北师大版2024-2025学年九年级数学上册强化提分系列专题2.1平方根【十大题型】学案(学生版+解析)

专题2.1平方根【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1平方根概念理解】 1【题型2求一个数的（算术）平方根】 2【题型3求代数式的（算术）平方根】 2【题型4由（算术）平方根求式子的值】 3【题型5由平方根的概念解方程】 3【题型6由算术平方根的非负性求值】 3【题型7估算算术平方根的取值范围】 3【题型8求算术平方根的整数部分和小数部分】 4【题型9平方根与数轴的综合】 4【题型10算术平方根的规律探究】 5知识点：平方根平方根：①定义：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做②表示方法：正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作−a，正数a的两个平方根记作±负根号a，其中a叫做被开方数.③性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．算术平方根：(1)定义：正数a有两个平方根±a，我们把正数a的正的平方根a，叫做a(2)性质：①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；②负数没有算术平方根.当a≥0时，a2③算术平方根具有双重非负性：a≥0；a≥0【题型1平方根概念理解】【例1】（23-24八年级·四川泸州·期末）若实数3m−6有平方根，则m的取值范围是（

）A．m≤2 B．m<2 C．m>2 D．m≥2【变式1-1】（23-24八年级·河南信阳·期末）若a2=6，则下列说法正确的是（A．a是6的算术平方根 B．a是6的平方根C．6是a的平方根 D．a=【变式1-2】（23-24八年级·湖北武汉·期中）写一个平方根是它本身的数．【变式1-3】（23-24八年级·全国·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是()A．x2＋1 B．|x|＋2 C．a+1 D．|a【题型2求一个数的（算术）平方根】【例2】（23-24八年级·上海杨浦·期末）下列计算正确的是（

）A．−(−6)2=−6 C．16=±4 D．【变式2-1】（23-24八年级·上海嘉定·期末）36−5的平方根是【变式2-2】（23-24八年级·全国·假期作业）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为3，则输出的值为．输入【变式2-3】（23-24八年级·山东菏泽·期中）一个数的算术平方根是4，则比这个数多9的数的平方根是．【题型3求代数式的（算术）平方根】【例3】（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）已知2a−1的平方根是±3，3a+b−1的算术平方根是4，则a+2b=【变式3-1】（23-24春·湖北武汉·八年级校联考期中）关于x的多项式7x3−11mx2−15x+9与多项式22xA．3 B．−3 C．±3 D．±【变式3-2】（23-24八年级·湖北荆门·期中）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（）A．±（m+1） B．（m2+1） C．±m+1 D．【变式3-3】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）已知正数a的两个不同的平方根分别是3x−2和5x+10,a+b−4的算术平方根是3.(1)求a、b的值；(2)求a−2b的平方根．【题型4由（算术）平方根求式子的值】【例4】（23-24八年级·全国·专题练习）已知一个数的算术平方根为3m−4，它的平方根为±(m−1)，则这个数是．【变式4-1】（23-24八年级·云南保山·期中）已知x=25，y是4的算术平方根，则3x−2y的值为【变式4-2】（23-24八年级·河南新乡·期中）已知1−3b与2a+1互为相反数，求−3b+2a+6的平方根．【变式4-3】（23-24八年级·湖南永州·期末）若xm=y，则记x,y=m，例如32=9，于是3,9=2．若−2,a=2，b,8A．16 B．−2 C．2或−2 D．16或−16【题型5由平方根的概念解方程】【例5】（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：12x=−x【变式5-1】（23-24八年级·广西钦州·阶段练习）解方程：(1)4x(2)9x【变式5-2】（23-24八年级·贵州黔南·期中）【变式1】解方程：(1)25x(2)2x+1【变式5-3】（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：92x+1【题型6由算术平方根的非负性求值】【例6】（23-24八年级·江西南昌·阶段练习）已知y=x−3+3−x+1，则【变式6-1】（23-24八年级·湖南长沙·期中）若x,y为实数，且x−3+y+4=0，则x+yA．1 B．2024 C．−1 D．