北师大版2019选择性必修第一册专题5.5计数原理(基础巩固卷)(原卷版+解析)

专题5.5计数原理（基础巩固卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022秋·河南南阳·高二校联考阶段练习）(x−1x)A．-15 B．15 C．6 D．-62．（2020·全国·统考高考真题）(x+y2x)(x+y)5的展开式中xA．5 B．10C．15 D．203．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）二项式3x+1xn的展开式中所有二项式系数之和为64A．9 B．15 C．135 D．5404．（2021·全国·高二专题练习）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（

）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种5．（2022·全国·高三专题练习）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（

）A．24 B．18 C．12 D．66．（2021秋·江苏泰州·高二统考期中）“精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略．某县为响应国家政策，选派了5名工作人员到A,B,C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（

）A．25种 B．60种 C．150种 D．540种7．（2021秋·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期末）两个班级的排球队进行排球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各队输赢局次的不同视为不同情形）共有（

）A．6种 B．12种 C．20种 D．30种8．（2022秋·全国·高二期末）某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过6个转运环节，其中第1，6个环节有a，b两种运输方式，第2，3，5个环节有b，c两种运输方式，第4个环节有c，d，e，f四种运输方式，则快件从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有不同的方法种数是（

）A．58 B．60 C．77 D．78多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2022秋·广东东莞·高二校联考期中）若C5x=A．1 B．2 C．3 D．410．（2022·高二课时练习）对于m,n∈N∗关于下列排列组合数，结论正确的是（A．Cnm=C．Anm=11．（2022·高二单元测试）已知x+13xnA．84x2 B．1x3 C．12．（2022·全国·高三专题练习）将甲､乙､丙､丁4名志愿者分别安排到A,B,C三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（

）A．共有18种安排方法B．若甲､乙被安排在同社区，则有6种安排方法C．若A社区需要两名志愿者，则有24种安排方法D．若甲被安排在A社区，则有12种安排方法填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2021·陕西汉中·统考模拟预测）已知二项式x+a5展开式中，x2项的系数为80，则14．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．15．（2022秋·高二课时练习）国庆节期间，某市举行―项娱乐活动，需要从5名男大学生志愿者及3名女大学生志愿者中选出6名分别参与A，B，C三个服务项目，每个项目需要2人，其中A项目需要男志愿者，B项目需要1名男志愿者及1名女志愿者，则不同的选派方法种数为_________________．16．（2021秋·江苏南京·高二金陵中学校考开学考试）若对任意实数x，y都有(x−2y)5=a0(x+2y)5+解答题（共6小题，满分70分）17．（2022·全国·高三专题练习）解下列不等式或方程(1)A(2)118．（2022春·甘肃兰州·高二校考期中）（1）求x2（2）ax−x29的展开式中x19．（2022·高二课时练习）某电视台连续播放6个广告，其中有3个商业广告、2个宣传广告和1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，宣传广告与公益广告不能连续播放，2个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？20．（2023·全国·高三专题练习）相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位中．(1)若要求有3辆车不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？(2)若要求所有车都不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？21．（2022·全国·高三专题练习）某校准备参加高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1～4班，每班至少一个名额.(1)不同的分配方案共有多少种？(2)若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？22．（2021春·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）已知f(x)=(2x−3)n展开式的二项式系数和512，且（1）求a2（2）求a1+专题5.5计数原理（基础巩固卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022秋·河南南阳·高二校联考阶段练习）(x−1x)A．-15 B．15 C．6 D．-6【答案】D【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出指定项系数作答.【详解】(x−1由3−r=2得r=1，于是得T2所以展开式中含x2故选：D2．（2020·全国·统考高考真题）(x+y2x)(x+y)5的展开式中xA．5 B．10C．15 D．20【答案】C【分析】求得(x+y)5展开式的通项公式为Tr+1=C5rx5−ryr（r∈N且r≤5），即可求得x+y【详解】(x+y)5展开式的通项公式为Tr+1=C5所以x+y2xxTr+1在xTr+1=C5rx6−ry在y2xTr+1=C5r所以x3y故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.3．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）二项式3x+1xn的展开式中所有二项式系数之和为64A．9 B．15 C．135 D．540【答案】C【分析】根据所有二项式系数之和为64，求出n=6，再根据通项公式可求出结果.【详解】由二项式3x+1xn的展开式中所有二项式系数之和为64，得2所以Tk+1=C令6−32k=0所以二项式的展开式中常数项为36−4⋅C故选：C．4．（2021·全国·高二专题练习）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（

