数学沪科版九年级（上册）第1课时 正切

第23章解直角三角形1锐角的三角函数沪科版九年级数学上册23.1锐角的三角函数第1课时正切新课导入汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标之一.汽车的爬坡能力是指汽车在满载时所能爬越的最大坡度.怎样描述坡面的坡度（倾斜程度）呢？新课探究交流在下图中，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1

分别表示两个不同的坡面，坡面AB和A1B1

哪个更陡？你是怎样判断的？ABC（1）10020A1B1C1（2）30100更陡类似地，在下图中，坡面AB和A1B1，哪个更陡？你又是怎样判断的？ABC（1）10020A1B1C1（2）8030更陡你还能判断哪个坡面更陡吗？ABC（1）7020A1B1C1（2）8030如图，在锐角A的一边任取一点B，过点B作另一边的垂线BC，垂足为C，得到Rt△ABC；ABC再任取一点B1，过点B1作另一边的垂线B1C1，垂足为C1，得到另一个Rt△AB1C1……ABCB1C1B2C2这些直角三角形都相似.在这些直角三角形中，锐角A

的对边与邻边之比，，……究竟有怎样的关系？ABCB1C1B2C2猜想：相等ABCB1C1B2C2∵Rt△ABC∽Rt△AB1C1∽

Rt△AB2C2……

∴==……在图中的这些直角三角形中，当锐角A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与邻边的比值总是一个固定值.ABCB1C1B2C2发现：如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，ABC∠A的邻边b∠A的对边a斜边ctanA===∠A

的对边∠A

的邻边BCACab即ABCtanA=BCACtanB=ACBC正切经常用来描述坡面的坡度.坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i

，即

i=(坡度通常写成h∶

l

的形式).hllαhi=h∶llαhi=h∶l坡面与水平面的夹角叫做坡角（或称倾斜角），记作α，于是有i==tanα.显然，坡度（i=tanα）越大，坡角α

越大，坡面就越陡.hl在检测汽车爬坡能力等实际问题中，坡角不易直接测量，可以用坡道的铅直高度与坡道水平长度的比来刻画坡道的倾斜程度.

例1

如图，在Rt△ABC

中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求tanA

和tanB.ACB解

tanA==tanB==BCAC34ACBC43你还能判断哪个坡面更陡吗？ABC（1）7020A1B1C1（2）8030现在，你能回答这个问题了吗？tanA==207027tanA1

==308038更陡随堂演练1.在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，CD

是AB

边上的高.

①tanA=_________；

②tanB=_________；

③tan∠ACD=______；

④tan∠BCD=______；ACBD2.在Rt△ABC

中，∠C=90°，tanA=，

（1）AC=20，求

BC

和

AB

的长；ACB解

tanA=BCACBC=AC·tanA=20×=15AB===25（2）AB=25，求

AC和

BC

的长。ACB解设AC=x，则

BC=x，

根据勾股定理，AC2+BC2=AB2，解得x=20，x=15.∴

AC=20，BC=15.x2+（

x）2=252课堂小结ABC∠A的邻边b