新人教版高中数学必须第二册第八章立体几何初步导学学案

基本立体图形

【第一学时】

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

【学习目标】

1.理解棱柱的定义，知道棱柱的结构特征，并能识别

2.理解棱锥、棱台的定义，知道棱锥、棱台的结构特征，并能识别

3.能将棱柱、棱锥、棱台的表面展开成平面图形

【学习重难点】

1.棱柱的结构特征

2.棱锥、棱台的结构特征

3.应用几何体的平面展开图

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题：

1.空间几何体的定义是什么？

2.空间几何体分为哪几类？

3.常见的多面体有哪些？

4.棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征？

二、新知探究

探究点②____________________________

棱柱的结构特征

例1：下列关于棱柱的说法：

①所有的面都是平行四边形；

②每一个面都不会是三角形；

③两底面平行，并且各侧棱也平行；

④被平面截成的两部分可以都是棱柱.

其中正确说法的序号是

探究点酉一

棱锥、棱台的结构特征

例2：下列关于棱锥、棱台的说法：

①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台;

②棱台的侧面一定不会是平行四边形；

③棱锥的侧面只能是三角形；

④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.

其中正确说法的序号是.

探究点画L

空间几何体的平面展开图

例3：（1）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、

上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图

（图中数字写在正方体的外表面上），若图中的“2”在正方体的上

9快

面，则这个正方体的下面是（)

A.1B.9乐

C.快D.乐

(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？

【学习小结】

1.空间几何体的定义及分类

(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素，那么由这

些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.

(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类.

2.空间几何体

类别定义图示

由若干个平面多边形围成的几何体叫

一

做多面体.围成多面体的各个多边形

多面体叫做多面体的面；两个面的公共边叫

做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做

I页点

多面体的顶点F

轴一

B'

一条平面曲线(包括直线)绕它所在£

平面内的这条定直线旋转所形成的曲

旋转体面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的

几何体叫做旋转体.这条定直线叫做1

旋转体的轴

3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征

结构特征及分类图形及记法

棱结构特(1)有两个面(底面)互

柱征相平行

（2）其余各面都是四边形

（3）相邻两个四边形的公侧面一

侧棱,

共边都互相生任4—葬顶点

按底面多边形的边数分为记作棱柱

分类

三棱柱、四棱柱…ABCDEF-A'B'C'D'E'F'

续表

X结构特征及分类图形及记法

（1）有一个面（底面）是多边顶点

侧棱//侧面

结构特芨

棱征（2）其余各面（侧面）都是有

锥一个公共顶点的三角形4B

记作

按底面多边形的边数分为三棱

分类棱锥S-ABCD

锥、四棱锥……

（1）上下底面互相平行，且是

相似图形

结构特（2）各侧棱延长线相交于一点，露，

/，才万冷上底面

侧面与于'侧棱

征（或用一个平行于棱锥底面的平心事底面

棱4F

面去截棱锥，底面与截面之间那

台顶点

部分多面体叫做棱台）记作

由三棱锥、四棱锥、五棱锥……棱台ABCD-A'B'C'D'

分类截得的棱台分别为三棱台、四棱

台、五棱台...

【精炼反馈】

1.下面的几何体中是棱柱的有（）

国二口O

①②③

④⑤⑥⑦

A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

A.①③

B.③④

C.①②④

D.①②

3.有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体

为（）

A.四棱柱

B.四棱锥

C.三棱柱

D.三棱锥

4.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm,则每条侧棱长为

__________cm.

5.画一个三棱台，再把它分成：

（1）一个三棱柱和另一个多面体.

（2）三个三棱锥，并用字母表示.

【第二学时】

圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征

【学习目标】

1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种几何体的结构特征，能

够识别和区分这些几何体

2.了解简单组合体的概念和基本形式

3.会根据旋转体的几何体特征进行相关运算

【学习重难点】

1.圆柱、圆锥、圆台、球的概念

2.简单组合体的结构特征

3.旋转体中的计算问题

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题：

1.常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？

2.这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？

3.这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形?

二、新知探究

探究____________________________

圆柱、圆锥、圆台、球的概念

例1：(1)给出下列说法：

①圆柱的底面是圆面；

②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；

③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交;

④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.

其中说法正确的是.

(2)给出以下说法：

①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；

②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；

③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；

④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形.

