新教材人教B版必修第二册4. 7 数学建模活动生长规律的描述作业

20202021学年新教材人教B版必修其次册4.7数学建模活动生

长规律的描述作业

一、选择题

/（%）

1、函数有两个零点，分别为那么以下结论

正确的选项是（

A—2<xt<—1x,+x2>-2B—2<xt<—1xt+x2>—1

C%<—2X1+&>-2口％<—2%+/>一］

2、某公司2020一整年的奖金有如下四种方案可供员工选择（奖金均在年底一次性

发放）.

方案1：奖金10万元

方案2：前半年的半年奖金万元，后半年的半年奖金为前半年的半年奖金的倍

方案3：第一个季度奖金2万元，以后每一个季度的奖金均在上一季度的根底上增

加5000元

方案4：第〃个月的奖金=根本奖金7000元+200〃元

假如你是该公司员工，你选择的奖金方案是（〕

A.方案1B.方案2C.方案3D.方案4

3、依据表格中的数据，可以断定方程-2=°的一个根所在的区间是（）

X-10123

ex1

x+212345

A.（-1,0.5）B.（T°）C.（1，）D.（2,3）

4、假设函数‘（力=也工一/+"一2有两个不同零点，那么实数k的取值范围是

（）

U+8〕化［J©

A.14脑」&〔4八〔4）

5、假如函数y=f（x）在&切上的图象是连续不断的一条曲线，那么

“/（办/（力<°”是“函数y=/a）在（d份内有零点”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6、定义在R上的函数八X）的图象是连续不断的，且有如下对应值表:

X1234

/（X）——-1

那么函数,（X）肯定存在零点的区间是（）

A.（L2）B.Q，3）c.（3,4）D.（"⑼

7、函数/（x）=W—2卜"+1恰有两个零点，那么实数人的取值范围是（）

A.1叼）B.（5，）C.（L2）D.（2,+8）

小）=[右山＞

8、函数[-x2-2x+\,x＜0假设方程r（x）+"（x）+2=°有&个相异实

根，那么实数的取值范围（）

A.（＜—2）B.（-4,-20）&（一3，-2）＞3,-2立）

9、己知函数""一d，假设关于x的方程"（x）f+何'。）+机-1=°恰有3个

不同的实数解，那么实数"?的取值范围是（）

A.S，2M2什）B.c.IT%.（10

10、设f（x）=3X+3x-8,用二分法求方程3X+3x-8=0在x€（l,2）内近似解

的过程中，得到f⑴＜0，4.5）＞0,瑁.25）＜0,那么方程的根落在区间（）

（1.25,1.5）（1.1.25）（1.5.2）

A.B.C.D,不能确定

11、用二分法求函数/（x）=V+5的零点可以取的初始区间是（）

A.（-2,1）B,（-1,0）c＜（0,1）D.（1,2）

12、函数y=a+2）inw的图象大致为（）

A.

B.

C.

y

二、填空题

13、二次函数f(x)=x，x+6(mGR),假设f(x)在区间(1,3)内恰有一个零点,

那么实数m的取值范围是.

2\/x,0<x<l

/(x)=<]1

—,x>1f(x)=——x+a(aeR)

14、函数I*,假设方程'4恰好有三个不

等的实根，那么实数a的取值范围为.

15、方程怆(2》+1)-但》=1的解为.

16、对于函数y=f(x),假设在其定义域内存在x。，使得x°f(x。)=1成立，那么

称函数f(x)具有性质M.

(1)以下函数中具有性质M的有一

①f(x)=-x+2

②f(x)=sinx(x£[0,2冗])

1

H—

③f(x)=xX,(xG(0,+8))

④f(x)

(2)假设函数f(x)=a(|x-2|-1)(xe[-b+~))具有性质M,那么实数a

的取值范围是—.

三、解答题

17、1本小题总分值10分)某公司生产一种产品，每年需投入固定本钱万元，此外

每生产1百件这样的产品，还需增加投入万元，经市场调查知这种产品年需求量为

5百件，产品销售数量为♦(百件)时，销售所得的收入为I2)万元.

