人教版八年级数学上册举一反三14.7整式的乘法与因式分解章末拔尖卷(学生版+解析)

第14章整式的乘法与因式分解章末拔尖卷【人教版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．(3分)（2023春·安徽滁州·八年级校联考期中）已知10a=25，100b=400，则A．9 B．7 C．5 D．32．(3分)（2023春·福建福州·八年级校考期中）已知a=2255，b=3344，c=5533，d=66A．a>b>c>d B．a3．(3分)（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）若(x2−3ax)(x+2b)的结果中不含x2项，则a、A．a=2b B．a=32b C．3a=2b4．(3分)（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）将多项式17x2−3x+4−ax2+bx+c除以A．3 B．23 C．25 D．295．(3分)（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）已知在x2+mx−16=(x+a)(x+b)中，a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（A．4 B．5 C．8 D．106．(3分)（2023春·福建福州·八年级校考期中）已知a=2021x−2021，b=2021x−2022，c=2021x−2023，则a2+b2A．0 B．1 C．2 D．37．(3分)（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期中）3+132+1A．5 B．1 C．2 D．48．(3分)（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图①，图②两种方式放置（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分的面积和为S2．则S1A．BE⋅FG B．MN⋅FG C．BE⋅GD D．MN⋅GD9．(3分)（2023春·重庆万州·八年级统考期末）已知x、y、z满足x−z=12，xz+y2=−36，则x+2y+zA．4 B．1 C．0 D．-810．(3分)（2023春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）有一种用“因式分解”法产生的密码记忆法，方法是：取一个多项式，如：x4−y4，将此多项式因式分解的结果是：(x+y)(x−y)x2+y2．再取两个值，如：x=9,y=7A．221820 B．222018 C．222180 D．201822二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．(3分)（2023春·浙江·八年级期末）若多项式n4+9n2+k可化为a+b12．(3分)（2023春·四川乐山·八年级统考期末）已知A是多项式，若A×2xy=x2y2−213．(3分)（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）若x=3m+2，y=1+9m，则用含x14．(3分)（2023春·贵州·八年级统考期末）设a=x−2021，b=x−2025，c=x−2023，若a2=32−b2，则15．(3分)（2023春·浙江宁波·八年级校考期末）已知a2b+c=b2a+c16．(3分)（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考期末）用4张长为a、宽为ba>b的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为a+b的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1=2S三．解答题（共7小题，满分52分）17．(6分)（2023春·河南焦作·八年级统考期中）已知2(1)求4a(2)求22a−b−118．(6分)（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）分解因式：(1)4a(2)(2x+y)219．(8分)（2023春·上海浦东新·八年级统考期中）已知A=3x2+ax−3y+2，B=bx2−23x−2y+420．(8分)（2023春·山西长治·八年级统考期末）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了(a+b)n（na+b1=a+ba+ba+b根据上述规律，完成下列问题：(1)直接写出a+b5(2)a+18的展开式中a(3)利用上述规律求11521．(8分)（2023春·福建福州·八年级校考期中）阅读理解：若x满足(50−x)(x−40)=20，求(50−x)2解：设50−x=a，x−40=b，则(50−x)(x−40)=ab=20，a+b=(50−x)+(x−40)=10，∴(50−x)解决问题(1)若x满足(30−x)(x−10)=150，则(30−x)2+(2)若x满足(x−2022)2+(x−2020)(3)如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=6，点E，F是BC，CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为50平方单位，则图中阴影部分的面积和为平方单位．22．