其中正确说法的序号是.

探究点0

简单组合体的结构特征

例2：如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的（）

互动探究

［变条件、变问法］若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的

几何体的结构特征.

解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；

③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示.通过观察可知，

该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的.

①

探究点

旋转体中的计算问题

例3：如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆

锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16,截去的圆锥的母线长

(V

是3cm,求圆台0。的母线长.

・0

【学习小结】

1.圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征

（1）圆柱的结构特征

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所

定义

围成的旋转体

轴：旋转轴叫做圆柱的轴

、乙轴

4,二for底面底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

图示及相

：-一侧面侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面

关概念一母线

母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边

底面

柱体：圆柱和棱柱统称为柱体

（2）圆锥的结构特征

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转

定义

一周形成的面所围成的旋转体

轴：旋转轴叫做圆锥的轴

W轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

图不及相关喝侧面、A侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面

概念母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的

底面返炉

边

锥体：圆锥和棱锥统称为锥体

(3)圆台的结构特征

定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分

轴:圆锥的轴

底面集？

侦面工底面：圆锥的底面和截面

图示及相

母线侧面：圆锥的侧面在底面和截面之间的部分

关概念

母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分

底面

台体：圆台和棱台统称为台体

（4）球的结构特征

以半圆的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球

定义

面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球

球心上半径球心：半圆的圆心

图示及相

半径：半圆的半径

关概念

径直径：半圆的直径

2.简单组合体

（1）概念

由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.

（2）两种构成形式

①由简单几何体拼接而成;

②由简单几何体截去或挖去一部分而成.

【精炼反馈】

A.圆柱、圆锥、圆台和球

B.圆柱、球和圆锥

C.球、圆柱和圆台

D.棱柱、棱锥、圆锥和球

2.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能

是（）

A.圆锥

B.圆柱

C.球

D.棱柱

3.下列说法中正确的是.

①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；

②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；

③通过圆台侧面上一点，有无数条母线.

4.一个圆锥的母线长为20cm,母线与轴的夹角为30。，则圆锥的高。为

cm.

5.如图所示，将等腰梯形ABC。绕其底边所在直线旋转一周，可得到怎样

的空间几何体？该几何体有什么特点？

AD

Bc

【参考答案】

【第一课时】

二、新知探究

例1：【答案】③④

【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；

②错误，棱柱的底面可以是三角形；

③正确，由棱柱的定义易知；

④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号

是③④.

例2：【答案】②③④

【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底

面和截面之间的部分不是棱台.

②正确,棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形.

③正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形.

④正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.

⑤错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.

所以正确说法的序号为②③④.

例3：【解】（1）选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体,

“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以

下面是下”.

（2）题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱

柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符

合棱链的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相

似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：

所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.

【精炼反馈】

1.【答案】C

【解析】选C.棱柱有三个特征：（1）有两个面相互平行.（2）其余各面是四

边形.(3)侧棱相互平行.本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①

②③④⑤符合，故选C.

2.【答案】C

【解析】选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱

锥，④是棱锥.故选C.

3.【答案】D

【解析】选D.根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥.

4.【答案】12

【解析】因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以

侧棱长为弓=12(cm).

5.【答案】解：画三棱台一定要利用三棱锥.

8B

#①B②

(1)如图①所示,三棱柱是棱柱另一个多面体是B'C'C"B"BC.

(2)如图②所示，三个三棱锥分别是4-ABC,B'-A'BC,C'-A'B'C.

【第二课时】

二、新知探究

例1：【答案】(1)①②

(2)①④

【解析】(1)①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任

意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不

正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.

(2)根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不

正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确.

例2：【答案】A

【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.

例3：【答案】解：设圆台的母线长为/cm,

由截得的圆台上、下底面面积之比为1：16,可设

截得的圆台的上、下底面的半径分别为zrm,4/vm.过轴

SO作截面，如图所示，

则△SO'A's/SSOA,SA'=3cm.

所以而'一市'所以用一万一7

解得1=9,即圆台（70的母线长为9cm.

【精炼反馈】

1.【答案】B

【解析】选B.根据题中图形可知，（1）是球，（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）

不是圆台，故应选B.

2.【答案】D

3.【答案】②

【解析】①错误，连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴

平行，所以①不正确.③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线.

