∴∠EAC+∠CAB=∠BAF+∠CAB即∠EAB=∠CAF，∴△ABE≌△AFCSAS，∴∠ACF=∠AEB，∵∠CNE=∠CMN+∠ACF=∠NAE+∠AEB，∴∠CMN=∠NAE=90°，即CF⊥BE，∴CM2+B∴C∴BF又∵EC=2∴2A又∵AC解得：AB2=16∴AF=AB=4,AE=AC=213过点A作AT⊥EF于点T，设ET=x∴A即52−x解得：x=∴AT=∴S△AEF故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明CF⊥BE是解题的关键．【变式4-3】（2024八年级·浙江绍兴·期末）已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点O是两个底角的角平分线交点，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0,S1,A．53 B．2 C．196 【答案】C【分析】当点P在AB的左侧时，根据S1+S2+S3=116S0，可得S1=512S0，过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得BD=12BC=3，AD=4，从而得到S1=512S0=5，过点P作AB的平行线PM，过点O作OT⊥AB于点R，交PM于点T，连接OB，则OT⊥PM，可得点P的运动轨迹是直线PM，再由S△ABP=S1=12AB⋅TR=5，可得TR=2，再由点O是两个底角的角平分线交点，AD平分∠BAC，可得AD过点【优尖升-详解】解：当点P在AB的左侧时，∵S△PAB∴S1∵S1∴S1∴S1过点A作AD⊥BC于点D，∵AB=AC=5，BC=6，∴BD=12BC=3，AD∴AD=A∴S0∴S1过点P作AB的平行线PM，过点O作OT⊥AB于点R，交PM于点T，连接OB，则OT⊥PM，∵△PAB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线PM，∵S△ABP∴TR=2，∵点O是两个底角的角平分线交点，AD平分∠BAC，∴AD过点O，∴OR=OD，∵OB=OB，∴Rt△BOD≌∴BR=BD=3，∴AR=2，设OD=OR=x，则AO=4−x，在Rt△AOR中，A∴22+x即OR=3∴OT=OR+TR=7∵OP≥OT，∴OP的最小值为72当点P在AC的右侧时，同理OP的最小值为72当点P在直线BC的下方时，同理OP的最小值为196∵196∴OP的最小值为196故选：C【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答，根据题意得到点P的运动轨迹是解题的关键．【题型5由勾股定理的逆定理判断三角形形状】【例5】（2024八年级·河南许昌·期末）若a，b，c为△ABC的三条边，满足a2+bA．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】此题考查了完全平方公式，非负数的性质：偶次幂的非负性，以及勾股定理的逆定理，是一道综合性较强的试题．将已知等式适当变形是解本题的关键．利用完全平方公式化简，根据非负数之和为0，每个加数分别为0得到a，b及c值，再根据勾股定理的逆定理判定出三角形的形状即可．【优尖升-详解】解：∵aa∴a−6∴a−6=0，b−8=0，c−10=0，解得：a=6，b=8，c=10，∵a2+b∴a∴△ABC是直角三角形．故选：D．【变式5-1】（2024八年级·安徽合肥·期末）一个三角形的三边长都是整数，它的周长为12，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．以上三种情况都有可能【答案】D【分析】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等知识点，设最长边为x，另外两边之和为y，则x+y=12；根据题意求出x的取值范围是解题关键．【优尖升-详解】解：设最长边为x，另外两边之和为y，则x+y=12由三角形的三边关系得：y>x，∴x+y>2x，即：x<6∵三角形的三边长都是整数，∴123≤x，即∴4≤x<6∴x可以取4或5，当x=4时，三边只能是4，4，4，为等边三角形；当x=5时，三边有两种情况：①3，4，5，为直角三角形，②5，5，2，为等腰三角形．故选：D【变式5-2】（2024八年级·山东烟台·期末）设三角形的三边a、b、c满足a4A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定【答案】A【分析】本题考查了公式法分解因式，勾股定理的逆定理，正确分组并灵活运用公式是解题的关键．把b4、c4、2b2c【优尖升-详解】解：a===(∵a4∴(∵a、b、c是三角形的三边，∴a∴a2∴这个三角形是直角三角形，故选：A．【变式5-3】（2024八年级·河南南阳·期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c且a+b=4,ab=1,c=14，则△ABC的形状为（

