第1讲数列小题原卷版

第1讲数列小题【复习目录】一、等差数列及其通项公式 二、等差数列的性质三、等差数列的函数特性 四、等差数列的前n项和五、等差数列前n项和的性质 六、等比数列及其通项公式七、等比数列的性质 八、等比数列的前n项和九、等比数列前n项和的性质 十、数列的实际应用 十一、数列的最值【考点归纳】1．等差数列的定义：an－an1=d(n≥2)2．等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.3．等差中项：若a，b，c成等差数列，则2b=a+c.b叫做a与c的等差中项．4．等差数列的下标和公式：若k＋l＝m＋n，则ak＋al＝am＋an.5．等差数列的前n项和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)或Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．7.等差数列的常用性质(1)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．(2)若{an}是等差数列，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为eq\f(1,2)d.8．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．9．等比数列的定义：＝q(n≥2)．10．等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1=am·qn－m．11．等比中项：若a，b，c成等比数列，则b2=a·c．b是a与c的等比中项.12．等比数列的下标和公式：若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.13．等比数列的前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1))14．等比数列的常用性质在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外)．✿✿✿(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))转化为关于an的关系式，再求通项公式．(2)Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．★★★已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现an＋1＝an＋f(n)时，用累加法求解．(2)当出现eq\f(an＋1,an)＝f(n)时，用累乘法求解．♥♥♥解决数列的单调性问题的三种方法(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．(2)用作商比较法，根据eq\f(an＋1,an)(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断．(3)函数法．✿✿✿求数列的最大项与最小项的常用方法(1)函数法，利用函数求最值．(2)利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)确定最大项，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)确定最小项．(3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或当an>0时，\f(an＋1,an)>1))，则an＋1>an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或当an>0时，\f(an＋1,an)<1))，则an＋1<an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1.★★★判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．♥♥♥等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．【题型归纳】题型一、等差数列及其通项公式1．（2324高二上·福建宁德·期末）已知等差数列中，，，则等于（

）A． B． C． D．2．（2324高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（

）A． B． C． D．3．（2324高二上·云南昆明·期末）已知数列中，且，则为（

）A． B． C． D．题型二、等差数列的性质4．（2223高二下·广东汕尾·期末）在等差数列中，，，则（

）A．4 B．5 C．6 D．85．（2223高二下·江苏镇江·期末）设等差数列的前项和为，若，且，则（

）A．1 B．2 C．2023 D．20246．（2122高二上·陕西铜川·期末）在等差数列中，，则的值为（

）A．6 B．12 C．24 D．48题型三、等差数列的函数特性7．（2324高二上·福建宁德·期末）已知等差数列的前项和为．若，，则当取最大值时，的值为（

）A． B． C． D．8．（2122高二下·北京房山·期末）已知无穷等差数列为递增数列，为数列前n项和，则以下结论正确的是（

）A． B．数列有最大项C．数列为递增数列 D．存在正整数，当时，9．（2223高二下·安徽合肥·期末）记等差数列的前项和为，已知，，则当取最大值时，的值为．题型四、等差数列的前n项和10．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．48 B．52 C．54 D．5611．（2223高二下·广东揭阳·期末）已知数列的各项均为正数，，数列为等差数列，其前n项和为，，，则（

）A．6 B．7 C． D．12．（2223高二下·陕西汉中·期末）在等差数列中，，则的前2023项和（

）A．2023 B．4046 C．6069 D．8092题型五、等差数列前n项和的性质13．（2223高二下·湖北·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（

）A． B． C． D．14．（2223高二上·山东济南·阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．15．（2223高二上·河南许昌·期末）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则．题型六、等比数列及其通项公式16．（2223高二上·江苏常州·期末）已知等比数列满足，，则（

）A．26 B．78 C．104 D．13017．（2324高三上·陕西安康·阶段练习）已知数列是递增的等比数列，其前n项和为.若，，则（

）A． B． C．或 D．－3或18．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列满足，若，则（

）A． B． C． D．题型七、等比数列的性质19．（2023·四川成都·一模）在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（

）A．3 B．9 C． D．20．（2023·吉林·一模）在等比数列中，，，则（

）A． B． C． D．1121．（2223高二上·安徽宣城·期末）已知等比数列的各项都是正数，其公比为4，且，则（

）A． B． C． D．题型八、等比数列的前n项和22．（2324高二上·四川宜宾·期末）已知等比数列的前项和为，且满足，则（

）A． B． C． D．23．（2023·河南开封·一模）记为等比数列的前项和，若，，则（

）A．6 B．8 C．9 D．1224．（2223高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2023项和（

）A． B． C． D．题型九、等比数列前n项和的性质25．（2223高二上·广东深圳·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C．是数列中的最大值 D．26．（2023·福建泉州·模拟预测）记等比数列的前项和为.若，，则（

）A． B． C． D．27．（2122高二上·重庆·期末）已知等比数列各项均为正数，且，，成等差数列，则（

）A． B． C． D．题型十、数列的实际应用28．（2324高二上·甘肃·期末）《周髀算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降､立冬､小雪､大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至､处暑､霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则大雪的日影子长为（

）A．1尺 B．1.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺29．（2324高二上·黑龙江哈尔滨·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……．则此数列的前15项之和为（

）A．114 B．116 C．124 D．12630．（2023·广东揭阳·模拟预测）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后天共走的里程数为（

）A． B． C． D．题型十一、数列的最值31．（2324高三上·辽宁·期中）已知正项等比数列的前n和为，若，且，则满足的n的最大值为.32．（2223高二下·湖南湘潭·期末）有穷等差数列的各项均为正数，若，则的最小值是.33．（2223高二下·浙江杭州·期末）已知数列满足，，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为．【专题强化】一、单选题34．（2324高二上·河南·期末）已知是公比为2的等比数列，若，则（

）A．100 B．80 C．50 D．4035．（2324高二上·湖南·期末）如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点．现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（

）A．米 B．米 C．米 D．米36．（2324高二上·湖南·期末）在数列中，已知，，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．537．（2024·四川绵阳·二模）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．38．（2324高二上·湖北·期末）定义：在数列中，若对任意的都满足为常数，则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（

）A． B．C． D．39．（2324高二上·四川宜宾·期末）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（

）A． B．C． D．40．（2324高二上·安徽合肥·期末）已知数列的前n项和满足，（），则的取值范围是（

）A． B． C． D．41．（2324高二上·重庆·期末）已知数列满足，且，数列满足，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．42．（2324高二上·北京·期末）正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．543．（2223高二上·江苏常州·期末）已知数列满足，若，则的前2022项和为（

）A． B． C． D．44．（2324高二上·河北衡水·阶段练习）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（

）项．A．4 B．5 C．6 D．7二、多选题45．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．46．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的公差为d，前n项和为，，，则下列说法正确的是（

）A． B．若，则时最大C．若，则使为负值的n的值有6个 D．若，则47．（2324高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，下列说法不正确的是（

）A．若，则成等比数列B．若为等差数列，则为等比数列C．若，则数列为等差数列D．若，则数列为等比数列48．（2324高二上·福建宁德·期末）数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，则下列说法正确的是（

）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C．是等差数列 D．、、成等比数列49．（2324高二上·重庆·期末）已知等差数列的前项和为，若，，，则下列结论正确的有（

）A．是递减数列 B．C． D．使成立的的最小值为404650．（2324高二上·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”.关于这个问题，下列说法正确的是（

）A．戊得钱是