【空间曲线积分与曲面积分的几种计算方法探析5100字（论文）】

空间曲线积分与曲面积分的几种计算方法分析目录TOC\o"1-2"\h\u1102空间曲线积分与曲面积分的几种计算方法分析 1221831.前言 2256662.第一型曲线曲面积分和第二型曲线曲面积分的物理背景及几何意义 2184762.1第一型曲线、曲面积分的物理背景及几何意义 2261572.2第二型曲线、曲面积分的物理背景及几何意义 279683.直接法计算第一型曲线积分和第二型曲线积分 3109673.1线积分与面积分的性质 331203.2直接法计算第一型曲线积分 373774.直接法计算第一型曲面积分和第二型曲面积分 4170944.1直接法计算第一型曲面积分 4313114.2直接法计算第二型曲面积分 511905利用对称性计算第一型曲线积分 628725.1普通对称的性质和判定 675375.2轮换对称性的判定 7289086.利用格林公式、高斯公式、斯托克斯公式化简第二型曲线和第二型曲面积分 892756.1格林公式计算第二型曲线积分 8236766.2高斯公式计算第二型曲面积分 9273546.3斯托克斯公式计算空间第二型曲线积分 1115708结束语 14313339参考文献 141.前言多元函数积分学不仅在数学中有着十分重要的地位,还在物理中广泛应用.我们知道空间曲线曲面积分都是具有相应的物理背景,通过空间曲线曲面积分的计算可以解决一系列的物理问题.这是把数学理论知识应用到现实中去解决现实问题的又一体现.对空间曲线、曲面积分是多元函数积分论的主要形式,对它的计算方法就显得十分重要.利用直接法和间接法计算第一型曲线曲面积分和第二型曲线曲面积分,大量的学者经过长时间的研究得到了许多十分重要的结论.通过查阅大量的资料,我整理部分重要的教材与文献的研究成果.本文将对用直接法和间接法计算曲线积分与曲面积分进行研究.2.第一型曲线曲面积分和第二型曲线曲面积分的物理背景及几何意义2.1第一型曲线、曲面积分的物理背景及几何意义第一型曲线积分的物理背景是求曲线状物体的质量,其积分表达式为积分区域，被积函数为,弧微分，第一型曲线积分的物理意义是曲线状物体的质量，当=1时该积分的几何意义就是曲线段的长度[1].类比我们可得到第一型曲面积分的相关内容，第一型曲面积分的物理背景是求曲面状物体的质量,其积分表达式,曲面为积分区域,为微小面元,所以第一型曲面积分的物理意义就是曲面块的质量，特别地=1时该积分的几何意义就是曲面的面积REF_Ref25894\w[1].2.2第二型曲线、曲面积分的物理背景及几何意义第二型曲线积分的物理背景是变力沿曲线做功,其积分表达式是，其中定向曲线与是变力在对应坐标轴上的投影,特别地当=1,=1时该积分为此时该积分几何意义就是单位时间内变力做功.第二型曲面积分的物理背景是计算流体流经有侧曲面的流量,其积分表达式是，其中为有侧曲面,,,是流体在对应坐标面上的投影,特别地当=1,=1,=1是时该积分为此时该积分的几何意义就是单位时间内流经有侧曲面的流量REF_Ref26639\w[3].3.直接法计算第一型曲线积分和第二型曲线积分3.1线积分与面积分的性质性质1性质2,其中由,组成性质3设则性质4设在上则性质5注：以第一型线积分为例其他类型的积分有相似的性质.3.2直接法计算第一型曲线积分第一型曲线积分的积分区域为曲线,为被积函数,其计算方法我们可简记为“一投,二带,三计算”.一投是指把曲线段投在相应的坐标轴上，二带是指把带入被积函数，三计算是指计算积分微元.例1是从到的一段试计算第一型曲线积分解：===本例题中一投是指把曲线段投在相应的坐标轴上，在计算中我们可以看到把从到投影到轴上,得到了的取值范围，也就是积分的上下限.二带是指带把入被积函数，由于在上述例题中积分被积函数是，且也是投影在轴上，故我们可以省去这一步.3.3直接法计算第二型曲线积分第二型曲线积分是对坐标轴做的，积分表达式为.其中为直角坐标系下的函数,要计算曲线积分，与第一型线积分相似也可简记为“一投,二带,三计算”.