−2024【变式6-2】（23-24八年级·江西新余·期中）（1）已知2x−4y−5+2x−3=0（2）已知a、b满足2a+8+b−3=0，解关于【变式6-3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）若a−2023+b+2023−1=0，其中a，b均为整数，则【题型7估算算术平方根的取值范围】【例7】（23-24八年级·新疆和田·期中）已知a，b为两个连续的整数，且12的负平方根介于a，b之间，则a+b=【变式9-2】（23-24八年级·北京·期中）图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（）A．7 B．2+72 C．1+7 D．【变式9-3】（23-24八年级·江西南昌·期中）图1是由16个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC，CD，DA裁剪，剪成一个小正方形ABCD．(1)在图1中，剪成的小正方形ABCD的面积为________，边AB的长为________；(2)现将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得小正方形的顶点D与数轴上表示1的点重合，若以点D为圆心，DA边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数．【题型10算术平方根的规律探究】【例10】（23-24八年级·四川德阳·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：⋅⋅⋅0.06250.6256.2562.5625625062500⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.250.79062.57.9062579.06250⋅⋅⋅根据以上规律，若14.4≈3.79,1.44=1.2，则1440A．37.9 B．379 C．12 D．120【变式10-1】（23-24八年级·安徽蚌埠·阶段练习）有一列数按如下规律排列：−22，34，−14，516，−632，【变式10-2】（23-24八年级·广东惠州·阶段练习）观察下列各式：①2+23=223，②3+【变式10-3】（23-24八年级·安徽安庆·期末）观察下列各式：1+11+11+1请利用你所发现的规律，解决下列问题：(1)发现规律1+142(2)计算1+1专题2.1平方根【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1平方根概念理解】 2【题型2求一个数的（算术）平方根】 3【题型3求代数式的（算术）平方根】 4【题型4由（算术）平方根求式子的值】 6【题型5由平方根的概念解方程】 8【题型6由算术平方根的非负性求值】 9【题型7估算算术平方根的取值范围】 11【题型8求算术平方根的整数部分和小数部分】 13【题型9平方根与数轴的综合】 15【题型10算术平方根的规律探究】 18知识点：平方根平方根：①定义：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做②表示方法：正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作−a，正数a的两个平方根记作±负根号a，其中a叫做被开方数.③性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．算术平方根：(1)定义：正数a有两个平方根±a，我们把正数a的正的平方根a，叫做a(2)性质：①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；②负数没有算术平方根.当a≥0时，a2③算术平方根具有双重非负性：a≥0；a≥0【题型1平方根概念理解】【例1】（23-24八年级·四川泸州·期末）若实数3m−6有平方根，则m的取值范围是（

）A．m≤2 B．m<2 C．m>2 D．m≥2【答案】D【分析】此题考查了平方根的性质，根据平方根的性质求解即可．【详解】∵实数3m−6有平方根，∴3m−6≥0∴m≥2．故选：D．【变式1-1】（23-24八年级·河南信阳·期末）若a2=6，则下列说法正确的是（A．a是6的算术平方根 B．a是6的平方根C．6是a的平方根 D．a=【答案】B【分析】本题考查了平方根定义，根据平方根定义判断即可，解题的关键是正确理解平方根的定义．【详解】解：∵a2∴a是6的平方根，故选：A．【变式1-2】（23-24八年级·湖北武汉·期中）写一个平方根是它本身的数．【答案】0【分析】本题考查平方根，掌握平方根的性质是解题的关键．根据平方根的性质进行解题即可．【详解】解：平方根是它本身的数是：0．故答案为：0．【变式1-3】（23-24八年级·全国·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是()A．x2＋1 B．|x|＋2 C．a+1 D．|a【答案】D【分析】根据平方根的性质解答即可.【详解】A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根；B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根；C、a+1D、∵a≥0，∴|a故选：D.【点睛】此题考查了平方根的性质：正数有两个平方根，0有一个平方根是0，负数没有平方根，正确掌握实数的大小估算确定其为正数、负数或是0是解题的关键.【题型2求一个数的（算术）平方根】【例2】（23-24八年级·上海杨浦·期末）下列计算正确的是（