4.【答案】1即

【解析】/?=20cos30°=20x-^=l（h/3（cm）.

5.【答案】解：若将等腰梯形ABC。绕其下底3C所在的直线旋转一周，所

得几何体可以看作是以A。为母线,8。所在的直线为轴的圆柱和两个分别以A3,

为母线的圆锥组成的几何体，如图（1）所示.

若将等腰梯形ABCD绕其上底AD所在的直线旋转一周，所得几何体可以看

作是以为母线，A。所在的直线为轴的圆柱中两底分别挖去以AB,CD为母

线的两个圆锥得到的几何体，如图（2）所示.

(1)(2)

简单几何体的表面积与体积

【第一学时】

【学习目标】

1.了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积

2.能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的

体积之间的关系

【学习重难点】

1.柱、锥、台的表面积

2.锥体、台体的表面积的求法

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题:

1.棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？

4.柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？

5.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？

二、合作探究

探究点②____________________________

柱、锥、台的表面积

例1：(1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的()

A.啦倍

B.3倍

C.2倍

D.5倍

(2)已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角

形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为

()

A.1：^2B.1：小

C.2：啦D.3：^6

(3)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3,

圆台的侧面积为84兀，则该圆台较小底面的半径为()

A.7

B.6

C.5

D.3

探究点@____________________________

柱、锥、台的体积

例2：如图所示，正方体ABCD-A山IGOI的棱长为a,过顶点B,D,4截

下一个三棱锥.

(1)求剩余部分的体积；

(2)求三棱锥A-AiBO的体积及高.

探究

组合体的表面积和体积

例3：如图在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为小的圆柱,

求圆柱的表面积.

1.［变问法］本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比.

解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为r=l,高/7=小，所以圆柱的体积

V\=nrh=7t><l2x4=兀

圆锥的体积丫2=*32小=鸣.

所以圆柱与圆锥的体积比为3：8.

2.［变问法］本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积.

解：由例题解析可知：圆台的上底面半径r=l,下底面半径R=2,高〃=

小，母线/=2,所以圆台的表面积5=兀CP+^+r-l+Rl)=n(12+22+1X2+

2x2)=117i.

圆台的体积V=/r(，+〃?+衣2)h=g兀(l2+2+22)x4

3.［变条件、变问法］本例中的“高为小”改为“高为〃”，试求圆柱侧面积的最

大值.

解：设圆锥的底面半径为H,圆柱的底面半径为一,

则R=0C=2,AC=4,

AO=yj42-22=2y[3.

如图所示易知△AEBSAAOC,

AE_EB

所以Ad=OC'

即粽M

所以h=2y[3—y[3r,

S圆柱伸=2兀/7/—2兀r(2,\/3—d5r)

=-2小71户+4、[3冗八

所以当r=l,/?=小时，圆柱的侧面积最大，其最大值为2小兀.

【学习小结】

1.棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表

面积就是围成它们的各个面的面积的和.

2.棱柱、棱锥、棱台的体积

(1)5=曲；(2)V^=^Sh；V^S'+\[SS'+S),其中S',S分别

是棱台的上、下底面面积，力为棱台的高.

3.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

名称图形公式

底面积：5底=出

侧面积：S»=M

圆柱1

&

2*nr表面积：5=2兀〃+2>/

体积：V=7tr2/

底面积：S底=正

侧面积：S«,j=7tr/

圆锥(二

表面积：S=itrl-Smr

体积：V=^iit2h

上底面面积：S1■庇=口'2

下底面面积：S下底=立

侧面积：S(r+/)

破/

圆台表面积：

5=兀(/2+/+//+”)

体积：

丫=%〃(川+力+为

【精炼反馈】

1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则该长方体的表面

积为（）

A.22B.20

C.10D.11

2.正三棱锥的高为3,侧棱长为2小，则这个正三棱锥的体积为（）

27

A彳B-4

r271/3

。4D呼

3.已知圆台的上、下底面的面积之比为9：25,那么它的中截面截得的上、

下两台体的侧面积之比是.

4.如图，三棱台ABCAiBiG中，AB：AiBi=l：2,求三

棱锥AiABC,三棱锥BA\B\C,三棱锥CA\B\C\的体积之

比.