一投是指把曲线段投在相应的坐标轴上，二带是指把L带入被积函数，三计算是指计算积分微元,.例2计算其沿抛物线从到的一段.解===2在上述例题中我们在“一投”时有一定的技巧，即如果我们是投在轴上时则投影会有重合我们要分段计算,在第二型曲线积分定限时我们只考虑方向，不考虑大小，而投在轴上时则不会有投影重合.“二带”我们是投在轴上被积函数关于的函数则不用带，在上述例题中为可带入被积函数化简积分，三计算是指计算积分微元由于投在轴上所以只计算则把对求导即可.4.直接法计算第一型曲面积分和第二型曲面积分4.1直接法计算第一型曲面积分第一型曲面积分是在曲面上做的,积分表达式为，要计算曲面积分，我们也可简记“一投,二带,三计算”其中一投是指把曲面投到坐标面上，二带是指把曲面代入被积函数，三计算是指计算积分微元.用公式表示,以投影在平面为例例3计算曲面积分其中是球面被平面截得的顶部解：：：在例三中我们可以看到把积分区域投影到坐标面上,由于我是投影到坐标面,且被积函数为,则我们可以把边界方程代入被积函数.如上述例题代入后即,最后在计算积分微元=简记为为“一投,二带,三计算”.4.2直接法计算第二型曲面积分第二型曲面积分是在坐标面上做的,其积分表达式为.第二型曲面积分的的计算可类比第二型曲线积分.同样可简记为“一投,二带,三计算”一投是指把曲面投在相应的坐标面上,二带是指把曲面代入被积函数,三计算指计算出各个坐标面上投影的二重积分.例4计算其中是球面在,部分并取球面外侧解曲面在第一,第五卦限部分的方程为：：他们在平面的投影区域都是单位圆在第一象限部分,依题意积分是沿的上侧和的下侧进行,所以=+=-=2=25利用对称性计算第一型曲线积分我们知道对称性分为普通对称性和轮换对称性，所以在计算积分时我们要知道积分是具有普通对称性还是轮换对称性,利用相应的性质化简积分计算过程.5.1普通对称的性质和判定设是关于轴对称,是关于在轴右侧的曲线则积分设是关于轴对称,是关于在轴上侧的曲线则例5计算,其中是半径为中心角为之间的一段弧解由参数方程5.2轮换对称性的判定对于轮换对称我们常利用其性质化简第一型曲线、曲面积分的计算.判断是否具有轮换对称性.一个简单的方法就是看积分区域.将积分区域中字母相互对换积分区域如果不变,则称具有轮换对称性REF_Ref27135\w[5].如积分区域为我们把,,相互对换即换成,换成,换成原积分区域表达式变为积分区域并没有发生改变就有轮换对称性.例6计算解由轮换对称性可知所以通过观察积分区域我们把字母互换后积分区域没有改变，故其具有轮换对称性，由轮换对称性的性质有.原积分再把边界方程代入被积函数后原积分可以化简为.最后在根据第一型曲线积分的几何意义可求得=例7设是球面所截得的圆周求解：由轮换对称性可知则====类比例6在本例题中注意到我们需要利用轮换对称把被积函数转化能把边界方程能够代入的式子即可.6.利用格林公式、高斯公式、斯托克斯公式化简第二型曲线和第二型曲面积分6.1格林公式计算第二型曲线积分定理:设封闭区封闭区域具有一阶连续偏导数则有.[6]上述定理中正向封闭曲线有如下规定:设为平面区域,若内任意一闭曲线围成的部分都属于则称为单连通，[11]否则称为复连通区域.是它的边界,并规定的正向当观察者沿的方向前进时区域总在观察者的左手边.注：通过公式可以看出格林公式把第二型曲线积分和二重积分联系起来.例7计算,其中AB是r为半径的圆在第一象限的部分方向为顺时针[6]解对半径为r的四分之一圆域D,应用格林公式有由于所以=-=-在例7中并不完全满足格林公式的条件,其原因是区域并不是封闭的.故我们需要做补线处理，使其满足格林公式的条件.在上述例题中我们补了OA,BO两条线使其满足了格林公式的条件,再用格林公式对积分进行化简.解:因为在上述区域D上连续且相等,于是所以,由格林公式立即可得.本例题中L为任一不包含原点的封闭区域边界曲线,保证了偏导数存在.且满足格林公式的条件,故可直接用格林公式进行求解.6.2高斯公式计算第二型曲面积分定理:设空间体由分片光滑的双侧封闭曲面围成.