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．完全平方公式的应用，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=【优尖升-详解】解：∵a+b=4，∴(a+b)∴a∵ab=1，∴a∵c∴a∴△ABC的形状为直角三角形，故选：D．【题型6由平行四边形的性质求解】【例6】（2024八年级·安徽淮北·期末）如图，点P为平行四边形ABCD外一点，连接PA，PB，PC，PD，若△PAB的面积为8，△PAD的面积为4，△PCD的面积为7，则△PBC的面积为（

）．

A．21 B．19 C．17 D．15【答案】B【分析】过P作PF⊥BA交BA延长线于点F，过P作PE⊥CD交CD延长线于点E，即EF为平行四边形ABCD边CD上的高；根据平行四边形的性质可得AB=CD,AD=BC，然后根据△PAB的面积为8，△PCD的面积为7可得四边形ABCD的面积为30；过P作PH⊥BC交AD延长线于点G，利用面积关系即可解答．【优尖升-详解】解：过P作PF⊥BA交BA延长线于点F，过P作PE⊥CD交CD延长线于点E，即EF为平行四边形ABCD边CD上的高∵平行四边形ABCD，∴AB=CD,AD=BC∵△PAB的面积为8，△PCD的面积为7，∴12AB⋅PF=8,1∴四边形ABCD的面积为：CD⋅EF=CD⋅PE+AB⋅PF=14+16=30;过P作PH⊥BC交AD延长线于点G，∵△PAD的面积为4，四边形ABCD的面积为30，∴12AD·PG=4,∴△PBC的面积为12故选B【点睛】本题主要考查了三角形的面积、平行四边形的性质等知识点，正确作出辅助线、弄清楚各图形间的关系是解答本题的关键．【变式6-1】（2024八年级·江苏无锡·期末）已知在平行四边形ABCD中，AB=32，AD=6,∠ABC=45°，点E在AD上，BE=DE，将△ABD沿BD翻折到△FBD，连接EF，则EF的长为（

