北师大版2024-2025学年九年级数学上册强化提分系列专题2.4二次根式【十大题型】学案(学生版+解析)

专题2.4二次根式【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1辨别二次根式】 1【题型2二次根式有意义的条件】 2【题型3求二次根式的值】 2【题型4由二次根式的非负性求字母的值】 3【题型5由二次根式的非负性求字母的的取值范围】 3【题型6由二次根式的值求参数】 3【题型7根据二次根式是整数求字母的值】 4【题型8逆用二次根式的性质在实数范围内分解因式】 4【题型9根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 4【题型10复合型二次根式的化简求值】 4知识点1：二次根式的概念形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做二次根号，a叫做被开方数.【题型1辨别二次根式】【例1】（23-24八年级下·湖北随州·期末）下列式子中，是二次根式的是（

）A．π B．35 C．32 【变式1-1】（23-24八年级下·河北唐山·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A．−3 B．x2+0.1 C．31−a【变式1-2】（23-24八年级上·重庆万州·期末）下列各式中，属于二次根式的是（

）A．2x B．x+12x C．5 D．【变式1-3】（23-24八年级下·甘肃武威·阶段练习）在式子3、x2+1、a+1a<−3、yA．2个 B．3个 C．4个 D．5个知识点2：二次根式有意义的条件(1)二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：a≥0【题型2二次根式有意义的条件】【例2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若x=3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（

）A．x−1 B．12−x C．x−4 D．【变式2-1】（24-25八年级上·全国·假期作业）“△”表示的是一个二次根式，则“△”不可能是（）A．－1 B．4 C．2 D．8【变式2-2】（23-24八年级下·广东惠州·期中）若代数式12−x有意义，则实数x的取值范围是（

A．x≠2 B．x<2 C．x>2 D．x≥2【变式2-3】（23-24八年级下·四川绵阳·阶段练习）函数y=12−x−x+1自变量A．

B．

C．

D．

知识点3：二次根式的性质性质1：a2=a（a≥0性质2：a2=a=a（a≥0）【题型3求二次根式的值】【例3】（2024·河北张家口·八年级期末）若a=10，则计算200a2A．205 B．±205 C．±1002【变式3-1】（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当x=−2时，二次根式−3x+10的值为（

）A．2 B．±2 C．4 D．±4【变式3-2】（23-24八年级下·四川绵阳·期末）将一次函数y=kx+b的图象向上平移9个单位得到直线y=3x+6，则−kb的值为（

）A．3 B．36 C．±3 D．【变式3-3】（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）当a为时，2a+1＋1的值最小，为；【变式7-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）若36n是整数，则整数n的所有可能的值为【变式7-2】（2023·河南周口·八年级期末）若m6属于真分数，任意写出一个符合条件的m的值【变式7-3】（23-24八年级下·辽宁营口·阶段练习）12−n是一个正整数，则n的最小正整数是．【题型8逆用二次根式的性质在实数范围内分解因式】【例8】（23-24八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内分解因式：x2+8x﹣11＝．【变式8-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）将3x2−4【变式8-2】（23-24八年级下·全国·课后作业）在实数范围内分解因式：(1)x2(2)x3(3)4x(4)x2【变式8-3】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在实数范围内分解因式：x4−9【题型9根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】【例9】（23-24八年级下·湖北荆门·阶段练习）已知xy=3，则yxy【变式9-1】（23-24八年级下·北京昌平·期中）数轴上表示a，b两个数的点的位置如图所示：化简：(a−b)2【变式9-2】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若6，8，m为三角形的三边长，则化简2−m2+m的结果为【变式9-3】（23-24八年级上·上海嘉定·阶段练习）化简：3a2【题型10复合型二次根式的化简求值】【例10】（23-24八年级下·云南昆明·期中）有这样一类题目：将a+2b化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2=a且mn=b，则将a+2(1)例如，5+26∴5+2(2)请仿照上例化简：11−230【变式10-1】（23-24八年级下·山东潍坊·期中）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．双层二次根式的化简二次根式中有一类带双层根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．例如：化简3+22，先思考1+3+32通过计算，我还发现设a+b2=m+n22=m+n2（其中m，n，a，b这样，我就找到了一种把部分a+b2任务：(1)文中的“根据1”是________，b=_______；(2)根据上面的思路，化简：14−65(3)已知a+43=x+23，其中a，x均为正整数，求a【变式10-2】（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）(1)化简：6−25(2)计算：3−22【变式10-3】（23-24八年级下·江西新余·期中）化简：(1)12−235(2)5−24(3)4+15专题2.4二次根式【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1辨别二次根式】 1【题型2二次根式有意义的条件】 3【题型3求二次根式的值】 5【题型4由二次根式的非负性求字母的值】 6【题型5由二次根式的非负性求字母的的取值范围】 8【题型6由二次根式的值求参数】 10【题型7根据二次根式是整数求字母的值】 11【题型8逆用二次根式的性质在实数范围内分解因式】 13【题型9根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 15【题型10复合型二次根式的化简求值】 17知识点1：二次根式的概念形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做二次根号，a叫做被开方数.【题型1辨别二次根式】【例1】（23-24八年级下·湖北随州·期末）下列式子中，是二次根式的是（