）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种【答案】D【分析】5位同学每位必须从两个课外活动小组报其中一个小组，每位同学均有2种可能性，利用分步计数原理即可求出报名方法总数.【详解】如果规定每位同学必须报名，则每个同学都有2种选择，根据分步乘法计数原理，知不同的报名方法共有25故选：D．5．（2022·全国·高三专题练习）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（

）A．24 B．18 C．12 D．6【答案】C【分析】由分步乘法计数原理结合排列直接求解即可.【详解】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有2种可能，从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有A32=3×2=6故选：C．6．（2021秋·江苏泰州·高二统考期中）“精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略．某县为响应国家政策，选派了5名工作人员到A,B,C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（

）A．25种 B．60种 C．150种 D．540种【答案】C【分析】先把5名工作人员分成3组，再安排到3个村即可求出结果.【详解】把5个人分成3组，有两类分法：①5=1+1+3，则有C51C41故选：C.7．（2021秋·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期末）两个班级的排球队进行排球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各队输赢局次的不同视为不同情形）共有（

）A．6种 B．12种 C．20种 D．30种【答案】C【分析】由题意知比赛的场次可能有{3,4,5}场，分别讨论其中一个班在不同场次下赢得比赛的可能情况再乘以2，将它们加总即为所有可能出现的情形数.【详解】两个班级比赛先赢三局者获胜，决出胜负为止，则比赛的场次可能有{3,4,5}场，1、若共比3场，则其中一个班连赢3场，共有2种情况，2、若共比4场，则其中一个班赢了前3场中2场及最后一场，共有2C3、若共比5场，则其中一个班赢了前4场中2场及最后一场，共有2C∴共有2+2C故选：C8．（2022秋·全国·高二期末）某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过6个转运环节，其中第1，6个环节有a，b两种运输方式，第2，3，5个环节有b，c两种运输方式，第4个环节有c，d，e，f四种运输方式，则快件从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有不同的方法种数是（

）A．58 B．60 C．77 D．78【答案】B【分析】结合条件利用分步加法计数原理和分步乘法计数原理解决.【详解】若第4环节使用c运输方式，由条件可得快件从甲送到乙至多使用3种运输方式，故第四环节必须使用d，e，f三种运输方式中的1种，若第1,6两个环节都使用b运输方式，从快件甲送到乙至多会使用3种运输方式，故从甲送到乙要使用4种运输方式，则满足条件的运输方法可分为2类，第一类：第一和第六环节都用a运输方式的运输顺序，若第一和第六环节都用a，则第2,3,5环节必须使用两种不同的运输方式，第4环节必须使用d，e，f中的一种运输方式，故满足条件的运输方式有1×(8−2)×3种，第二类：第一和第六环节运输方式不相同的运输顺序，若第1,6环节的运输方式不同，则第2,3,5环节只需至少一个环节使用c运输方式，第4环节必须使用d，e，f中的一种运输方式，故满足条件的运输方式有2×(8−1)×3种，由分类加法计数原理可得满足条件的运输方式有18+42种，即60种.故选：B.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2022秋·广东东莞·高二校联考期中）若C5x=A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】由组合数的性质可以列出方程，求出正整数x的值【详解】由题意得：x=2x−1或x+2x−1=5，解得：x=1或x=2，经过检验，均符合题意.故选：AB10．（2022·高二课时练习）对于m,n∈N∗关于下列排列组合数，结论正确的是（A．Cnm=C．Anm=【答案】ABC【分析】利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答.【详解】对于A，由组合数的性质知，Cn对于B，Cnm−1+对于C，因Cnm=对于D，因An+1m+1A故选：ABC11．（2022·高二单元测试）已知x+13xnA．84x2 B．1x3 C．【答案】AB【分析】由题意可得Cn2=4【详解】由题意，得Cn即nn−12=4n，解得n=9或n=0通项Tr+1=C根据题意，得27−5r6∈Z，解得r=3或∴展开式里所有x的有理项为T4=84x故选：AB12．（2022·全国·高三专题练习）将甲､乙､丙､丁4名志愿者分别安排到A,B,C三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（