A．23 B．13 C．15 【答案】B【分析】过点B作BG⊥DA交DA延长线于点G，过点E作EH⊥BF于点H，先证明△ABG是等腰直角三角形，可得AG=BG=3，设AE=x，则BE=DE=6−x，EG=x+3，在Rt△BEG中，根据勾股定理可得AE=1，BE=4，从而得到BE=5，再由折叠的性质可得∠ABD=∠FBD，BF=AB=32，再结合BE=DE，可得∠EBH=∠ABC=45°，从而得到△BEH是等腰直角三角形，可求出BH=EH=5【优尖升-详解】解：如图，过点B作BG⊥DA交DA延长线于点G，过点E作EH⊥BF于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴BG⊥BC，即∠GBC=90°，∵∠ABC=45°，∴∠ABG=45°，∴△ABG是等腰直角三角形，∴AG=BG，∵AB=32∴AG=BG=3，设AE=x，则BE=DE=6−x，EG=x+3，在Rt△BEG中，B∴32解得：x=1，∴AE=1，∴BE=4，∴BE=B∵将△ABD沿BD翻折到△FBD，∴∠ABD=∠FBD，BF=AB=32∵BE=DE，∴∠DBE=∠BDE，∵AD∥BC，∴∠BDE=∠CBD，∴∠DBE=∠CBD，∴∠ABE=∠CBF，∴∠EBH=∠ABC=45°，∴△BEH是等腰直角三角形，∴BH=EH=5∴HF=BF−BH=2∴EF=E故选：B．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，图形的折叠，作适当辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．【变式6-2】（2024八年级·江苏无锡·期末）□ABCD中，∠ABC的角平分线交线段AD于点E，DE=1，点F是BE中点，连接CF，过点F作FG⊥BC，垂足为G，设AB=x，若□ABCD的面积为8，FG的长为整数，则整数x的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．1或3【答案】C【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到AD和AB的关系，然后根据□ABCD的面积为8，FG的长为整数，从而可以得到整数x的值．【优尖升-详解】解：如图所示，延长GF交AD于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，FG⊥BC，∴AD∥BC，∠FHE=∠FGB=90°，∴∠HEF=∠GBF，∵点F是BE中点，∴EF=BF，在△HEF和△GBF中，∠FHE=∠FGB∴△HEF≌△GBFAAS∴HF=GF，∴HG=2GF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵AB=x，∴AE=x，∵DE=1，∴AD=x+1，∵□ABCD的面积为8，FG的长为整数，∴x+1·2GF=8即：x+1·GF=4∴整数x为0或1或3．当x=0时，AB=0，不符合题意，舍去；当x=1时，AB=1，AD=2，则此时平行四边形的面积不可能是8，故舍去；∴x=3．故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质和面积，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，不定方程等知识．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式6-3】（2024八年级·浙江杭州·期末）如图在▱ABCD中，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，BG．则△BEG的面积为（）A．163 B．143 C．83【答案】B【分析】如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．构建S△BEG【优尖升-详解】解：如图，取BC中点H，连接EC交AD于N，∵BC=2AB，BH=CH，∴BA=BH=CH，∴△ABH是等边三角形，∴HA=HB=HC，∴∠BAC=90°，∴∠ACB=30°，∵EC⊥BC，∠BCD=180°−∠ABC=120°，∴∠ACE=60°，∠ECM=30°，∵BC=2AB=8，∴CD=4，CN=EN=23∴EC＝43∴S△BEG=1=163=143故选：B．【点睛】此题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题．【题型7矩形、菱形、正方形中的翻折问题】【例7】（2024·陕西·期末）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=3,EF=4，则边BC的长是（）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得HF的长即为边BC的长．【优尖升-详解】解：∵∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=1同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，∴四边形EFGH为矩形，∴GH=EF，GH//∴∠GHN=∠EFM，在ΔGHN和ΔEFM中∠GNH=∠EMF∠NHG=∠MFE∴ΔGHN≅ΔEFM(AAS)，∴HN=MF=HD，∴AD=AH+HD=HM+MF=HF，HF=E∴BC=AD=5．故选：B．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，得出四边形EFGH为矩形是解题关键．【变式7-1】（2024八年级·重庆涪陵·期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将△BCE沿BE翻折至△BFE，连接DF，则DF的长度是（）A．55 B．255 C．3【答案】D【分析】由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，由面积法可求CH＝455，由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF＝2EH＝【优尖升-详解】解：如图，连接CF，交BE于H，∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°，∴BE＝BC∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，∵S△BCE＝12×BE×CH＝1∴CH＝45∴EH=CE∵CE＝DE，FH＝CH，∴DF＝2EH＝45故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键．【变式7-2】（2024八年级·山东济南·期末）如图，边长2的菱形ABCD中，∠A=60∘，点M是AD边的中点，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为(A．6 B．6−1 C．7 D．【答案】D【分析】过点M作MF⊥DC于点F，根据在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60∘，M为AD中点，得到2MD=AD=CD=2，从而得到∠FDM=60∘，∠FMD=30∘，进而利用锐角三角函数关系求出【优尖升-详解】如图所示：过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60∘，M为∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60∴∠FMD=30∴FD=1∴FM=DM×cos∴MC=F∵AM=ME=1,∴EC=MC−ME=7故选D．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及折叠的性质等知识，翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，利用勾股定理计算求解．【变式7-3】（2024八年级·江苏宿迁·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点O为矩形ABCD的对称中心，点E为边AB上的动点，连接EO并延长交CD于点F．将四边形AEFD沿着EF翻折，得到四边形A'EFD'，边A'E交边BC于点G，连接