(I)该公司这种产品的年生产量为x百件，生产并销售这种产品所得到的利润关

于当年产量'的函数为“X）,求/“）；

（II）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大.

18、（本小题总分值12分）某地区居民生活用电分为顶峰和低谷两个时间段进行分

时计价，该地区的电网销售电价表如下：

顶峰时间段用电价格表

顶峰月用电量（单位：千瓦时）顶峰电价（单位：元/千瓦时）

50及以下的局部

超过50至200的局部

超过200的局部

低谷时间段用电价格表

低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）

50及以下的局部

超过50至200的局部

超过200的局部

假设某家庭5月份的顶峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千

瓦时，那么按这种计费方式，该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）.

19、（本小题总分值12分〕圆柱形水杯质量为“克，其重心在圆柱轴的中点处（杯

底厚度及重量忽视不计，且水杯直立放置）.质量为力克的水恰好装满水杯，装满

水后，水杯的重心还在圆柱轴的中点处.

（1）假设方=3。，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比

值.

（2）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？

20、（本小题总分值12分）两城市A和3相距20初7,现方案在两城市外以为

直径的半圆48上选择一点0建筑垃圾处理场，其对城市的影响度与所选地点到城

市的距离有关，对城A和城3的总影响度为城A和城B的影响度之和，记0点到

城A的距离为或加，建在0处的垃圾处理场对城A和城8的总影响度为V,统计

调查说明：垃圾处理场对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比

例系数为4,对城8的影响度与所选地点到城8的距离的平方成反比，比例系数为

k,当垃圾处理场建在A8的中点时，对城A和城B的总影响度为；

(1)将)'表示成X的函数；

(2)推断A8上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城A和城8的总影响

度最小?假设存在，求出该点到城A的距离；假设不存在，说明理由；

参考答案

1、答案A

/(x)+b=00]=2—b

解析依据零点的定义可知，有两个根，解方程可得12J

或

/]Y'

2再依据指数函数的值域即可得出-2<0<°,由此可以确定包4

的范围，求得答案.

详解

/。)=(1)-2+6=0j_L]=2-。＞0

依题可知,')有两个根，解得或

f-1=2+Z?>0

,目6<0,即一2<。<0.由于玉，所以

2(出=2…4,解产…；j<2,解得…;

已丫•口丫=口「="心(0,4)

\2J\2J\2),解得司+%2>-2.

应选：A.

点睛

此题主要考查函数零点的定义应用以及指数函数的单调性和值域的应用，属于中档题.

2、答案C

解析依次依据四种方案算出奖金各为多少，即可确定方案.

详解：方案2：所得奖金为4.5+4.5xl.2=9.9万元,

方案3：所得奖金为z+QwsHa+D+a+isb"万元，

方案4.所得奖金为(7000+200)+(7000+200x2)+--•+(7000+200x12)=99600元

=9.96万元.

所以应选方案3.

应选：C

点睛

此题考查函数的实际应用问题，考查计算力量，属于根底题.

3、答案C

解析利用零点存在性定理即可推断.

详解

令/(x)=e*-x-2.

由表中数据可得

/⑴=2.72-3=-0.28<0/（2）=7.39-4=3.39>0

所以〃1）力2）<。,

故函数零点所在的区间为°,2）.

应选：C

点睛

此题考查了零点存在性定理的应用，需熟记定理的内容，属于根底题.

4、答案B

解析把函数/ahJ1"+""有两个不同零点转化为y=yl2x-x2与

y=一丘+2有两个不同的交点，结合图像得出k的取值范围即可.

详解：解：函数+米-2有两个不同零点等价于亚7'=-"+2有

与丁=一日+2有两个不同的交点.

y=y/2x-x2等价于（1）+）「=】（”°）表示圆心为0，°）半径为1的上半个圆.