）A．−(−6)2=−6 C．16=±4 D．【答案】A【分析】根据算术平方根，平方根的意义解答即可．本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】A.−−62B.−62C.16=4，错误，不符合题意；D.41故选A．【变式2-1】（23-24八年级·上海嘉定·期末）36−5的平方根是【答案】±1【分析】本题考查了算术平方根和平方根的意义，先根据算术平方根的意义化简，再根据平方根的意义求解即可．【详解】解：∵36∴36−5的平方根是故答案为：±1．【变式2-2】（23-24八年级·全国·假期作业）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为3，则输出的值为．输入【答案】±【分析】根据题意，得±x−52+3本题考查了程序式代数式的计算，平方根的计算，熟练掌握平方根的计算是解题的关键．【详解】根据题意，得±x−5当x=3时，±7故答案为：±7【变式2-3】（23-24八年级·山东菏泽·期中）一个数的算术平方根是4，则比这个数多9的数的平方根是．【答案】±5【分析】本题主要考查了已知一个数的算术平方根求这个数，以及求一个数的平方根，根据题意可知这个数是42【详解】解：一个数的算术平方根是4，这个数是42比这个数多9的数是：16+9=25，∴25的平方根为：±5，故答案为：±5．【题型3求代数式的（算术）平方根】【例3】（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）已知2a−1的平方根是±3，3a+b−1的算术平方根是4，则a+2b=【答案】3【分析】根据平方根与算术平方根的定义即可求出答案．【详解】由题意可知：2a-1=9，3a+b-1=16，解得：a=5，b=2，∴a+2b=9【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解算术平方根，本题属于基础题型．【变式3-1】（23-24春·湖北武汉·八年级校联考期中）关于x的多项式7x3−11mx2−15x+9与多项式22xA．3 B．−3 C．±3 D．±【答案】C【分析】将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算．【详解】7x3＝7由题意知，22−11m=0，∴m=2，∴−(mn+n)=9的平方根是±3，∴−(mn+n)平方根为±3，故选：D．【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．【变式3-2】（23-24八年级·湖北荆门·期中）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（）A．±（m+1） B．（m2+1） C．±m+1 D．【答案】D【分析】首先根据平方根性质用m表示出该自然数a，由此进一步表示出a+1，从而进一步即可得出答案．【详解】由题意得：这个自然数a为：m2∴a+1=m故a+1的平方根用m表示为：±m故选：D．【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.【变式3-3】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）已知正数a的两个不同的平方根分别是3x−2和5x+10,a+b−4的算术平方根是3.(1)求a、b的值；(2)求a−2b的平方根．【答案】(1)a=25(2)±7【分析】（1）根据算术平方根的意义，平方根的意义，计算即可．（2）根据平方根的意义，计算即可．本题考查了平方根，算术平方根的计算与应用，正确理解正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．【详解】（1）解：由题意得：3x−2+5x+10=0，解得x=−1，

3x−2=−5，−52∴a=25；∴a+b−4=3∴25+b−4=9，∴b=−12.（2）±a−2b【题型4由（算术）平方根求式子的值】【例4】（23-24八年级·全国·专题练习）已知一个数的算术平方根为3m−4，它的平方根为±(m−1)，则这个数是．【答案】14/【分析】本题考查了算术平方根和平方根．解题的关键是熟练掌握算术平方根和平方根的定义．根据算术平方根与平方根中的正平方根相等，可得方程，根据解方程，可得m的值，根据平方运算，可得答案．【详解】解：一个数的算术平方根是3m−4，平方根是±(m−1)，3m−4=m−1，或3m−4=1−m，解得m=32，或当m=54时，所以(3m−4)2故答案为：14【变式4-1】（23-24八年级·云南保山·期中）已知x=25，y是4的算术平方根，则3x−2y的值为【答案】11【分析】本题主要考查的是算术平方根，代数式求值，熟练掌握相关定义是解题的关键．首先依据算术平方根的定义求得x、y的值，从而可求得代数式3x−2y的值．【详解】解：∵x=25，y∴x=5,y=2，∴3x−2y=3×5−2×2=11，故答案为：11．【变式4-2】（23-24八年级·河南新乡·期中）已知1−3b与2a+1互为相反数，求−3b+2a+6的平方根．【答案】±2【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得1−3b=0,2a+1=0，求出a、b值，即可求解．【详解】解：∵1−3b≥0，2a+1则当1−3b与2a+1互为相反数时，只能是1−3b=0,2a+1=0，解得：a=−1∴−3b+2a+6=−3×1∴其平方根为±2．【变式4-3】（23-24八年级·湖南永州·期末）若xm=y，则记x,y=m，例如32=9，于是3,9=2．