（4）解析贺兰一中第二学期高二年级第三阶段考试数学复习卷（四）

贺兰一中20232024学年第二学期高二年级第三阶段考试数学复习卷（四）一、单选题1．已知集合，，则中元素的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】求得集合，可求.【详解】依题意得，则，所以中元素的个数为3．2．若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D.【详解】对于A，当，时，满足，但是，故A错误；对于B，当，时，满足，但是，故B错误；对于C，当，时，满足，但是，故C错误；对于D，因为，所以，即，故D正确.3．若正数，满足，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】由正数，满足，得，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．4．已知的展开式中的常数项为，则实数（

）A．2 B．2 C．8 D．8【答案】B【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】展开式的通项为：，取得到常数项为，解得.5．2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种【答案】C【分析】依题意，先将在同一区域的三个人选出并选定区域，再对余下的两人分别在其它两个区域进行选择，由分步乘法计数原理即得.【详解】要使五人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成：第一步，先从五人中任选三人，有种方法；第二步再选这三人所在的区域，有种方法；第三步，将另外两人从余下的两个区域里任选，有种方法.由分步乘法计数原理，共有种方法.6．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是3”，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件概率公式转化为，分别求解事件和实际包含的基本事件的个数，代入求解.【详解】事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，，，，，故；为“至少有一次点数是3”，则事件为，，，，，故，所以.7．已知命题：“关于的方程有实根”.若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题设知为假命题，结合一元二次方程的判别式求参数范围，再根据充分不必要关系求m范围.【详解】若为真命题，则为假命题，此时关于的方程没有实根，满足，解得.因为是的充分不必要条件，则，可得.8．杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数且在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：，则在该数列中，第37项是（

）A．136 B．153 C．190 D．210【答案】C【分析】根据题意找出相应的规律，第37个数为第21行第3个数，从而可求解.【详解】由题意可得每行有2个数且从第3行开始计数，所以第37项为“杨辉三角”中第21行第3个数，所以，，所以.故C正确.二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．若随机变量，则B．若随机变量服从两点分布，且，则C．若随机变量的分布列为，则D．若随机变量，则的分布列中最大的只有【答案】ABC【分析】A选项，根据正态分布的对称性得到，A正确；B选项，根据服从两点分布，且得到分布列，求出的分布列，求出期望值和方差；C选项，根据概率之和为1列出方程，求出；D选项，根据解出答案.【详解】A选项，，由正态分布的对称性可知，A正确；B选项，若随机变量服从两点分布，且，即分布列为：01所以02故，则，B正确；C选项，分布列中概率之和为1，即，解得，C正确；D选项，随机变量，令，即，解得，因为，所以或3，则的分布列中最大的有或，D错误.x681012y6m3210．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（

）A．变量之间呈现负相关关系B．C．可以预测，当时，y约为D．由表格数据知，该回归直线必过点【答案】ABD【分析】根据回归直线斜率知A正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得，可知B正确，D正确；将代入回归直线知C错误.【详解】对于A，由得：，故呈负相关关系，A正确；对于B，，，，解得：，B正确；对于C，当时，，C错误；对于D，由知：，回归直线必过点，即必过点，D正确.11．函数，下列结论正确的是（