直线y=一丘+2过定点（0,2）,

依据图像，当直线尸一日+2与半圆产出%一％2相切时，y=与

卜2|一13

I「—1k=—

丁=一履+2刚好有一个交点，此时，.公+1,解得一一

当直线丁=一"+2过（2，°）点时，y=yl2x-x2与丁=一日+2刚好有两个交点，此时,

0=-2左+2,解得人=1

所以，要使y=J2x_f与y=_>+2有两个不同的交点,只需^4

应选：B.

点睛

此题考查函数的零点问题，考查同学数形结合的思想，属于中档题.

5、答案A

解析由零点存在性定理得出“假设/3＞/（与＜°,那么函数y=/a）在（。，刀内有零

点"举反例即可得出正确答案.

详解

由零点存在性定理可知，假设那么函数丁=/*）在（兄方）内有零点

而假设函数y=/（x）在（为与内有零点，那么八。＞/3）＜°不肯定成立，比方

/（x）=f在区间（-2,2）内有零点，但/（一2）"（2）＞0

所以，，/（幻•/（»＜（），，是“函数y=/a）在（。，刀内有零点”的充分而不必要条件

应选：A

点睛

此题主要考查了充分不必要条件的推断，属于中档题.

6、答案A

解析利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的推断，关键要推断函数在相应区

间端点函数值的符号，假如端点函数值异号，那么函数在该区间有零点.

详解：解：由于函数/⑴是定义在H上的连续函数，且/⑴/⑵＜0,

依据函数零点的存在定理可知故函数在区间0'2）内存在零点.

应选：A.

点睛

此题考查函数零点的推断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区

间的端点函数值异号，属于根底题.

7、答案B

解析先利用函数的零点转化成方程的根、函数图像的交点问题，再数形结合即得结果.

详解：由函数/（”=k一2|一"+1有两个零点，即方程打一2|+1="有两个根，即函

数g（x）=|x-2|+l与/7（幻="有两个交点，作图如下：

/?(x)="恒过(0,0),旋转过程中，在直线‘一5“和y=x之间时有两个交点,

应选：B.

点睛

此题考查了函数的零点与方程的根、函数图像的交点之间的等价转化，考查了数形结合

思想，属于中档题.

8、答案D

解析画出函数八”的图象如以下图所示.由题意知，当x=T时，〃T)=2；当％=1

...方程/2(x)+"(x)+2=°有&个相异实根,

...关于f的方程产+初+2=°在(1，2)上有两个不等实根.

令g(f)=产+初+2,ZG(1,2)

A=ZJ2-8>0

10

1<——b<2

<2

g(l)=Z?+3>0

那么［g⑵=2b+6>0,解得-3<0<-20.

实数加勺取值范围为夜).选D.

点睛：函数零点的个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的方法

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

⑵别离参数法：先将参数别离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后

数形结合求解，对于一些比拟简单的函数的零点问题常用此方法求解.此题中在结合函

数图象分析得根底上还用到了方程根的分布的有关学问.

9、答案C

解析先画出函数/(“)的图象，令/(")=',由题意中的恰有3个不同的实数解，确定

方程产+的+机-1=°的根的取值状况，继而求出加的范围

、e'—xcx1-x

\xJ~72~=——

/(x)=-v(ex}'e

详解：e,那么V)

当X«YO,1)时，/(x)单调递增

当xe(l,+oo)时，/，(x)<0,/(x)单调递减

如下图：

L

I-1011234X

令/(1)=，，那么有产+机/+机-1=0

即(r+〃Ll)"+l)=°

解得“1-加，“-1

0<l-m<-

故e

即e

应选c

点睛

此题考查了复合函数根的状况，在解答此类题目时需要运用换元法，依据原函数图像，

结合实数点的个数，确定方程根的取值范围，从而进行转化为方程根的状况，然后求解,

此题需要进行转化，有肯定难度.

10、答案A

解析由函数单增且f(l.25)-f(l.5)<0即可得解.

详解

易知f(x)在R上是增函数.由题意可知f(1.25)•f(1.5)VO,故函数f(x)=3*+3x-8

的零点落在区间(1.25,1.5)内.应选A.

点睛

此题主要考查了二分法，属于根底题.

11、答案A

解析依据所取的初始区间的端点值对应的函数值异号进行逐项推断即可.