若−2,a=2，b,8A．16 B．−2 C．2或−2 D．16或−16【答案】C【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解．【详解】解：∵−2,a=2，b,8=3，∴−22=a，b3∴a=4，b=2，∴c2∴c=±2，故选：D．【题型5由平方根的概念解方程】【例5】（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：12x=−x【答案】x=−6【分析】本题考查了根据平方根解方程，先将方程整理为x2+12x+36=0，根据完全平方公式得出【详解】解：12x=−xx2x+62x+6=0，x=−6．【变式5-1】（23-24八年级·广西钦州·阶段练习）解方程：(1)4x(2)9x【答案】(1)x=±2(2)x=±【分析】（1）方程两边同时除以4，然后根据平方根的定义解方程；（2）先移项，然后同时除以9，根据平方根的定义解方程即可求解．【详解】（1）4xx2x=±2；（2）9x9xx2x=±11【点睛】本题考查了根据平方根的定义解方程，正确的计算是解题的关键．【变式5-2】（23-24八年级·贵州黔南·期中）【变式1】解方程：(1)25x(2)2x+1【答案】(1)x=75(2)x=4或x=−6【分析】（1）先将方程整理为x2（2）先将方程整理为x+12【详解】（1）25x25xx2x=75或（2）2x+12x+1x+12x+1=5或x+1=−5，x=4或x=−6．【点睛】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键．【变式5-3】（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：92x+1【答案】x【分析】本题考查了根据平方根解方程，先将方程整理为92x+1【详解】解：92x+1932x+1=4x−2解得：x1【题型6由算术平方根的非负性求值】【例6】（23-24八年级·江西南昌·阶段练习）已知y=x−3+3−x+1，则【答案】±2【分析】根据根式的非负性可求出x，y的值，进而可求出答案．【详解】解：∵y=x−3∴x−3=0，3−x=0，∴x=3，∴y=1，∴x+y=4，∴x+y的平方根是±2，故答案为：±2．【点睛】本题考查根式的非负性，以及计算一个数的平方根，能够根据根式的非负性计算出未知数的值是解决本题的关键．【变式6-1】（23-24八年级·湖南长沙·期中）若x,y为实数，且x−3+y+4=0，则x+yA．1 B．2024 C．−1 D．−2024【答案】A【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值，正确解得x,y的值是解题关键．根据非负数的性质解得x,y的值，然后代入求值即可．【详解】解：∵x−3+又∵x−3≥0，y+4∴x−3=0,y+4=0，解得x=3,y=−4，∴x+y2024故选：A．【变式6-2】（23-24八年级·江西新余·期中）（1）已知2x−4y−5+2x−3=0（2）已知a、b满足2a+8+b−3=0，解关于【答案】（1）x+y的平方根为±1；（2）x=±1．【分析】（1）根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后将其代入代数式计算即可；（2）根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后将其代入方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵2x−4y−5+∴2x−4y−5=0，2x−3=0，解得x=32，∴x+y=3∴x+y的平方根为±1；（2）∵2a+8+∴2a+8=0，b−3解得a=−4，b=3∴方程为−4+2x整理得x2解得x=±1．【点睛】本题考查非负数的性质，有理数的混合运算等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质的应用．【变式6-3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）若a−2023+b+2023−1=0，其中a，b均为整数，则【答案】±1【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．先根据绝对值和算术平方根的非负性分两种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解．【详解】解：∵a−2023+b+2023−1=0，其中a又∵a−2023≥0，b+2023①当a−2023=0，b+2023∴a=2023，b=−2022或b=−2024，∴a+b=1或a+b=−1；②当a−2023=1，b+2023∴a=2024或a=2022，b=−2023∴a+b=1或a+b=−1；故答案为：±1．【题型7估算算术平方根的取值范围】【例7】（23-24八年级·新疆和田·期中）已知a，b为两个连续的整数，且12的负平方根介于a，b之间，则a+b=【答案】−7【分析】此题主要考查了无理数的估算，平方根定义，掌握比较无理数估算的方法是解决问题的关键．根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a,b的值，即可得出答案．【详解】解：∵9<12<∴−4<−12∵a，b为两个连续的整数，且12的负平方根介于a，b之间，∴a=−4,b=−3，a+b=−3+−4故答案为：−7．【变式7-1】（23-24八年级·福建莆田·期末）面积为10的正方形的边长为a，则a的值在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】C【分析】本题考查了无理数的估算，先根据题意表示出a的值，再利用夹逼法估算即可．【详解】∵面积为10的正方形的边长为a，∴a2∴a=10∵9<∴3<10∴a的值在3和4之间，故选：D．【变式7-2】（23-24八年级·北京朝阳·期末）将边长分别1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（