【第二学时】

【学习目标】

1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积

2.能解决与球有关的组合体的计算问题

【学习重难点】

1.球的表面积与体积

2.与球有关的组合体

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题：

1.球的表面积公式是什么？

2.球的体积公式什么？

二、合作探究

探究^^面上

球的表面积与体积

例1:（1）已知球的体积是于，则此球的表面积是（）

A.12兀B.16兀

_16兀

（2）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂

直的半径，若该几何体的体积是竽，则它的表面积是（）

A.17兀B.18兀

C.2071D.28兀

探究@L

球的截面问题

例2：如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容

器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰

好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器厚度，则球的体

积为（）

500兀q八866兀q

A.--cm°B.--cm'

探究点血L

与球有关的切、接问题

角度一球的外切正方体问题

例3：将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为

()

4兀啦兀

A.*yB.2-

C.冬D,^

Zo

角度二球的内接长方体问题

例4：一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱

的长分别为1，2,3,则此球的表面积为.

角度三球的内接正四面体问题

例5：若棱长为。的正四面体的各个顶点都在半径为H的球面上，求球的表

面积.

角度四球的内接圆锥问题

例6：球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,

则该圆锥的体积和此球体积的比值为.

角度五球的内接直棱柱问题

例7：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为“，顶点都在一个球面

上，则该球的表面积为()

A.na2B.^TUZ2

11,

C.}T皿-9D.5na-

【学习小结】

1.球的表面积

设球的半径为R,则球的表面积S=4兀

2.球的体积

设球的半径为R,则球的体积V=刍n.

【精炼反馈】

1.直径为6的球的表面积和体积分别是（）

A.36兀，144兀B.36兀，36兀

C.144兀，36兀D.144TI,144兀

2.一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是（）

A善B*

oZ

恒州

。2D2兀

3.若两球的体积之和是12n,经过两球球心的截面圆周长之和为6兀，则两

球的半径之差为（）

A.1B.2

C.3D.4

4.已知棱长为2的正方体的体积与球。的体积相等，则球。的半径为

5.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且

AB=BC=CA=2,求球的表面积.

【参考答案】

二、合作探究

例1：【答案】(1)C

(2)B

(3)A

【解析】(1)设圆锥的底面半径为r,母线长为I,则由题意可知，l=2r,

S船=兀尸2r=2兀3，S底=兀/,可知选C.

(2)棱锥Q-ACO为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方

体的棱长为1,则B'C=^2,SAB，AC=^.

三棱锥的表面积S锥=4x坐=2S，

又正方体的表面积S正=6.

因此S傩：S正=2小：6=1:小.

(3)设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3八由S例=3兀(r+

3r)=84兀，解得r=7.

例2：【答案】(1)V三棱锥

111.

=^X-/1BA£)AIA=^3.

故剩余部分的体积

V=V正方体一V三棱锥A\-ABD=ai—^a3=^ai.

(2)V三棱锥A-A山。=V三棱锥AI-A8D=23.

设三棱锥A-A18。的高为4,

则V三棱锥

(巾a)2h=^a2h,

322vo

故坐屋

J3

解得h=^-a.

例3：【答案】设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,表面积为S.

则R=OC=2,AC=4,

AO=\/42~22=2y[3.

如图所示，A

易知△AEBs^AOC,

所以翳=遂，即露=£所以-1，Af\

S底=2无户=2兀，S®j=litr-h=2^/371.三三》,

所以S=S底+S网=2兀+2小无

=(2+2小)7i.

【精炼反馈】

1.【答案】A

【解析】选A.所求长方体的表面积S=2x(1x2)+2x(1x3)+2x(2x3)

=22.

2.【答案】D

【解析】选D.由题意可得底面正三角形的边长为3,所以V=；x乎X32X3=

孥.故选D.

3.【答案】7：9

【解析】圆台的上、下底面半径之比为3：5,设上、下底面半径为3x,5x,

则中截面半径为4x,设上台体的母线长为/,

则下台体的母线长也为/,上台体侧面积Si=7t(3x+4x)/=7心/,下台体侧

面积S2=n(4x+5x)l=9nxl,所以5i：S2=7：9.

4.【答案】解:设棱台的高为力，SAABC=S,则SAABCI=4S.

所以侬1ABC=gsAABch=gsh,

14

VCA\B\Ci=-^S^A\B\Ci-h:=-jSh.