详解：由于｛2)=-3<0,/(1)=6>0,

所以，(一2)/(1)<。，

所以函数/(幻在(一2,1)上有零点.

故可以取区间(-2/)作为计算的初始区间，用二分法逐步计算.

应选：A.

点睛

此题考查二分法的概念理解，难度较易.

12、答案A

解析解：令丁=("+2)1川目=0,解得x=TLT,.该函数有三个零点，故排解B；当

X<-2时，2<0,忖>：,「做H江加2》，咖，当x<-?时，y=(*+2)lnW。，排

解C、D.应选A.

考点：函数的图象.

13、答案｛2#｝|J[5,7)

解析由必一小+6=()别离常数加，依据x的取值范围，求得，”的取值范围.

详解

6(、6

fix)-无2―+6-01m=x+—g(x)=x十一

令“刃一x"式十D-U,当]vx<Q3时，有x.令、)x,

、16X2-6(X+A/6)(X-V6)

g(x)3=■=------P------*Ng(x)/r0，新「庄"万新，3%

XXX所以^在、/上递减，在'/上

递增，在x=#时有最小值为g㈣=2"g(l)=7,g(3)=5

由于在区间0'3)内恰有一个零点，所以5Wm<7或加=2"

[2闹u[5,7)

故答案为：I>L7

点睛

本小题主要考查依据零点的分布求参数的取值范围，属于根底题.

14、答案—

/（x）=——x+a（aeR）y=——x+a

解析要满意方程4恰好有三个不等的实根，那么直线4与

1I

y=—„y=—x+aa

'x在1>°相切以上（不含相切）和直线’4过点以下（不含过该点的

直线〕，利用方程的思想最终求出实数a的取值范围.

详解

/（X）=~—x+a{aeR）y=-—x+a

解析：要满意方程4恰好有三个不等的实根，那么直线4与

11

y=—八y=—x+a/I1、

-X在x>°相切以上（不含相切）和直线,4过点以下（不含过该点的

1111112,

y=——x+ay=——=——x+a1=——x~+axk八

直线〕，当直线‘4与.x相切时，即x4，所以4，所以△=（）,

1_5.5

y=—x+aci、a=-[<a<—

所以。=1,（一1舍去），当直线4过点（1/）时・，4,所以4.

点睛

此题考查了方程有实根求参数的取值范围，考查了推理认证力量，考查了数学运算力量.

15、答案x=：.

8

解析在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的差等于商的对数去掉对数符号，求解

分式方程得答案.

.2x+l_

详解：由于lg（2x+l）-gx=l,所以喧丁=即

x>Q

2x+1>0

^^-=10

所以X

1

X=一

解得8,

1

x=—

故答案为：8

点睛

该题考查的是有关对数方程的求解问题，在解题的过程中，留意对数式有意义的条件，

对数式的运算法那么，属于根底题目.

16、答案①②④或a>0

2

解析(1)①由于f(x)=-x+2,假设存在，那么/(一/+2)=1,解一元二次方

程即可.②假设存在，那么*。‘in々=1,即应sin/-1=0,再利用零点存在定

(11]

*0/+—=1

理推断.③假设存在，那么IXq)，直接解方程.④假设存在，那么

J*。+1=1,即々J*。+1-1=°,令f("J=x*。*1-1,再利用零点

存在定理推断.

(2)假设函数f(x)=a(|x-2|-1)(xG[-1,+8))具有性质M,那么ax(|x-

1

2|-1)=1,xe[-1,+8)有解，将问题转化：当x22时，/-3x有解,

a=---------

当一l〈x<2时，有解，分别用二次函数的性质求解.

详解：(1)①由于f(x)=-x+2,假设存在，那么"°(一/+可=1

即城―2/+1=0,所以%=1,存在.

②由于f(x)=sinx(xd[0,2n]),假设存在，那么*。=1

即々sinX。-1=°,

令f(X。)=X。sinx°-1,

f(l)=sin1-1<0,/—sin---1>0

22

所以存在

③由于f(x)=xx,(xW[0,+8”，假设存在，那么

即4=02(0,+oo),所以不存在.

