4.3.3对数函数的图象与性质课件高一上学期数学

第4章幂函数、指数函数和对数函数对数函数的图象与性质湘教版

数学

必修第一

册课标要求1.通过具体实例,了解对数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并理解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0且a≠1).基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一对数函数1.对数函数的概念:对数运算

确定了一个函数,叫作(以a为底的)对数函数.

2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)和对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数.两者的定义域与值域正好互换,图象关于直线

对称,两者中一个递增另一个也递增,一个递减另一个也递减.

y=logax(x>0,a>0且a≠1)y=x名师点睛1.判断一个函数是不是对数函数的依据:(1)形如y=logax;(2)底数a满足a>0且a≠1;(3)真数为x,而不是x的函数.2.根据指数式与对数式的关系知,y=logax可化为ay=x,由指数函数的性质可知在对数函数中,有a>0且a≠1,x>0,y∈R.过关自诊下列函数是对数函数的是(

)A.y=logax+2(a>0且a≠1,x>0)B.y=log2(x>0)C.y=logx3(x>0且x≠1)D.y=log6x(x>0)D知识点二对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象与性质函数指数函数y=ax对数函数y=logax图象

定义域(-∞,+∞)(0,+∞)值域(0,+∞)(-∞,+∞)图象经过点(0,1)(1,0)增减性a>1时递增;0<a<1时递减a>1时递增;0<a<1时递减名师点睛1.对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数a的分类讨论.2.当底数a>1时,图象在第一象限内越接近x轴,a越大;当底数0<a<1时,图象在第四象限内越接近x轴,a越小.3.分析对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象,需找三个关键点:过关自诊1.(多选题)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是(

)AB2.下列函数在区间(0,+∞)内不是增函数的是(

)A.y=5x

B.y=lgx+2C.y=x2+1 D.y=3.函数f(x)=loga(x-2)-2x(a>0且a≠1)的图象必经过定点

.

D(3,-6)重难探究·能力素养速提升探究点一对数函数的概念【例1】

(1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)logmx,则m=

.

2解析

由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.规律方法

1.对数函数是一个形式定义:2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只需一个条件即可求出.变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=

.

4(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=

.

解析

设对数函数为f(x)=logax(a>0且a≠1).则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,探究点二利用对数函数的性质比较大小【例2】

比较下列各组中两个值的大小:(1)ln0.3,ln2;解

因为函数y=ln

x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln

0.3<ln

2.(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);解

当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,又3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2;当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.故当a>1时,loga3.1<loga5.2;当0<a<1时,loga3.1>loga5.2.(3)log30.2,log40.2;解

(方法1)因为0>log0.23>log0.24,(方法2)画出y=log3x与y=log4x的图象,如图所示,由图可知log40.2>log30.2.(4)log3π,logπ3.解

因为函数y=log3x在定义域内是增函数,且π>3,所以log3π>log33=1.同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3.规律方法

比较两个对数式大小的常用方法(1)当底数相同、真数不相同时,直接利用对数函数的单调性进行比较.(2)当底数不同、真数相同时,可根据图象与底数的关系所反映出的规律比较,常数形结合.(3)当底数和真数都不相同时,可考虑引进第三个数(常用“0”或“1”)分别与之比较,然后通过第三个数的传递进行比较.变式训练2比较下列各组中两个值的大小:(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).解

(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)<f(2),即log31.9<log32.(2)(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.(3)(分类讨论法)当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有logaπ>loga3.141;当0<a<1时,函数y=logax在定义域内是减函数,则有logaπ<loga3.141.综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.141;当0<a<1时,logaπ<loga3.141.探究点三与对数函数有关的定义域、值域问题{x|x>0且x≠1}规律方法

求解与对数函数有关的函数的定义域的方法求与对数函数有关的函数的定义域时,除遵循前面已学过的求函数定义域的方法外,还要根据对数函数自身的特点满足以下要求:一是要对数真数大于零;二是要注意对数的底数;三是根据底数的取值结合函数的单调性,转化为关于真数的不等式求解.变式训练3求下列函数的定义域:探究点四指数函数与对数函数关系的应用【例4】