(8分)（2023春·上海静安·八年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）阅读并思考：计算472第一步：47接近整十数50，50−47=3；第二步：取50的一半25，25−3=22；第三步：3第四步：把第二、三步综合起来，472(1)依此方法计算49：第一步：49接近整十数50，50−49=1；第二步：取50的一半25，25−1=24；第三步：1第四步：把第二、三步综合起来，492(2)请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式．50−n2(3)利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性．(4)写出利用这个公式计算562(5)计算63×67也有一个简单的口算方法，具体步骤如下：第一步：6×6+1第二步：3×7=21；第三步：前面两步的结果综合起来，63×67的结果是4221．写出上述过程所依据的计算公式_______________________．(6)利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性．23．(8分)（2023春·北京昌平·八年级统考期末）阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．设abc表示一个三位数，则abc=100a+10b+c=99a+9b因为911a+b能被3整除，如果a+b+c也能被3整除，那么abc(1)①一个四位数abcd，如果a+b+c+d能被9整除，证明abcd能被9整除；②若一个五位数2e3e2能被9整除，则e=______；(2)若一个三位数xyz的各位数字是任意三个连续的正整数，则xyz的最小正因数一定是______（数字“1”除外）；(3)由数字1至9组成的一个九位数mnp6q47s9，这个数的第一位m能被1整除，前两位组成的两位数mn能被2整除，前三位组成的三位数mnp能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是______．

第14章整式乘法与因式分解章末拔尖卷【人教版】参考答案与试题解析选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．(3分)（2023春·安徽滁州·八年级校联考期中）已知10a=25，100b=400，则A．9 B．7 C．5 D．3【答案】B【分析】根据幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算，求得a+2b=4，即可求解．【详解】解：由100b=40010∴a+2b=4∴3a+6b−5=3故选：B【点睛】此题考查了幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握相关运算性质，正确求得a+2b=4．2．(3分)（2023春·福建福州·八年级校考期中）已知a=2255，b=3344，c=5533，d=66A．a>b>c>d B．a【答案】A【分析】先变形化简a=2255=（225）【详解】因为a=2255=（225）因为55所以55所以(55故5533＞6同理可证a所以a>故选A．【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．3．(3分)（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）若(x2−3ax)(x+2b)的结果中不含x2项，则a、A．a=2b B．a=32b C．3a=2b【答案】C【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据结果不含x2项，即可求出a与b【详解】解：(==∵不含x2∴2b−3a=0，∴3a=2b,故选：C．【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．(3分)（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）将多项式17x2−3x+4−ax2+bx+c除以A．3 B．23 C．25 D．29【答案】D【分析】先把整式化简，然后由整式的乘法、除法运算进行运算，求出a、b、c的值，即可得到答案．【详解】解：17=(17−a)x∵(5x+6)(2x+1)=10x∴17−a=10，−(3+b)=17，4−c=6，∴a=7，b=−20，c=−2，∴a−b−c=7−(−20)−(−2)=7+20+2=29；故选：D．【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．5．(3分)（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）已知在x2+mx−16=(x+a)(x+b)中，a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】先根据整式的乘法可得m=a+b,ab=−16，再根据“a,b为整数”进行分析即可得．【详解】∵(x+a)(x+b)=x∴x∴m=a+b,ab=−16，根据a,b为整数，有以下10种情况：（1）当a=1,b=−16时，m=1+−16（2）当a=2,b=−8时，m=2+−8（3）当a=4,b=−4时，m=4+−4（4）当a=8,b=−2时，m=8+−2（5）当a=16,b=−1时，m=16+−1（6）当a=−1,b=16时，m=−1+16=15；（7）当a=−2,b=8时，m=−2+8=6；（8）当a=−4,b=4时，m=−4+4=0；（9）当a=−8,b=2时，m=−8+2=−6；（10）当a=−16,b=1时，m=−16+1=−15；综上，符合条件的m的值为−15,−6,0,6,15，共有5个，故选：B．