A．18－3 B．92+37 C．12−【答案】D【分析】在EA上截取EM=EG，连接OM，证明△MOE≌△GOE，所以OM=OG，即可得OM最短时，OG也就最短，而当OM⊥AB时，OM最短，且OM=4=OG，再过点O作OH⊥BC，得OH=3，又因为OC=5，就可以根据勾股定理计算GH、HC的长，从而计算出最小面积．【优尖升-详解】解：在EA上截取EM=EG，连接OM，

由折叠得：∠MEO=∠GEO，又∵EO=EO，∴△MOE≌△GOESAS∴OM=OG，∴OM最短时，OG也就最短，而当OM⊥AB时，OM最短，此时，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴OM=1即OG的最小值是4，在△OGC中，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴OC长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，∠BCO度数也不变，是定值，∴当OG=4最小值时，ΔOGC过点O作OH⊥BC，∵点O为矩形ABCD的对称中心，

∴OH=1∴Rt△OGH中，Rt△OHC中，HC=∴GC=GH+HC=7∴△OGC面积的最小值是12故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短等知识，解题关键是找到OG的最小值．【题型8矩形、菱形、正方形中的动点问题】【例8】（2024八年级·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCO，B4,3，点D为x轴上的一个动点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接OE，则OE的最小值为（

A．1 B．1.5 C．2 D．2.4【答案】B【分析】以OA为边在OA右侧作等边△AGO，连接EG并延长交y轴于点M，过点O作OH⊥GM于点H，利用全等三角形的性质证明∠AOD=∠AGE=90°，所以∠AGM=90°，推出点E在过定点G且与AG垂直的直线上运动，即点E在直线MG上运动，求出OH的长即可解决问题．【优尖升-详解】解：如图，以OA为边在OA右侧作等边△AGO，∴∠OAG=60°，连接EG并延长交y轴于点M，过点O作OH⊥GM于点H，在矩形ABCO中，∵B4,3∴OA=BC=3，AB=OC=4，∴OA=OG=AG=3，∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴∠OAG=∠DAE=60°，∵∠OAD=∠OAG−∠DAG，∠GAE=∠DAE−∠DAG，∴∠OAD=∠GAE，在△ADO和△AEG中，AD=AE∠OAD=∠GAE∴△ADO≌△AEGSAS∴∠AOD=∠AGE=90°，∴∠AGM=90°，∴点E在过定点G且与AG垂直的直线上运动，即点E在直线MG上运动，∵△AGO是等边三角形，∴∠AGO=60°，∴∠OGH=90°−60°=30°，∵OH⊥GM，∴OH=1当点E与H不重合时，OE>OH，当点E与H重合时，OE=OH，综上所述：OE≥OH，∴OE的最小值为1.5，故选：B．

【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，30°角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．【变式8-1】（2024八年级·吉林·期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（）．A．逐渐增加 B．逐渐减小C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等【答案】D【分析】证明△ABE≌△DBF（AAS），可得AE＝DF；结合图形可知：AE+CF＝AB，AB是一定值，从而完成求解．【优尖升-详解】连接BD∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD，∵∠A＝60°∴△ABD是等边三角形∴AB＝BD，∠ABD＝60°∵DC∥AB∴∠CDB＝∠ABD＝60°∴∠A＝∠CDB∵∠EBF＝60°∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF∴∠ABE＝∠DBF∵∠A=∠BDF∠ABE=∠DBF∴△ABE≌△DBF（AAS）∴AE＝DF∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB故选：D．【点睛】本题考查了菱形、等边三角形、全等三角形的知识；求解的关键是熟练掌握菱形、等边三角形、全等三角形的性质，从而完成求解．【变式8-2】（2024八年级·河南信阳·期末）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC边上的动点，连接OE并延长交AB的延长线于点P，过点O作OQ⊥OP交CD于点F，交BC延长线于点Q，连接PQ．若点E恰好是OP中点时，则PQ的长为（