若函数,,在内连续且有一阶连续偏导数则有公式=(1)其中S取外侧.称（1）为高斯公式.[8]注;高斯公式把第二型曲面积分和三重积分联系在一起.=在本例题中我们可以看到积分区域为上半球面所围成的区域并不封闭,并不满足高斯公式的条件，为了能够满足高斯公式的条件，我们需要做”补面“处理.具体在本例题中我们可以做补充一个平面满足区域封闭且取外侧，符合高斯公式的条件.例9计算曲面积分I=其中曲面S为外侧[11]解：因为类比挖洞用格林公式任何围绕奇点的同侧曲面积分值都相等则令：于是====其中由围成=3==在本例题中由于,,在原点处不连续,则偏导数不存在，也即有“点洞”不满足高斯公式的使用条件.处理这类问题一个常用的方法就是“挖洞”，在挖洞时为了简便计算我们可以选择一些特殊的曲面，如本例题中选择的曲面为这样在换面后把边界方程带计算时可以把分母变为1.从而化简积分.[5]6.3斯托克斯公式计算空间第二型曲线积分定理：设为内分片光滑有向曲面,为逐段光滑曲面的边界.它的方向与的外法向量成右手系,函数,,在内具有一阶连续偏导数则有斯托克斯公式上述定理中有如下规定:设有人站在S上指定一侧,若沿L行走.指定的侧总在人的左方,人前进的方向为L的正方向,反之则为负向,这个规定方法也称为右手法则[12]注:通过观察公式可以知道斯托克斯公式可以把空间曲线积分与第一曲面积分和第二型曲面积分联系起来例10计算为平面与各坐标面的交线,取逆时针方向为正向[12]解由斯托克斯公式可得===1+1-=在本例题中计算空间第二型曲线积分常用斯托克斯公式化简为第一型曲面积分或第二型曲面积分，要选择化为第一型积分还是第二型曲面积分要结合题目分析，例题中符合斯托克斯公式的使用条件，故可使用斯托克斯公式化为第二型曲面积分去计算.7一些特殊的曲线积分与曲面积分的计算方法对于同一个曲线、曲面积分的计算可能存在不同的算法,选择合适的方法可能很快就算出结果,如果选择的方法不当则可能陷入繁琐的计算更有甚者可能计算不出结果.所以对空间曲线曲面积分计算方法以,及更为简便的计算方法的探讨就显得尤为重要.我们知道在计算曲线曲面积分时我们不仅要考虑积分区域,还要照顾被积函数.于是这就会导致一个问题,就是哪些积分在合适积分区域下可以通过以上方法可以进行化简,这些积分是否具有一般性.例11题计算曲线积分,其中L为圆周,方向为逆时针.[9]解令,(x,y)(0,0),则P,Q具有连续的一阶偏导数,并且(1)R<1时,L内部不包含原点,=0.[8](2)R>1时,L为内部包含原点故==πD为椭圆域.在此例题中我们可清楚的看到利用格林公式解决第二型曲线积分的计算的便捷，但我们继续深究一下就会得到更一般的结论,若即任何围绕奇点的封闭曲线其积分值都相等.下证其结论，为了方便我们仍以上例为例,但只考虑第二种情况,即R>1的情况.证:设与是围绕奇点的封闭曲线与是围成区域为D则I=,又因围成区域对于D而言是正向所以原积分I==于是可取L为逆时针===[10]我们于是可以思考这样一个问题,若那对于上述第二型线积分我们可以达到换线的即对于任何围绕奇点的封闭曲线L在上述积分中积分I=π我们先看一个具体范例计算曲面积分其中曲面为求球面S：[10]类比第二型曲线积分我们有若任何围绕奇点同向曲面积分的积分值都相等.[11]于是我们就可以对相应积分达到换面的目的，具体在本例题为可取S:于是I==8结束语综上所述本文主要介绍了曲线曲面积分的几种计算方法，可以看出一些积分用直接法计算并不简单,所以本文的一个讨论重点就是利用间接法化简线积分和面积分.如我们可利用格林公式将第二型曲线积分化为二重积分，利用高斯公式将第二型曲面积分化为三重积分，利用斯托克斯公式将空间第二型曲线积分化为第一型曲面积分.在一些特殊的积分中也可以利用上述方法简化线积分和曲面积分的计算.我们可以利用普通对称性和轮换对称性去简化第一型曲线积分和第一型曲面积分.在上述几种积分的计算中寻找到合适的计算方法可能很容易就计算出来了，若选用方法不当可能会陷入繁琐的计算过程，更有甚者还可能无法求解，这也凸显了上