）A．共有18种安排方法B．若甲､乙被安排在同社区，则有6种安排方法C．若A社区需要两名志愿者，则有24种安排方法D．若甲被安排在A社区，则有12种安排方法【答案】BD【分析】A选项，先分组再分配，求出安排方法；B选项，先安排甲和乙，再把剩余两个社区和两名志愿者进行全排列即可；C选项，先安排A社区，再把剩余两个社区和两名志愿者进行全排列即可；D选项，分两种情况，A社区安排了两名志愿者和A社区只安排了甲志愿者，求出两种情况下的安排方法，再相加即可.【详解】对于A：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法为：C42A对于B：甲､乙被安排在同社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，剩余两个社区和剩余两名志愿者进行全排列，所以安排方法为：C31A对于C：A社区需要两名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区，再把剩余2名志愿者和2个社区进行全排列，所以安排方法为C4对于D：甲安排在A社区，分为两种情况，第一种为A社区安排了两名志愿者，所以从剩余3名志愿者中选择一个，分到A社区，再把剩余2名志愿者和2个社区进行全排列，安排方法有C3第二种是A社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为两组，再分配到剩余的两个社区中，此时安排方法有C3所以一共有安排方法为C3故选：BD.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2021·陕西汉中·统考模拟预测）已知二项式x+a5展开式中，x2项的系数为80，则【答案】2【分析】根据二项展开式的通项公式，将x2项的系数表达式求出等于80再求解关于a的方程即可．【详解】x+a5的展开式的通项为T令5−r=2，得r=3，则x2项的系数C53故答案为：2．14．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．【答案】720【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】原来7个节目，形成8个空位，安排一位老校友；8个节目，形成9个空位，安排一位老校友；9个节目，形成10个空位，安排一位老校友.所以不同的安排方式有8×9×10=720种.故答案为：72015．（2022秋·高二课时练习）国庆节期间，某市举行―项娱乐活动，需要从5名男大学生志愿者及3名女大学生志愿者中选出6名分别参与A，B，C三个服务项目，每个项目需要2人，其中A项目需要男志愿者，B项目需要1名男志愿者及1名女志愿者，则不同的选派方法种数为_________________．【答案】540【分析】根据分步计数，计算安排A项目、B项目、C项目的选派方法数，应用乘法公式求总选派方法数.【详解】1、A项目选派方法数有C52、B项目选派方法数有C33、C项目选派方法数有C4不同的选派方法种数为C5故答案为：54016．（2021秋·江苏南京·高二金陵中学校考开学考试）若对任意实数x，y都有(x−2y)5=a0(x+2y)5+【答案】－243【分析】利用赋值法可得答案.【详解】根据系数之间的关系，令x+2y=1，y=1，∴x=−1，y=1，∴a0故答案为：－243．解答题（共6小题，满分70分）17．（2022·全国·高三专题练习）解下列不等式或方程(1)A(2)1【答案】(1)x=8(2)m=2【分析】（1）先求出2≤x≤8，解不等式得到7<x<12，从而得到答案；（2）先得到0≤m≤5，解方程得到m=21或2，舍去不合题意的根.（1）由题意得：0≤x≤80≤x−2≤8，解得：2≤x≤8A8x<6解得：7<x<12，结合2≤x≤8，可得：x=8（2）1C5m即m!5−m解得：m=21（舍去）或2故方程的解为：m=218．（2022春·甘肃兰州·高二校考期中）（1）求x2（2）ax−x29的展开式中x【答案】（1）2116；（2）【分析】求得二项展开式的通项，结合题意确定r的取值，代入，即可求解.【详解】（1）由题意，二项式x2−1令18−3r=0，可得r=6，T7所以展开式的常数项为2116（2）由二项式ax−x令32r−9=3，解得因为ax−x29的展开式中x3的系数为19．（2022·高二课时练习）某电视台连续播放6个广告，其中有3个商业广告、2个宣传广告和1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，宣传广告与公益广告不能连续播放，2个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？【答案】108种【分析】结合分类加法、分步乘法计数原理计算出正确答案.【详解】用1，2，3，4，5，6表示广告的播放顺序，则完成这件事有3类方法．第1类，宣传广告与公益广告的播放顺序是2，4，6．分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式；第2类，宣传广告与公益广告的播放顺序是1，4，6．分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式；第3类，宣传广告与公益广告的播放顺序是1，3，6．同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式，由分类加法计数原理，得6个广告不同的播放方式共有36+36+36=108种．20．（2023·全国·高三专题练习）相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位中．(1)若要求有3辆车不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？(2)若要求所有车都不得停在原来的车位中，有多少种不同的停法？【答案】(1)8(2)9【分析】（1）利用分步乘法计数原理直接计算即可；（2）利用分步乘法计数原理直接计算即可.（1）可分成两步完成：第一步，先选出停在原来车位的那辆车，有C4第二步，停放剩下的3辆车，将剩余3辆车分别编号为A，B，C，将剩余3个停车位分别编号为一、二、三，设A车先选停车