17

又V台(S+4s+2S)=^Sh,

所以VBA\B\C=Vi-VA\ABC-VCA\B\C\

7°,Sh4sh20,

~3Sj~T~~~3Sh,

所以体积比为1：2：4.

【第二课时】

例1：【答案】(1)B

(2)A

【解析】(1)设球的半径为R,则由已知得

4327r

丫=于7?3=飞-,解得R=2.

所以球的表面积S=4TTR2=]6兀.

(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉!后剩下的几何体,

O

设球的半径为r,

,,74a28

®gX-；rr--yn,

73

所以r=2,表面积5=/<4兀，+彳兀,二17兀，选A.

o4

例2：【答案】A

【解析】如图，作出球的一个截面，则MC=8—6=2(cm),

8M=；AB=；x8=4(cm).

设球的半径为Rem,则

R2=OM2+MB2

=(R—2)2+42,

所以R=5,

所以V球=方兀'53=9^9兀(cm3).

例3：【答案】A

【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的

直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2,故半径为1,其体积是胃

兀

X7TX1l-35=—4

例4：【答案】14兀

【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R=

^l2+22+32=V14,

所以球的表面积5=4兀7?2=[4兀.

例5：【答案】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x,则。=啦

x,由题意,

所以S现二而配二呼3足.

93

例6：【答案】或G

【解析】①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为一,

事F

则球心到该圆锥底面的距离是会于是圆锥的底面半径为2

-2，

——3r

IWJ为5・

该圆锥的体积为gx兀x1WXT，球体积为%凡所以

孤39

该圆锥的体积和此球体积的比值为「=琶.

②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值

73

为亚

例7：【答案】B

【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，旦侧棱与底面边长

相等，均为a-如图，P为三棱柱上底面的中心，0为球心，易知

4尸=多<坐/=坐2,0尸=%,所以球的半径R=0A满足R2=(坐，

+(%)=卷入故S现=4兀7?2=/皿2.

【精炼反馈】

1.【答案】B

4

【解析】选B.球的半径为3,表面积5=4兀-32=36兀，体积V=^7t-33=367r.

2.【答案】A

【解析】选A.设正方体棱长为0,球半径为已由6a2=4兀代得籍、仔，

所以%|5=凯郛=乎.

3.【答案】A

【解析】选A.设两球的半径分别为R,rCR>r),则由题意得

4?i..4K,,一

-r/?3+_rr3=12兀R=2,

解得故R—r=L

r=l.

、2兀7?+2兀r=6兀,

4.【答案】A

4

【解析】设球0的半径为r,则步尸=23,

解得「=非.

5.【答案】解：设截面圆心为O,球心为。，连接OA,

0A,00',

设球的半径为R.

因为OA=|x坐X2=¥.

在RQO'OA中，0A2=0乂2+。，02,

所以於=（的2+京2,

4

所以R=y

64

所以S球=4兀R2=W兀

7

空间点、直线、平面之间的位置关系

【第一学时】

【学习目标】

1.了解平面的概念，会用图形与字母表示平面

2.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系

3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实理解三个基本事实的

地位与作用

【学习重难点】

1.平面的概念

2.点、线、面的位置关系

3.三个基本事实及推论

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题：

1.教材中是如何定义平面的？

2.平面的表示方法有哪些？

3.点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？

4.三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？

二、合作探究

探究__________________________

图形、文字、符号语言的相互转化

例1：（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形.

平面ABD与平面BDC交于BD,平面ABC与平面AOC交于AC.

（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予

以表示.

A^l,ABua,ACu^.

探究点且L

点、线共面问题

例2：证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.

【解】已知：如图所示，/in/2=A,12nb=B,—C

求证：直线/i,b,，3在同一平面内.

探究点

三点共线、三线共点问题

例3：如图所示，在正方体ABCD-A山iCiDi中，E、/分别为3____c,

AB.A4i的中点.求证：CE,D\F,OA三线交于一点.41ds一佚

AEB

［变条件、变问法］若将本例条件中的“E,产分别为AB,的中点”改成

“E,E分别为AB,441上的点，且OiFC!CE=M"，求证：点。、A、M三点共

线.

证明：因为OiFnCE=M,

且。iFu平面AiOiZM,所以MW平面4AD4,

同理MG平面BCDA,

从而M在两个平面的交线上，

因为平面AiDiDACl平面BCDA=AD,

所以成立.所以点。、A、M三点共线.