）

A．2 B．2 C．5 D．10【答案】D【分析】作OH⊥AB于H，由正方形的性质可以证明△OBP≅△OCQASA得到PO=QO，因此△OPQ是等腰直角三角形，由平行线分线段成比例定理求出PH的长，由等腰直角三角形的性质得到OH的长，由勾股定理求出OP的长，即可得到PQ【优尖升-详解】解：作OH⊥AB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴△OBC和△OAB是等腰直角三角形，∴∠BOP+∠EOC=90°，∵OQ⊥OP，∴∠QOC+∠EOC=90°，∴∠BOP=∠COQ，∵∠ABO=∠OCB=45°，∴∠OBP=∠OCQ=135°，∵OB=OC，∴△OBP≅△OCQASA∴PO=QO，∴△OPQ是等腰直角三角形，∵OH⊥AB,EB⊥AB,∴BE∥∴PB:BH=PE:OE,∵OE=PE，∴PB=BH，∵△OAB是等腰直角三角形，OH⊥AB，∴OH=BH=1∴PB=BH=1，∴PH=PB+BH=2，∴OP=O∴PQ=2故选：D．

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，关键是证明△OBP≅△OCQ，得到△OPQ是等腰直角三角形．【变式8-3】（2024八年级·浙江绍兴·期末）如图，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，已知I，J，K，L分别是边AH，BC，DE，FG上的动点，且满足

A．4+22 B．2+22 C．4+2【答案】A【分析】易得四边形IJKL为正方形，得到四边形IJKL的面积为IJ2，进而得到当IJ最大时，四边形IJKL的面积最大，即IJ=AC即为正八边形的对角线时，四边形【优尖升-详解】解：连接IK,JL，

∵正八边形，IA=JC=KE=LG，∴IJ=JK=KL=LI，IK=JL∴四边形IJKL为正方形，∴四边形IJKL的面积为IJ2，当IJ最大时，四边形∴IJ=AC即为正八边形的对角线时，四边形IJKG的面积最大，

如图，连接AE,CG交于点O，连接OB，交AC于点M，则：△AOC为等腰直角三角形，O为正八边形的中心，∴OC=OB=OA，OB垂直平分AC，∴OM=AM=2设OM=AM=x，则：OC=OB=OA=2∴BM=2在Rt△AMB中，AB2解得：x=2∴AC=2AM=2∴四边形IJKL的最大面积为AC故选A．【点睛】本题考查正多边形的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．本题的难度较大，熟练掌握相关性质，求出正八边形的边长是解题的关键．【题型9动点问题函数图像】【例9】（2014·北京·中考真题）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是(

)A．B． C．D．【答案】A【优尖升-详解】解：分析题中所给函数图像，O−E段，AP随x的增大而增大，长度与点P的运动时间成正比．E−F段，AP逐渐减小，到达最小值时又逐渐增大，排除C、D选项，F−G段，AP逐渐减小直至为0，排除B选项．故选A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．【变式9-1】（2024八年级·山东潍坊·期末）如图，在直角坐标系中，有一矩形ABCD，长AD=2，宽AB=1,AB//y轴，AD//x轴．点D坐标为3,1，该矩形边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标yp与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是(

A． B．C． D．【答案】D【分析】根据则点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4部分，当P点在AB上，当P点在BC上，当P点在CD上，点P在AD上即可得出图象．【优尖升-详解】∵矩形ABCD，长AD=2，宽AB=1,矩形边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，∴点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4部分，∴P点在AB上，此时纵坐标越来越大，最小值是1，最大值为2，P点在BC上，此时纵坐标为定值2．当P点在CD上，此时纵坐标越来越小，最大值是2，最小值为1，P点在AD上，此时纵坐标为定值1．故选：D．【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同位置时的函数关系，进而得出图象．【变式9-2】（2024八年级·安徽芜湖·期末）如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（