）A．π B．35 C．32 【答案】D【分析】本题考查了二次根式的定义，熟记“形如aa≥0【详解】解：A、π不是二次根式，不符合题意；B、35C、32D、3是二次根式，符合题意；故选：D【变式1-1】（23-24八年级下·河北唐山·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A．−3 B．x2+0.1 C．31−a【答案】B【分析】根据二次根式的概念，形如aa≥0【详解】A、−3，含有二次根号，但被开方数是负数，不是二次根式；B、x2+0.1，含有二次根号，且被开方数C、31−aD、x+1含有二次根号，但当x<−1时，x+1<0，不是二次根式．【点睛】本题考查了二次根式的概念，正确理解二次根式有意义的条件是解答本题的关键．【变式1-2】（23-24八年级上·重庆万州·期末）下列各式中，属于二次根式的是（

）A．2x B．x+12x C．5 D．【答案】C【分析】根据二次根式的定义逐项分析判断即可，形如a(a≥0)【详解】解：A.2x不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意；B.x+12xC.5是二次根式，故该选项正确，符合题意；D.3x故选C【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键．【变式1-3】（23-24八年级下·甘肃武威·阶段练习）在式子3、x2+1、a+1a<−3、yA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】此题主要考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义：一般地，我们把形如aa≥0【详解】解：3、x2+1、、y2当a<−3，a+1<0，则a+1无意义，综上，是二次根式的有4个，故选：D．知识点2：二次根式有意义的条件(1)二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：a≥0【题型2二次根式有意义的条件】【例2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若x=3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（

）A．x−1 B．12−x C．x−4 D．【答案】A【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：根号下的数大于等于零，是解题的关键，根据二次根式有意义的条件逐一判断即可得到答案．【详解】A、x−1有意义的条件是x−1≥0，则x≥1，x=3能使二次根式有意义，故此选项符合题意；B、12−x有意义的条件是12−x≥0，则x≤2C、x−4有意义的条件是x−4≥0，则x≥4，x=3不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意；D、−2x有意义的条件是−2x≥0，则x≤0，x=3不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意；故选：A．【变式2-1】（24-25八年级上·全国·假期作业）“△”表示的是一个二次根式，则“△”不可能是（）A．－1 B．4 C．2 D．8【答案】A【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式的被开方数大于等于零成为解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得△≥0，据此即可解答．【详解】解：∵“△”表示的是一个二次根式，∴△≥0，∴A选项中−1不满足△≥0，符合题意．故选：A．【变式2-2】（23-24八年级下·广东惠州·期中）若代数式12−x有意义，则实数x的取值范围是（