【学习小结】

1.平面

（1）平面的概念

几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象

出来的.平面是向四周无限延展的.

(2)平面的画法

我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.当水平放置时，常把平行

四边形的一边画成横向;当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向.

(3)平面的表示方法

我们常用希腊字母a,但>等表示平面，如平面a、平面以平面y等，并

将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的

四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的

平面a,也可以表示为平面ABC。、平面AC或者平面

2.点、线、面之间的关系及符号表示

A是点，根是直线,a,夕是平面.

文字语言符号语言图形语言

A在/上A自AI

A在/外A^l-J/

A在a内A且a/

•A

A在a外A^a//

/在1内仁akI/

-----/

/在a外4__/

1,加相交于A

1,a相交于AlC\a=A%

a,0相交于I

3.平面的性质

基本

文字语言图形语言符号语言

事实

A,B,C三点不

过不在一条直线上

基本共线=存在唯一的

的三个点，有且只

事实i「C/平面a使A,B,

有一个平面

CGa

基本如果一条直线上的_/认/_AG/,BGI,且A

事实2两个点在一个平面

内，那么这条直线lua

在这个平面内

如果两个不重合的

平面有一个公共P^a,且PW

基本

点，那么它们有且80aC6=l,且P

事实3与

只有一条过该点的e/

公共直线

4.平面性质的三个推论

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.如图(1).

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.如图(2).

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.如图(3).

(1)(2)(3)

【精炼反馈】

1.能确定一个平面的条件是()

A.空间三个点B.一个点和一条直线

C.无数个点D.两条相交直线

2.经过同一条直线上的3个点的平面()

A.有且只有一个B.有且只有3个

C.有无数个D.不存在

3.如果直线au平面a,直线bu平面a,MGa,NGb,NGl,则()

A.luaB.

C.lC\a=MD.!T\a=N

4.如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()

A.没有其他公共点B.仅有这一个公共点

C.仅有两个公共点D.有无数个公共点

5.说明语句mAa=A,A£/”表示的点、线、面的位置关系，并画出

图形.

【第二学时】

【学习目标】

1.了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义

2.了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系,

会用符号语言和图形语言表示

3.了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系,

会用符号语言和图形语言表示

【学习重难点】

1.空间两直线的位置关系

2.直线与平面的位置关系

3.平面与平面的位置关系

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题:

1.空间两直线有哪几种位置关系？

2.直线与平面的位置关系有哪几种？

3.平面与平面的位置关系有哪几种？

4.如何用符号和图形表示直线与平面的位置关系？

5.如何用符号和图形表示平面与平面的位置关系？

二、合作探究

探究点画__________________________

空间两直线位置关系的判定

例1：如图，在长方体ABCD-AIBCIDI中，判断下列直线

的位置关系：

①直线A\B与直线DiC的位置关系是；

②直线A\B与直线B\C的位置关系是；

③直线DQ与直线0c的位置关系是；

④直线AB与直线BiC的位置关系是

探究点直L

直线与平面的位置关系

例2：下列命题：

①直线/平行于平面a内的无数条直线，则/〃a；

②若直线a在平面a外，则.〃。；

③若直线a〃"，直线/?ua,则a〃a；

④若直线a〃。，bua,那么直线。就平行于平面a内的无数条直线.

其中真命题的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

探究__________________________

平面与平面的位置关系

例3：已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么

这两个平面的位置关系一定是（）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.以上都不对

互动探究

1"变条件］在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线

是异面直线”，则两平面的位置关系如何？

解：如图，aua,bu§,a,Z?异面,则两平面平行或相交.

a

A

①②

2.［变条件］在本例中，若将条件改为平面a内有无数条直线与平面£平行,

那么平面a与平面夕的关系是什么？

解：如图，a内都有无数条直线与平面夕平行.

A_

①

由图知，平面a与平面夕可能平行或相交.

3.［变条件］在本例中，若将条件改为平面a内的任意一条直线与平面夕平

行，那么平面a与平面夕的关系是什么？

解：因为平面a内的任意一条直线与平面夕平行，所以只有这两个平面平行

才能做到，所以平面a与平面尸平行.

探究

点、线、面位置关系图形的画法

例4：如