【点睛】本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．6．(3分)（2023春·福建福州·八年级校考期中）已知a=2021x−2021，b=2021x−2022，c=2021x−2023，则a2+b2A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据a=2021x−2021，b=2021x−2022，c=2021x−2023，可以得到a−b，a−c，b−c的值，然后将所求式子变形，再将a−b，a−c，b−c的值代入计算即可．【详解】解：∵a=2021x−2021，b=2021x−2022，c=2021x−2023，∴a−b=1，a−c=2，b−c=1，∴=======3，故选：D．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，求出a−b，a−c，b−c的值，利用完全平方公式解答．7．(3分)（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期中）3+132+1A．5 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】将3+132+1【详解】解：3+1=======1∵31=3，32=9，33可知个位数变化规律为：3，9，7，1，4次一个循环，∴364∴364∴12∴12观察选项可知，只有B选项为1，故选B．【点睛】本题考查平方差公式的应用，能够运用平方差公式对原式进行变形是解题的关键．8．(3分)（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图①，图②两种方式放置（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分的面积和为S2．则S1A．BE⋅FG B．MN⋅FG C．BE⋅GD D．MN⋅GD【答案】A【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．【详解】解：∵S1=（AB-a）•a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）•a+（AB-b）（AD-a），S2=（AB-a）（AD-b）+（AD-a）（AB-b），∴S1-S2=（AB-a）•a+（AB-b）（AD-a）-（AB-a）（AD-b）-（AD-a）（AB-b）=（AB-a）•a-（AB-a）（AD-b）=（AB-a）•（a-AD+b）=BE•FG，故选：A．【点睛】本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．9．(3分)（2023春·重庆万州·八年级统考期末）已知x、y、z满足x−z=12，xz+y2=−36，则x+2y+zA．4 B．1 C．0 D．-8【答案】C【分析】根据题目条件可用x来表示z，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得x−62【详解】解：∵x−z=12，∴z=x−12，又∵xz+y∴xx−12∴x2−12x+∵x−62∴x−6=0，y=0，∴x=6，y=0，z=−6，代入x+2y+z得，x+2y+z=0．故选：C．【点睛】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题的关键．10．(3分)（2023春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）有一种用“因式分解”法产生的密码记忆法，方法是：取一个多项式，如：x4−y4，将此多项式因式分解的结果是：(x+y)(x−y)x2+y2．再取两个值，如：x=9,y=7A．221820 B．222018 C．222180 D．201822【答案】C【分析】先提取公因式，再根据平方差公式将x3【详解】解：x3当x=20,y=2时，x+y=22,x−y=18，∴可以产生的密码是：202218，201822，222018，221820，182220，182022；不能产生的密码是222180，故选：C．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．(3分)（2023春·浙江·八年级期末）若多项式n4+9n2+k可化为a+b【答案】6n3或−6n3【分析】根据完全平方公式展开式的首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同；中间项是首末两项的底数的积的2倍，对多项式进行分类讨论，分别求出k即可．【详解】解：①当n4和9n2作为平方项，kn2±3n2∴k=±6n②当n4和k作为平方项，9n2n2+k∴2kn2③当9n2和k作为平方项，n43n+k2，即∴6kn=n故答案为：6n3或−6n3或【点睛】此题考查了运用完全平方公式分解因式．掌握完全平方公式a±b212．(3分)（2023春·四川乐山·八年级统考期末）已知A是多项式，若A×2xy=x2y2−2【答案】1【分析】将x2y2﹣2x2y﹣3xy2利用提公因式法进行因式分解，再除以2xy即得A．【详解】解：∵x2y2﹣2x2y﹣3xy2，＝xy（xy﹣2x﹣3y），∴A＝xy（xy﹣2x﹣3y）÷2xy，=1故答案为：12【点睛】本题考查了单项式乘多项式，关键在于学生要运用它的逆运算转化为多项式除以单项式．