④由于f(x)=GR,(xG(0,+8)),假设存在，那么+1=1

即XQ\IXQ+1-1=°

令F(*o)=XoJ，o+1-1

-1<o,r(i)=Vm-1>o

所以存在I

(2)假设函数f(x)=a[|x-2|-1)(xe[-1,+8))具有性质M,

那么ax(|x-2|-1)=1,xG[-1,+8)有解，

_]

当x22时，x"-3x有解，

9

g(x)x--3x——6[—2,4-oo)

当一lWx<2时,-x+x有解,

g(x)=—/+xe[—2,匀

ae(-oo,-J(0,4]

所以2

<-l

综上：实数a的取值范围是a2或a>0.

<-1

故答案为：(1).①②④(2).a2或a>0

点睛

此题主要考查了函数的零点，还考查了转化化归的思想和运算求解的力量，属于中档题.

--x2+—x--,(0<x<5)

242

17、答案(I)/(》)=<；(ID475#.

12--,(x>5)

(ID分别求当0<xW5时和当x>5时，/(x)的最大值，最终比拟即可得出最大利润.

1,1,191

详解：(I)当0<xW5时，/(x)=5x--x2-(0.25x+0.5)=--x2+—x--,

当x>5时，/(X)=5X5--X52-(0.25X+0.5)=12--.

24

■1191…

--X2HX—,(z0n<X5)

所以/(%)=242

X

12--,(x>5)

牝c，/、1，1911,I/345

(II)当0<xW5时，f(x)=--x2+—x--=--(x--)2+—,

太19升〜、345

在X=1时，/(x)max=-；

r5345

当x>5时，/(x)=12—；<12一六蓑.

综上所述，当犬=1=9时，f(x)有最大值，

即当年产量为475件时，公司所获得的利润最大.

点睛

此题主要考查了函数模型分段函数，涉及函数求最值，属于根底题.

解析

18、答案答8.4

解析此题首先可以结合表中数据计算出顶峰时间段的电费，然后计算出低谷时间段的电

费，最终两者相加，即可得出结果.

详解：顶峰时间段的电费：50x0.568+150x0.598=118.1(元)，

低谷时间段的电费：50x0.288+50x0.318=30.3(元)，

所以该家庭本月应付的电费为118.1+30.3=148.4(元)，

故答案为：148.4.

点睛

此题考查从材料中提取信息解决实际问题，能否从材料中精确?????的找出关系式是解

决此题的关键，考查同学处理信息的力量，是简洁题.

19、答案(1)—；(2)(以+"一〃)克,理由见解析.

(2)设装入工克水后的水杯的重心位置为y,将问题转化为:求当》为何值时，丁最小.再

\nYx

写出V关于x的表达式，y=/(x)=-x-^+—x——，再利用函数性质求解即可.

2a+x2ba+x

详解：不妨设水杯高为1个单位.

b

(1)由题意可知，当装了半杯水后，杯子质量:水的质量=a：二.由于6=3a,所以杯

2

23

子质量:水的质量=2:3,即杯子占总质量的不，水占总质量的又由于杯子的重心位

置(这里的重心位置指重心到水杯底面的距离)为!，水的重心位置为所以装入

24

12137

半杯水后的水杯的重心位置为二x=+：x==二，故装入半杯水后的水杯的重心到水

254520

,77

杯底面的距离与水杯高度的比值为—:1=—.

(2)设装入x克水后的水杯的重心位置为y,将问题转化为：求当x为何值时，y最小.

当装入x克水后，杯子质量:水的质量=a：x,即杯子占总质量的一人一，水占总质量的

a+x

x1

——，杯子的重心位置为:.由于装入人克水，水的高度为1,所以装入X克水，水

a+x2

YY

的高度为:，故X克水的重心位置为三，

b2b

\nxx

所以装入工克水后的水杯的重心位置为y=/(x)=-x——+—x——

2a+x2ba+x

-----------(a>0,6>0,x>0)・

2bx+2ab

2222

当X]>%