）A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC．从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB【答案】C【优尖升-详解】结合两幅图形分析可知，图2中函数图象的线段部分对应的是点P在⊙O上运动的情形，曲线部分对应的是点P在正方形的边上运动的情形，在图2中函数图象的最高点分别对应着点P运动到了图1中的B、C两点，由此可知与图2中函数图象对应的点P的运动路线有以下两种情况：①点P是从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CN：②点P是从D点出发，沿弧DN→线段NC→线段CB→线段BM.故选C.【变式9-3】（2024·河南平顶山·期末）如图1，在△ABC中，∠ABC=60°．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y随x变化的关系图像，其中M为曲线DE的最低点，则△ABC的面积为（

）A．43 B．433 C．2【答案】C【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短．作AD⊥BC，当动点P运动到点D时，线段AP的长度最短，此时AB+BD=23，当动点P运动到点C时，运动结束，此时AC=【优尖升-详解】解：作AD⊥BC，垂足为D，当动点P运动到点D时，线段AP的长度最短，此时点P运动的路程为23，即AB+BD=2当动点P运动到点C时，运动结束，线段AP的长度就是AC的长度，此时AC=2∵∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∴AB=2BD，∴AB+BD=3BD=23∴BD=233∴AD=A在Rt△ABD中，AC=∴CD=A∴BC=BD+CD=23∴△ABC的面积为12故选：C．【题型10一次函数性质的运用】【例10】（2024八年级·福建漳州·期末）在平面直角坐标系中，一次函数y1＝m（x+3）−1（m≠0）和A．m≥34 B．m>34 C．m≤34且m≠0 D．m<3【答案】D【分析】根据一次函数的图象和性质分别判断．【优尖升-详解】由题意可知：∵一次函数y1=mx+3一次函数y2=ax−1∵①a<0时，m=a，两直线平行时，始终有y2∴m<0．②当a>0时，设经过点(−3，−1)，(1，−1=−3k+b2=k+b，解得：k=34∴y3=∵一次函数y1=mx+3不论x取何值，始终有y2∴0<m<34∴综上解得：m<0或0<m<34即：m<34且m≠0故选：D【点睛】本题考查一次函数综合问题，充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．【变式10-1】（2024八年级·福建泉州·期末）如图，直线y=ax+b与x轴交于A点4,0，与直线y=mx交于B点2,n，则关于x的一元一次方程ax−b=mx的解为（

）A．x=2 B．x=−2 C．x=4 D．x=−4【答案】B【分析】首先，根据两直线的交点的横坐标即为联立两直线方程求解的x值，则由直线y=ax+b与直线y=mx交于点B2,n，可得交点横坐标为x=bm−a=2；其次，通过解一元一次方程ax−b=mx【优尖升-详解】解：∵y=ax+by=mx∴ax+b=mx，解得x=b∵直线y=ax+b与直线y=mx交于点B2,n∴bm−a由ax−b=mx，得x=−b∴x=−b∴关于x的一元一次方程ax−b=mx的解为：x=−2，故选：B．【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程，解题的关键是明确题意，掌握一次函数的图象与x轴交点的横坐标就是对应一元一次方程的解．【变式10-2】（2024八年级·福建福州·期末）一次函数y＝kx+b的部分自变量与相应的函数值如表：xm2﹣mynp若满足m＜1，n+p＝b2+4b+3，则n与p的大小关系为（）A．n＜p B．n≤p C．n＞p D．n≥p【答案】A【分析】先将表格中两组x，y代入一次函数解析式可得n=km+bp=k【优尖升-详解】解：将x=m，y=n，x=2-m，y=p，代入一次函数解析式y＝kx+b可得：n=km+bp=k所以n-p=km+b−k2−mn+p=km+b+k2−m因为n+p＝b2+4b+3，所以2k+2b=b2k=b2k=b2k=b2k=b+1因为b+12所以2k≥2，即k≥1，因为m<1，所以m-1<0，所以n-p=2km−1所以n<p．故选A．【点睛】本题主要考查一次函数性质和作差法比较大小，解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象性质和作差法比大小．【变式10-3】（2024·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将函数y=3x的图象向上平移m个单位长度，使其与y=−3x+6的交点在位于第二象限，则m的取值范围为（