13．(3分)（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）若x=3m+2，y=1+9m，则用含x【答案】1+【分析】根据条件求得x=3m+2【详解】解：∵x=3即x=∴3m则y=1+=1+=1+=1+=1+x故答案为：1+x【点睛】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键．14．(3分)（2023春·贵州·八年级统考期末）设a=x−2021，b=x−2025，c=x−2023，若a2=32−b2，则【答案】12【分析】由已知条件可得a=c+2，b=c−2，代入a2=32−b【详解】解：∵a=x−2021，b=x−2025，c=x−2023，∴a=c+2，b=c−2，∵a2∴c+22∴c2整理得：2c∴c2故答案为：12．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是用含c的代数式表示出a和b．15．(3分)（2023春·浙江宁波·八年级校考期末）已知a2b+c=b2a+c【答案】−1【分析】通过已知条件，找到a、b、c的关系：ab+ac=−bc，ac+bc=−ab，abc=−2023，即可获得答案．【详解】解：∵a2∴a2∴ab(a−b)+c(a+b)(a−b)=0，∴(a−b)(ab+ac+bc)=0，∵a≠b，∴a−b≠0，∴ab+ac+bc=0，即ab+ac=−bc，ac+bc=−ab，∵a2∴a−bc∴−abc=2023，∴abc=−2023，∴c故答案为：−1．【点睛】本题主要考查了代数式求值以及因式分解等知识，利用已知条件找到ab+ac+bc=0是解题关键．16．(3分)（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考期末）用4张长为a、宽为ba>b的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为a+b的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1=2S【答案】a=2b【分析】如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用S1【详解】如下图则空白部分的面积S1=S6S7S5化简得：SS2∵S∴a化简得：(a−2b)2∴a=2b故答案为：a=2b．【点睛】本题考查完全平方公式的计算与化简，解题关键是先求出S1和S三．解答题（共7小题，满分52分）17．(6分)（2023春·河南焦作·八年级统考期中）已知2(1)求4a(2)求22a−b−1【答案】(1)4(2)125【分析】（1）先将4a⋅4（2）依据同底数幂的除法法则以及悬的乘方法则,将22a−b−1变形为2【详解】（1）解：∵2∴4====25×=4（2）当2a2====25×=【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法法则以及幂的乘方法则的运用，关键是掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．18．(6分)（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）分解因式：(1)4a(2)(2x+y)2【答案】(1)x(2a−3)(2)3(x+y)(x−y)【分析】（1）先按照提公因式的方法提出x，再按照完全平方公式进行因式分解即可；（2）先利用平方差公式，再利用提公因式法继续分解即可解答．【详解】（1）解：4=x(4=x(2a−3)故答案为：x(2a−3)（2）解：(2x+y=[2x+y+(x+2y)][2x+y−(x+2y)]=(3x+3y)(x−y)=3故答案为：3(x+y)(x−y)．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键在于要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式以及熟练掌握平方差公式和完全平方公式．19．(8分)（2023春·上海浦东新·八年级统考期中）已知A=3x2+ax−3y+2，B=bx2−23x−2y+4【答案】20【分析】根据题意先计算A−3B，根据A−3B与x的取值无关，求得a,b的值，然后根据整式的乘法化简代数式，将a,b的值代入进行计算即可求解．【详解】解：∵A−3B=3=3=3−3b∵A−3B与x的取值无关，∴3−3b=0,a+2=0，解得a=−2,b=1；−ab=−ab=−=−8ab当a=−2,b=1时，−8ab2=16+4=20．【点睛】本题考查了整式的加减运算，整式的乘法运算，化简求值，正确的计算是解题的关键．20．(8分)（2023春·山西长治·八年级统考期末）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了(a+b)n（na+b1=a+ba+ba+b根据上述规律，完成下列问题：(1)直接写出a+b5(2)a+18的展开式中a(3)利用上述规律求115【答案】(1)a(2)8(3)161051【分析】（1）根据给出的等式的特点，可以得到等式右边的多项式按照a的降幂，b的升幂顺序排列，项数为n+1项，第一项和最后一项的系数相同均为1，第二项和倒数第二项的系数相同，等于上一个等式的第一项和第二项的系数之和，第三项和倒数第三项相同，等于上一个等式的第二项和第三项的和，依次类推，即可得出结论；（2）根据a+18（3）根据115【详解】（1）解：∵a+b1a+b2a+b3a+b4∴a+b5故答案为：a5（2）解：∵a+18∴a项的系数是8×1故答案为：8；（3）解：11==100000+50000+10000+1000+50+1=161051．