）A．4B．3C．1D．0【答案】C【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【详解】解：∵将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，∴正方形的面积为2，∴该正方形的边长为：2，∵1＜2＜2.25，∴1＜2＜1.5，∴该正方形的边长最接近整数是：1．故选：D．【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．【变式7-3】（23-24八年级·广东汕头·单元测试）满足−2<x<5【答案】2【分析】首先通过对−2，5大小的估算，可得满足−【详解】解：∵1<2<4，∴1<2∴−2<−2又∵4<5<9，∴2<5满足−2<x<5的所有整数有−1，0，1，2故答案为2．【点睛】本题主要考查算术平方根的估算，解题的关键是掌握算术平方根的定义，灵活使用夹逼法进行估算．【题型8求算术平方根的整数部分和小数部分】【例8】（23-24八年级·山东威海·期末）已知17－2的整数部分为a，17+2的整数部分为b，那么b－a的平方根是．【答案】±2【分析】估算出17－2与17+2的取值范围，求得a,b的值，进而计算b−a的平方根即可求解．【详解】解：∵4<17∴2<17∴a=2,b=6，∴b−a=4，∴4的平方根为±2．故答案为：±2．【点睛】本题考查了算术平方根估算，求一个数的平方根，正确的求得a,b的值是解题的关键．【变式8-1】（23-24八年级·安徽黄山·期中）已知a是13的整数部分，b=3，则ab+54的平方根是【答案】±3【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得a=3,b=9，然后问题可求解．【详解】解：∵3<13<4，∴a=3,b=9，∴ab+54=∴9的平方根是±3；故答案为±3．【变式8-2】（23-24八年级·广西河池·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题．例如：∵4<7<9，即2<(1)15的整数部分是，小数部分是；(2)已知：8−15小数部分是m，8+15小数部分是n，且x−12【答案】(1)3；15(2)x的值是0或2【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，（1）先估算出15的大小，然后确定整数部分；（2）根据15的整数部分可求出8−15和8+15的整数部分，进而表示出小数部分m、n，最后代入【详解】（1）解：∵9<15<16∴9<15<∴15的整数部分为3，∴15的小数部分为15−3故答案为：3；15−3（2）∵3<∴11<8+15<12∴8+15的整数部分为11，8−∴8−15小数部分是m=(8−15)−4=4−15，∴m+n=(4−即：x−1∴x−1=±1，解得x=2或x=0．∴满足条件的x的值是0或2．【变式8-3】（23-24八年级·浙江·阶段练习）6−11的小数部分为a，7+11的小数部分为b，则a+b【答案】1【分析】先分析11介于哪两个整数之间，再分别求出6−11和7+11介于哪两个整数之间，即可求出6−11和7+【详解】解：∵3<∴10<7+11<11∴3>6−∴7+11的整数部分为10，6−∴a=6−

b=7+代入得：a+b=12018=1【题型9平方根与数轴的综合】【例9】（23-24八年级·全国·假期作业）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简|a+b|−b2−【答案】-2a+b/b－2a【分析】根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据算术平方根的性质和绝对值进行计算，最后合并同类项即可．【详解】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，∴a+b＜0，a﹣b＞0，∴|a+b|−＝﹣（a+b）﹣|b|﹣|a﹣b|＝﹣a﹣b+b﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b+b﹣a+b＝﹣2a+b．故答案为：﹣2a+b【点睛】本题考查了数轴，绝对值，算术平方根等知识点，能正确根据数轴得出b＜0＜a和|b|＞|a|是解此题的关键．【变式9-1】（23-24八年级·陕西咸阳·期中）已知a是5的算术平方根，则实数a在如图所示的数轴上的对应点可能为点．（填“A”或“B”或“C”或“D”）【答案】C【分析】由于a是5的算术平方根，故a=5，又5≈2.236，所以2.236是在点2与2.5之间，由题图中的数轴上可知，2.236处于点C处，即点C表示的数是【详解】解：由于a是5的算术平方根，故a=5，又5所以2.236是在点2与2.5之间，由题图中的数轴上可知，又2.236处于点C处，即