A．x≠2 B．x<2 C．x>2 D．x≥2【答案】B【分析】根据分式有意义的条件2−x≠0，形如aa≥0的式子叫作二次根式解答．本题考查了二次根式有意义条件，正确理解2−x≥0【详解】根据题意，得2−x≠0，且2−x≥0，解得x≤2，且x≠2，故x<2，故选B．【变式2-3】（23-24八年级下·四川绵阳·阶段练习）函数y=12−x−x+1自变量A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本题考查了求函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件及分式有意义的条件、一元一次不等式组的解集在数轴上的表示．利用二次根式有意义的条件及分式有意义的条件即可求得x>1，把解集在数轴上表示出来即可求解．【详解】解：由题意得：2−x>0x+1≥0解得：−1≤x<2，把−1≤x<2在数轴上表示为：

，知识点3：二次根式的性质性质1：a2=a（a≥0性质2：a2=a=a（a≥0）【题型3求二次根式的值】【例3】（2024·河北张家口·八年级期末）若a=10，则计算200a2A．205 B．±205 C．±1002【答案】A【分析】本题考查二次根式的性质和化简，先根据a=10求出a【详解】∵a=∴a∴200故选：A．【变式3-1】（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当x=−2时，二次根式−3x+10的值为（

）A．2 B．±2 C．4 D．±4【答案】C【分析】本题考查求二次根式的值，先将x=−2代入，再利用二次根式的性质化简求解即可．【详解】当x=−2时，−3x+10=故选：D．【变式3-2】（23-24八年级下·四川绵阳·期末）将一次函数y=kx+b的图象向上平移9个单位得到直线y=3x+6，则−kb的值为（