）A．时，有两个零点 B．时，在处取极小值C．时，恒成立 D．若只有一个零点，则【答案】ABD【分析】求导可得函数的单调性，结合极值定义、函数的单调性与零点的存在性定理逐项计算与判断即可得.【详解】对于B，，则当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，故在处取极小值，故B正确；对A、C：当时，，又，，故有两个零点，故A正确，C错误；对D：若只有一个零点，则，即，故D正确.三、填空题12．设随机变量，则．【答案】【分析】根据二项分布的概率计算公式即可求解.【详解】随机变量服从．13．学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则=．【答案】【分析】根据题意，的取值为，代入超几何分布公式求出对应概率，再由期望公式求解即可.【详解】由题意可得，的取值为，，，，.14．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为．【答案】【分析】构造函数，利用一元二次方程的实根分布列式求解即得.【详解】令函数，依题意，的两个不等实根满足，而函数图象开口向上，因此，则，解得，所以实数a的取值范围为.四、解答题15．已知函数，不等式的解集是.(1)求函数的解析式；(2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据不等式的解集，可得对应方程的解，进而可得参数值及函数解析式；（2）方法一：分离参数，根据函数单调性可得最值及参数范围；方法二：结合二次函数的最值情况分情况讨论可得参数范围.【详解】（1）因为的解集是，则的两根是和，由根于系数关系可得，解得，所以；（2）方法一：关于的不等式在上有解，等价于，使得，则，，因为函数在上单调递减，所以当时，取到最大值，，所以，故的取值范围是；方法二：由题知，即关于的不等式在上有解，令，等价于在区间上的最小值，图象的对称轴是，根据二次函数图象对称轴和区间位置关系可知，①当，即时，此时的最小值，则，解得；②当，即时，的最小值，此时恒成立，所以得；③当，即时，，则由，解得；综上所述，的取值范围是.16．某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮4次，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多1分；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分.已知甲同学每次投进的概率为，乙同学每次投进的概率为，且甲、乙每次投篮相互独立.(1)求甲最后得3分的概率；(2)记甲最后得分为X，求X的概率分布和数学期望；(3)记事件B为“甲、乙总分之和为7”，求.【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）利用独立事件同时发生哪几种情形，再计算概率即可；（2）利用记分规则，统计四次投篮中的得分情形，最低0分，最高10分，再计算概率，即可得分布列，求期望；（3）同比甲的概率计算方法，再来计算乙的得分概率，利用两独立事件相乘，再考虑各种情形相加即可.【详解】（1）记事件A为“甲得3分”，分析3分是，不可能是，所以在这四次投篮中，连续两次投中，另两次没中，记甲得3分，所以（2）X的取值为0，1，2，3，4，6，10，01234610（3）记为乙最后得分，则事件为“甲1分，乙6分”，“甲3分，乙4分”，“甲4分，乙3分”，“甲6分，乙1分”故17．目前，某校采用“翻转课堂”的教学模式，即学生先自学，然后老师再讲学生不会的内容.某一教育部门为调查在此模式下学生的物理成绩与学习物理的学习时间的相关关系，针对本校名考生进行了解，其中每周学习物理的时间不少于小时的有位学生，余下的人中，在物理考试中平均成绩不足分的学生占总人数的，统计后得到以下表格:大于等于120分不足120分合计学时不少于12小时821学时不足12小时合计49(1)请完成上面的列联表，能否有的把握认为“物理成绩与自主物理的学习时间有关”?(2)若将频率视为概率，从全校大于等于分的学生中随机抽取人，求这些人中周自主学习时间不少于小时的人数的期望和方差.附：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格见解析，能(2)，【分析】（1）根据所给数据完善列联表，计算出卡方，即可判断；（2）设从全校大于等于分的学生中随机抽取人，这些人中周自主学习时间不少于小时的人数为随机变量，则，根据二项分布的期望与方差公式计算可得.【详解】（1）依题意，周学时不足12小时有人，则周学时不足12小时且平均成绩不足分的有人，所以周学时不足12小时且平均成绩大于等于分的有人，所以列联表如下：大于等于120分不足120分合计学时不少于12小时13821学时不足12小时82028合计212849，所以能有的把握认为“成绩与自主学习时间有关”；（2）由（1）中知大于等于分的学生中周自主学习时间不少于小时的频率是，设从全校大于等于分的学生中随机抽取人，这些人中周自主学习时间不少于小时的人数为随机变量，则，，.18．第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球.(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；(2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率；(3)在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设出事件，运用条件概率公式求解即可；（2）设出事件，运用全概率公式求解即可；（3）设出事件，运用贝叶斯概率公式求解即可.【详解】（1）记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”，则，故（2）设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则，可得（3）在（2）的条件下.19．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见详解(2)【分析】（1）求导，分类讨论的符号，结合二次不等式求的单调性；（2）构建，原题意等价于对任意的恒成立，求导，结合，可得，