2024-2025新教材高中数学课时检测19双曲线的几何性质含解析苏教版选择性必修第一册

PAGEPAGE5双曲线的几何性质[A级基础巩固]1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)解析：选C双曲线方程可变形为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.2．(2024·北京高考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的离心率是eq\r(5)，则a＝()A.eq\r(6) B．4C．2 D.eq\f(1,2)解析：选D由双曲线方程eq\f(x2,a2)－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2).结合a>0，解得a＝eq\f(1,2).故选D.3．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(1,4)x B．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±x解析：选C已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，故有eq\f(a2＋b2,a2)＝eq\f(5,4)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，解得eq\f(b,a)＝eq\f(1,2).故双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，故选C.4．(多选)双曲线C与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则双曲线C的标准方程可以为()A.eq\f(x2,4)－y2＝1 B．y2－eq\f(x2,4)＝1C．x2－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(y2,4)－x2＝1解析：选AB由题知c＝eq\r(5)，设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，∴eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,\f(λ,4))＝1，∴λ＋eq\f(λ,4)＝5或－eq\f(λ,4)＋(－λ)＝5，∴λ＝4或λ＝－4.故选A、B.5．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则()A．双曲线C的渐近线方程为y＝±xB．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1C．点P的横坐标为±1D．△PF1F2的面积为eq\r(2)解析：选ACD等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确．由双曲线的方程可知|F1F2|＝2eq\r(2)，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误．点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2，,y0＝x0，))解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确．由上述分析可得△PF1F2的面积为eq\f(1,2)×2eq\r(2)×1＝eq\r(2)，故D正确．故选A、C、D.6．已知双曲线的虚轴长为4，离心率e＝eq\f(\r(6),2)，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，则双曲线的实轴长为________，|AB|＝________．解析：由题意可知2b＝4，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),2)，又c2＝a2＋b2，于是a＝2eq\r(2).因为2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝4a＝8eq\r(2).答案：4eq\r(2)8eq\r(2)7．设双曲线C经过点(2，2)，且与eq\f(y2,4)－x2＝1具有相同的渐近线，则C的方程为________，渐近线方程为________．解析：设双曲线C的方程为eq\f(y2,4)－x2＝λ(λ≠0)．将点(2，2)的坐标代入，得λ＝－3，∴双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝1，渐近线方程为y＝±2x.答案：eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝1y＝±2x8．已知双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,3m)＝1的一个焦点为(0，2)，则实数m的值是________，渐近线方程是________．解析：由题意知双曲线焦点在y轴，故m＜0，由c2＝a2＋b2＝－3m－m＝4，解得m＝－1，所以渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\r(3)x.答案：－1y＝±eq\r(3)x9．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．解：将4x2－y2＝4变形为x2－eq\f(y2,4)＝1，即eq\f(x2,12)－eq\f(y2,22)＝1.∴a＝1，b＝2，c＝eq\r(5).因此顶点坐标为A1(－1，0)，A2(1，0)，焦点坐标为F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)，实半轴长a＝1，虚半轴长b＝2，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),1)＝eq\r(5)，渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±2x，草图如图所示．10．已知双曲线E与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1共渐近线，且过点A(2eq\r(3)，－3)．若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程．解：由题意，设双曲线E的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝t(t≠0)．∵点A(2eq\r(3)，－3)在双曲线E上，∴eq\f(（2\r(3)）2,16)－eq\f(（－3）2,9)＝t，∴t＝－eq\f(1,4)，∴双曲线E的标准方程为eq\f(y2,\f(9,4))－eq\f(x2,4)＝1.又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，∴双曲线M的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,\f(9,4))＝1.[B级综合运用]11．已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是()A.eq\r(2) B.eq\f(5,3)C.eq\f(5,2) D.eq\r(5)解析：选C由双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，可得其一条渐近线的方程为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0，5)，半径r＝2，则圆心到直线的距离为d＝eq\f(|－5a|,\r(b2＋（－a）2))＝eq\f(5a,c)，则eq\f(5a,c)＝2，可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,2).12．已知双曲线C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A.eq\f(3,2) B．3C．2eq\r(3) D．4解析：选B因为双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝eq\f(\r(3),3)x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－eq\r(3)(x－2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)（x－2），,y＝\f(\r(3),3)x))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，所以|OM|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq\r(3)，所以|MN|＝eq\r(3)|OM|＝3，故选B.13．双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则B点坐标为________，△AFB的面积为________．解析：双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右顶点A(3，0)，右焦点F(5，0)，渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)x.不妨设直线FB的方程为y＝eq\f(4,3)(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝eq\f(17,5)，y＝－eq\f(32,15)，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,5)，－\f(32,15))).所以S△AFB＝eq\f(1,2)|AF||yB|＝eq\f(1,2)(c－a)·|yB|＝eq\f(1,2)×(5－3)×eq\f(32,15)＝eq\f(32,15).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,5)，－\f(32,15)))eq\f(32,15)14．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b＞0)的左焦点为F，且P是双曲线上的一点，求|PF|的最小值．解：记双曲线的焦距为2c，则F(－c，0)，而且c＝eq\r(a2＋b2).设P(x，y)，则|PF|2＝(x＋c)2＋y2，又因为P是双曲线上一点，所以eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，即y2＝－b2＋eq\f(b2,a2)x2，因此|PF|2＝(x＋c)2－b2＋eq\f(b2,a2)x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b2,a2)))x2＋2cx－b2＋c2＝eq\f(c2,a2)x2＋2cx＋a2＝eq\f(c2,a2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋2\f(a2,c)x＋\f(a4,c2)))＝eq\f(c2,a2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a2,c)))eq\s\up12(2).留意到x≤－a或x≥a，而且0＞－eq\f(a2,c)＝－eq\f(a,c)a＞－a，所以，当x＝－a时，|PF|2最小，且最小值为eq\r(\f(c2,a2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(a2,c)))\s\up12(2))＝c－a.[C级拓展探究]15．求双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,36)＝1上随意一点M到两条渐近线的距离的乘积，并把结论推广到一般的双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1.解：设M(x0，y0)为双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,36)＝1上随意一点，则eq\f(xeq\o\al(2,0),4)－eq\f(yeq\o\al(2,0),36)＝1，即9xeq\o\al(2,0)－yeq\o\al(2,0)＝36，渐近线方程为y＝±3x，即3x－y＝0和3x＋y＝0.∴点M到直线3x－y＝0的距离为d1＝eq\f(|3x0－y0|,\r(10))，点M到直线3x＋y＝0的