）A．3 B．36 C．±3 D．【答案】A【分析】先根据平移的性质和规律求出k、b，然后把k、b的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵将一次函数y=kx+b的图象向上平移9个单位得到直线y=3x+6，∴k=3，b=−3，∴−kb=故选：A．【点睛】本题考查了直线的平移和二次根式的求值运算，直线的平移不改变k的值，遵循上加下减、左加右减的规律，熟练掌握上述知识是关键．【变式3-3】（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）当a为时，2a+1＋1的值最小，为；（2）当a为时，4−(a+2)2的值最大，为【答案】−121【分析】本题主要考查二次根式的性质：（1）根据2a+1≥0即可求出a（2）根据a+22≥0即可求出【详解】解：（1）∵2a+1≥0∴2a+1+1≥1∴2a+1+1此时2a+1=0，解得a=−1所以，当a=−12时，故答案为：−1（2）∵a+22∴4−a+2∴4−a+2此时a+22=0，解得所以，当a=−2时，4−a+2故答案为：−2，2【题型4由二次根式的非负性求字母的值】【例4】（23-24八年级下·浙江·阶段练习）已知2012−a+a−2013=a，则a−A．2011 B．2012 C．2013 D．2014【答案】C【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子aa≥0叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的被开方数是非负数、绝对值的计算法则求得a−2013的值，将其代入求值即可．【详解】解：∵2012−a+∴a−2013≥0，∴a≥2013，则2012−a<0，∴2012−a+∴a−2013=2012∴a−2013=2012∴a−2012故选C．【变式4-1】（23-24八年级上·湖北十堰·期末）已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足a=5b−6−412−2b【答案】15【分析】本题考查了二次根式的意义、三角形三边关系、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．【详解】解：由a=5则b−6≥0,12−2b≥0即b≥6,b≤6∴b=6∴a=5a、b分别为等腰三角形的两条边长∵3+3=6故该等腰三角形是以b=6为腰，a=3为底故周长为：6+6+3=15故答案为：15．【变式4-2】（23-24八年级下·安徽池州·期末）已知：2x+y+2027+x+2y−2024=【答案】1【分析】题目主要考查被开方数的非负性，不等式组及二元一次方程组，根据题意得出(m−n)−2024≥02024−(m−n)≥0，继而得出m−n=2024，2x+y+2027=0【详解】解：由题意可知：(m−n)−2024≥0∴(m−n)−2024=0，即m−n=2024．且2x+y+2027+∴2x+y+2027=0x+2y−2024=0①+②÷3∴(x+y)【变式4-3】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）已知3x−6+6−3x+y=2024，则2024xyA．20243 B．20242 C．2024 【答案】B【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据非负性求出x、y的值即可得到答案．【详解】解：由题意得：3x−6≥06−3x≥0解得x=2，∵2x−6+∴y=2024，∴2024xy故选B．【题型5由二次根式的非负性求字母的的取值范围】【例5】（23-24八年级下·湖北恩施·期末）点(m,n)在第一象限，m，n均为整数，且满足n=53m−1−3−mA．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据二次根式的非负性列出不等式组，解不等式组之后依据m，n均为整数代入求值就能求出m，n的值，再计算m+n即可．【详解】解：∵n=5∴{5解不等式①，得：m≥3解不等式②，得：m≤3∴原不等式组的解集为35∵m为整数，∴m=1或2或3．又∵n为整数，∴当m=3时，n=2，∴m+n=5，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的非负性和解不等式组，依据限制条件求出相应的参数的值是解题的关键．【变式5-1】（2024八年级下·广东·专题练习）若实数m满足m−12=1−m，则m的取值范围是【答案】m≤1/1≥m【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解a2【详解】解：由题意可知：m−1≤0，解得：m≤1，故答案为：m≤1．【变式5-2】（23-24八年级下·四川自贡·期中）如果a+a2−6a+9A．a≤0 B．a≤3 C．a≥−3 D．a≥3【答案】B【详解】∵a+a∴a2−6a+9∴a−3≤0，∴a≤3.故选B.【变式5-3】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若a−a2=−2a，则【答案】a⩽0【分析】根据最简式的结果为2a，可知a的取值为非正时满足条件．【详解】解：∵=a−=−2a∴a⩽0，故答案为a⩽0．【点睛】本题主要考查将根式化为最简二次根式，解题关键为去根式要考虑其值究竟为非正还是非负．【题型6由二次根式的值求参数】【例6】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若31×53×A．40 B．50 C．60 D．70【答案】C【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键．先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程2n+1=121，解一元一次方程即可得到答案．【详解】解：31∵31∴2n+1=11，即2n+1=121，解得故选：D．【变式6-1】（23-24八年级上·河南开封·期末）1−a＝2，则a＝．【答案】−3【分析】首先根据二次根式有意义的条件得到a≤1，再根据算术平方根的定义求解即可得出结果．【详解】解：∵1−a=2∴{1−a≥01−a=4，解得故答案为：a=−3．【点睛】本题考查解方程，涉及到二次根有意义的条件和算术平方根的定义，熟练掌握二次根式的定义及性质是解决问题的关键．【变式6-2】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知x=3,那么x2【答案】81【分析】先求出x值，再求平方即可．【详解】解：∵x=3∴x=9，∴x2故答案为：81．