【点睛】本题考查数字类规律探究，解题的关键是根据已知等式的特点，抽象概括出相应的数字规律．21．(8分)（2023春·福建福州·八年级校考期中）阅读理解：若x满足(50−x)(x−40)=20，求(50−x)2解：设50−x=a，x−40=b，则(50−x)(x−40)=ab=20，a+b=(50−x)+(x−40)=10，∴(50−x)解决问题(1)若x满足(30−x)(x−10)=150，则(30−x)2+(2)若x满足(x−2022)2+(x−2020)(3)如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=6，点E，F是BC，CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为50平方单位，则图中阴影部分的面积和为平方单位．【答案】(1)100(2)−100(3)116【分析】（1）根据题意设30−x=a，x−10=b，由已知可得(30−x)(x−10)=ab=150，即可得出a+b=(3−x)+(x−10)=20，则可得(30−x)2（2）根据题意设x−2022=a，x−2020=b，由已知可得(x−2022)2+(x−2020)2=（3）根据题意CF=CD−DF=10−x，CE=BC−BE=6−x，设10−x=a，6−x=b，由长方形CEPF的面积为50平方单位可得(10−x)(6−x)=ab=50，则a−b=(10−x)−(6−x)=4，阴影部分面积由两个边长为10−x和6−x的正方形组成，即S阴【详解】（1）解：设30−x=a，x−10=b，则(30−x)(x−10)=ab=150，a+b=(3−x)+(x−10)=20，∴(30−x)故答案为：100；（2）设x−2022=a，x−2020=b，则(x−2022)2+(x−2020)∴(x−2022)(x−2020)=ab=1（3）∵CF=CD−DF=10−x，CE=BC−BE=6−x，设10−x=a，6−x=b，∴(10−x)(6−x)=ab=50，a−b=(10−x)−(6−x)=4，S阴∴图中阴影部分的面积为116平方单位．故答案为：116．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．22．(8分)（2023春·上海静安·八年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）阅读并思考：计算472第一步：47接近整十数50，50−47=3；第二步：取50的一半25，25−3=22；第三步：3第四步：把第二、三步综合起来，472(1)依此方法计算49：第一步：49接近整十数50，50−49=1；第二步：取50的一半25，25−1=24；第三步：1第四步：把第二、三步综合起来，492(2)请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式．50−n2(3)利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性．(4)写出利用这个公式计算562(5)计算63×67也有一个简单的口算方法，具体步骤如下：第一步：6×6+1第二步：3×7=21；第三步：前面两步的结果综合起来，63×67的结果是4221．写出上述过程所依据的计算公式_______________________．(6)利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性．【答案】(1)25，1，1(2)25，n，n(3)见详解(4)见详解(5)(10a+b)[10a+(10−b)]=a(a+1)×100+b(10−b)(6)见详解【分析】（1）根据山桂娜同学的简便运算步骤解答即可；（2）根据（1）的规律书写公式即可；（3）利用整式乘法运算法则进行计算，即可说明（2）中公式的正确性；（4）利用（2）中得到的公式求解即可；（5）分析63×67的简单运算，书写计算公式即可；（6）利用整式乘法运算法则进行计算，即可说明（5）中公式的正确性．【详解】（1）解：根据题意，计算49：第一步：49接近整十数50，50−49=1；第二步：取50的一半25，25−1=24；第三步：1第四步：把第二、三步综合起来，492故答案为：25，1，1；（2）根据山桂娜同学的方法，填写出正确的计算公式如下：50−n2故答案为：25，n，n；（3）∵50−n225−n×100+∴公式50−n2（4）56=31×100+36=3136；（5）计算63×67的口算方法，具体步骤如下：第一步：6×6+1第二步：3×7=21；第三步：前面两步的结果综合起来，63×67的结果是4221．结合上述计算过程，可书写计算公式为(10a+b)[10a+(10−b)]=a(a+1)×100+b(10−b)．故答案为：(10a+b)[10a+(10−b)]=a(a+1)×100+b(10−b)；（6）∵(10a+b)[10a+(10−b)]=100=100a又∵a(a+1)×100+b(10−b)=(=100a∴公式(10a+b)[10a+(10−b)]=a(a+1)×100+b(10−b)是正确的．【点睛】本题主要考查了数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算、整式混合运算等知识，理解题意，正确书写简便运算公式是解题关键．23．(8分)（2023春·北京昌平·八年级