）A．m<6 B．m>6 C．m<2 D．m>2【答案】B【分析】先求出平移后的函数解析式，再联立它与另一个函数解析式求出它们的交点坐标，根据第二象限的坐标特点为−,+，得到关于m的不等式组，解这个不等式组即可得出m的取值范围．【优尖升-详解】解：将函数y=3x的图象向上平移m个单位长度后的图象的解析式为y=3x+m，联立后可以得到：y=3x+my=−3x+6解得x=1−m因为它们的交点在第二象限，∴x<0y>0即解得m>6m>−6∴m>6，故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移以及求图象的交点的问题，解决本题需要建立关于x和y的二元一次方程组和关于m的不等式组，要求学生能熟练运用平移的规则得到平移后的函数解析式，同时能联立这两个解析式求交点坐标，最后还需要根据交点坐标的特征建立不等式组求出其中的字母参数的取值范围，整个过程对学生的计算能力有较高的要求．【题型11一次函数中的行程问题】【例11】（2024·重庆九龙坡·期末）甲乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车从A地匀速驶向B地，乙车从B地匀速驶向A地．两车之间的距离y（单位：km）与两车行驶的时间x（单位：h）之间的关系如图所示，已知甲车的速度比乙车快20km/h．下列说法错误的是（

）A．A、B两地相距360km B．甲车的速度为100km/hC．点E的横坐标为185 D．当甲车到B地时，甲乙两车相距280【答案】D【分析】由函数图像可知：A、B两地相距360km，故A正确；设乙车的速度为xkm/h，则甲车的速度为(x+20)km/ℎ，根据函数图像可求出乙车的速度为80km/h，则甲车的速度为100km/h，故B正确；点E所对的横坐标是甲车到达B地的时间，点E横坐标为360100相遇之后，甲走的路程为：100×85=160km，乙走的路程为：80×85【优尖升-详解】解：由函数图像可知：A、B两地相距360km，故A正确；设乙车的速度为xkm/h，则甲车的速度为(x+20)km/ℎ，由函数图像可知：经过2小时，甲乙相遇，∴2(x+20+x)=360，解得：x=∴乙车的速度为80km/h，则甲车的速度为100km/h，故B正确；分析可知点E所对的横坐标是甲车到达B地的时间，∴点E横坐标为360100故C正确；甲乙相遇时，甲走的路程为：100×2=200km，乙走的路程为：80×2=160km，相遇之后，甲还需要再走160km才能到达B地，故还需用时160100此时甲走的路程为：100×85=160km∴当甲车到B地时，甲乙两车相距288km．故D错误；故选：D．【点睛】本题考查一次函数的实际应用：行程问题，一元一次方程的实际应用，解题的关键是结合函数图象获取信息．【变式11-1】（2024八年级·重庆·期末）周末老张和小胜相约从各自的家出发去体育馆打羽毛球，且老张家，小胜家，体育馆顺次在同一直线上，老张先从家出发4分钟后来到小胜家和小胜汇合，汇合时间忽略不计，两人以老张的速度一起走了4分钟后，小胜发现自己装备带错了需回家换装备，于是立即加速回家用了少许时间取了装备后又以加速后的速度赶往体育馆，老张仍以原速前行，结果小胜比老张提前1分钟到达体育馆．若老张与小胜两人和体育馆之间的距离y（米）与小胜出发的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．则以下说法错误的是（

）．A．小胜加速后的速度为250米/分钟B．老张用了24分钟到达体育馆C．小胜回家后用了0.6分钟取装备D．小胜取了装备后追上老张时距离老张家3025米【答案】D【分析】根据题意可以在图上分辨出老张和小胜的函数图像，根据6.4分钟后的图像曲线可以计算出小张加速后的速度，从而判断出A选项；再根据共行4分钟，可以计算出老张的速度，从而算出老张的总用时，判断出B选项；根据老张总共用时，可以计算出小胜赶往