已知函数f(x)=log2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f(g(2))=(

)A.1 B.2

C.3

D.4B解析

∵g(x)是f(x)的反函数,∴g(x)=2x.∵g(2)=22=4,∴f(g(2))=f(4)=log24=2.规律方法

涉及指数和对数函数互为反函数的问题,一定注意前提是“同底数”,且它们的图象关于直线y=x对称;反之,两个函数的图象关于直线y=x对称,则这两个函数互为反函数.变式训练4探究点五对数函数的图象【例5】

作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.解

先画出函数y=lg

x的图象(如图1).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图2).图1图2最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图3).图3由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).规律方法

求解与对数函数有关的函数图象问题,首先应明确对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象特征,结合函数解析式以及函数图象的变换规律求解.(1)一般地,函数y=f(x±a)±b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地,y=f(|x-a|)的图象是关于直线x=a对称的轴对称图形;函数y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分关于x轴对称.变式训练5画出下列函数的图象,并根据图象写出函数的定义域与值域以及单调区间:(1)y=log3(x-2);(2)y=log5|x|.解

(1)函数y=log3(x-2)的图象如图1.其定义域为(2,+∞),值域为R,在区间(2,+∞)上单调递增.(2)∵f(x)=log5|x|,∴f(x)是偶函数,其图象如图2所示.其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为R,函数的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).图1图1学以致用·随堂检测促达标A级必备知识基础练1234567891011121.若函数f(x)=log2(x+1)的定义域是[0,1],则函数f(x)的值域为(

)A.[0,1] B.(0,1) C.(-∞,1] D.[1,+∞)A解析

由于0≤x≤1,∴1≤x+1≤2,∴log21≤log2(x+1)≤log22,即0≤log2(x+1)≤1,故函数f(x)的值域为[0,1],故选A.1234567891011122.已知函数f(x)=loga(x-m)(a>0且a≠1)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是(

)A.增函数 B.减函数C.奇函数 D.偶函数A解析

将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式,有

解得a=4和m=3,则有f(x)=log4(x-3).由于定义域是x>3,则函数不具有奇偶性.函数f(x)在定义域上是增函数.1234567891011123.已知函数f(x)=log(a-1)(2x+1)在(-

,0)内恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是(

)A.(1,+∞) B.(0,1)C.(0,2) D.(1,2)D1234567891011124.[2024甘肃高一统考期末]设a=log26,b=log312,c=20.6,则(

)A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.c<a<bB1234567891011125.已知函数f(x)=loga(a-ax)(a>1),则f(x)的定义域为

,值域为

.

(-∞,1)R解析

令a-ax>0,即ax<a.因为a>1,所以x<1.因为a-ax>0,所以f(x)=loga(a-ax)∈R,因此,函数f(x)的定义域为(-∞,1),值域为R.1234567891011126.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).(1)求y=f(x)的解析式;(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围;(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.123456789101112解

(1)设f(x)=logax(a>0,且a≠1).由题意得f(9)=loga9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,即f(x)的取值范围为(-∞,0).(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,123456789101112B级关键能力提升练7.(多选题)已知a>0且a≠1,函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象不可能是(

)ABD123456789101112解析

函数y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称,又函数y=ax的图象过(0,1),y=logax的图象过(1,0),观察图象知,只有C正确,故选ABD.1234567891011128.在同一平面直角坐标系中,函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,而函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,若f(m)=-1,则m的值是(

)B123456789101112解析

∵函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,∴函数y=g(x)与y=ex互为反函数,则g(x)=ln

x,又由y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,则f(x)=ln(-x).又f(m)=-1,123456789101112D解析

∵当x≤2时,f(x)∈[1,+∞),且f(x)的值域为[1,+∞),∴当x>2时,f(x)的值域是[1,+∞)的子集,此时logax>loga2≥1,∴1<a≤2,∴a的取值范围是(1,2].故选D.12345678910111210.已知实数a,b满足等式log2a=log3b,给出下列五个关系式:①a>b>1;②b>a>1;③a<b<1;④b<a<1;⑤a=b.其中可能正确的关系式是

.

②④⑤123456789101112