【点睛】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的意义和运算方法是正确求解的基本方法．【变式6-3】（2023八年级下·江苏·周测）已知a为整数，且满足a−1<5<a+1，则a的值为【答案】25【分析】利用二次根式的性质把5写成二次根式的形式，再解不等式组求出a的范围得解．【详解】解：∵5=25∴a−1<∴24<a<26，又∵a为整数，∴a=25．故答案为：25．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质和不等式组的解法是解决本题的关键．【题型7根据二次根式是整数求字母的值】【例7】（23-24八年级上·河北邯郸·期中）已知6n+4是整数，则正整数n的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据6n+4是整数，n>0，推出6n+4是完全平方数，设6n+4=m2，得到6n=m2−4=m+2m−2，根据m+2与m−2同奇同偶，m+2=6，m−2=n，或m−2=6，m+2=n【详解】∵6n+4是整数，且n>0，∴6n+4是完全平方数，设6n+4=m2（则6n=m∵m+2与m−2同奇同偶，∴m+2=6m−2=n，或m−2=6∴m=4n=2，或m=8∴n=2，∴n的最小正整数值是2．故选：A．【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组．【变式7-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）若36n是整数，则整数n的所有可能的值为【答案】1，4，9，36【分析】36n是整数，则36n≥0，且36【详解】解：∵36n∴36n≥0，且∴①36n=1，即②36n=4，即③36n=9，即④36n=36，即综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36．故答案是：1，4，9，36．【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解36n【变式7-2】（2023·河南周口·八年级期末）若m6属于真分数，任意写出一个符合条件的m的值【答案】25（答案不唯一）【分析】m6属于真分数，则m<6是整数，且不能为【详解】∵m6∴m<6∴可以取m=5，即m=25故答案为：25（答案不唯一）．【点睛】本题考查二次根式的性质，理解真分数的定义是解题的关键．【变式7-3】（23-24八年级下·辽宁营口·阶段练习）12−n是一个正整数，则n的最小正整数是．【答案】3【分析】根据二次根式的定义可得12−n≥0，解得n≤12，再根据12−n是一个正整数，可得12−n=1或4或9，即可得到答案．【详解】解：由二次根式的定义可得12−n≥0，解得：n≤12，∵12−n是一个正整数，∴12−n=1或4或9，解得：n=11或8或3，∴n的最小正整数是3，故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得12−n=1或4或9是解题的关键．【题型8逆用二次根式的性质在实数范围内分解因式】【例8】（23-24八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内分解因式：x2+8x﹣11＝．【答案】x+4+33x+4−3【分析】先将x2+8x配方，然后根据平方差公式求解即可．【详解】解：x2+8x﹣11＝x2+8x+16﹣16﹣11＝（x+4）2﹣27＝（x+4+33）（x+4﹣33）．故答案为：（x+4+33）（x+4﹣33）．【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握公式法分解因式是解答的关键．【变式8-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）将3x2−4【答案】3【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：3故答案为：3x+2【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解常用的方法是解题关键【变式8-2】（23-24八年级下·全国·课后作业）在实数范围内分解因式：(1)x2(2)x3(3)4x(4)x2【答案】(1)x+(2)x(3)2x+(4)x−【分析】（1）首先将7化为72（2）首先提取公因式x，将5化为52（3）首先将4x2化为2x2（4）首先将3化为32【详解】（1）解：x2−7=（2）解：x3−5x（3）解：4x2−11=（4）解：x2−23【点睛】此题主要考查利用二次根式的性质进行分解因式，熟练掌握，即可解题．【变式8-3】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在实数范围内分解因式：x4−9【答案】(x+2)(x−2)(x+【分析】先把x2【详解】x=(=(=(x+2)(x−2)(x+故答案为(x+2)(x−2)(x+【点睛】本题考查实数范围内分解因式，实数范围内分解因式主要利用a=(【题型9根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】【例9】（23-24八年级下·湖北荆门·阶段练习）已知xy=3，则yxy【答案】±2【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论【详解】求解．解：∵xy=3，∴x与y同号，①当x>0，y>0时，原式=y⋅===23②当x<0，y<0时，原式=y⋅=−=−=−23故答案为：±23【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件．【变式9-1】（23-24八年级下·北京昌平·期中）数轴上表示a，b两个数的点的位置如图所示：化简：(a−b)2【答案】2【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、数轴，正确得出a，b的符号是解题关键．观察数轴可得−2<a<−1,1<b<2，从而得到a−b<0,a+1<0,b−1>0，再根据二次根式的性质化简，即可求解．【详解】解：由数轴可得−2<a<−1,1<b<2，∴a−b<0,a+1<0,b−1>0，∴(a−b)==−a+b+a+1−b+1=2．【变式9-2】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若6，8，m为三角形的三边长，则化简2−m2+m的结果为【答案】2m−2/−2+2m【分析】本题考查了三角形的三边关系及二次根式的性质，掌握三角形的三边关系及二次根式的性质是解题的关键．根据三角形的三边关系确定m的取值范围，根据a2【详解】解：∵6，8，m为三角形的三边长，∴2<m<14，∴2−m2