25届（新教材QG版）数学精练案基础课41空间向量与空间角、距离问题

基础课41空间向量与空间角、距离问题课时评价·提能基础巩固练1.在空间直角坐标系中，已知A1,−1,1，B3,A.22 B.32 C.62[解析]∵A1,−1,∴AB=2∴AB⋅AP=2∴AP在AB方向上的投影向量的模ℎ∴点P1,0,2到直线AB2.已知在三棱锥P−ABC中，PC⊥平面ABC,∠BAC=90∘,AB=ACA.463 B.263 C.[解析]以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AP=0,4,设平面PAB的一个法向量为m=则m⋅即4y+令y=2，则∴m=0,2,−1，∴点C故选A.3.已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA.147 B.7014 C.314[解析]如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1DC1=则DC1=AB2于是AC⋅所以cos⟨AC,D所以异面直线AC与DC1所成的角的余弦值为3144.设α,β,γ为平面，且α⊥β,α∩β=l.若γ与α所成的二面角为45∘，l与γ所成的角为30A.15∘ B.45∘ C.30∘[解析]设平面α，β，γ的单位法向量分别为a,b,c，直线l上的单位方向向量为l.根据题意，{a,b,l}构成空间直角坐标系的一个单位正交基底由题意可设c与a的夹角的余弦值为22，c与l的夹角的余弦值为1设c=xa+yb+zl由x2+y2于是所求锐二面角为60∘.故选D5.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A−BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD，MA.33 B.23 C.32[解析]如图，正方体内的三棱锥A−BCD为满足题意的鳖臑以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B0,0,0，A0,0,1，则BM=(12,12,cos⟨BM,CD故异面直线BM与CD夹角的余弦值为33.故选A6.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AD=AA.255 B.22 C.5[解析]如图,以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.AB=则A10,0,1,B3,0设Px,y,z，当A1C=2所以P(32,1所以BP=(−32,12,12)，所以直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为|cos⟨A1A,BP⟩7.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是AC的中点，点P在线段A1CA.[14,13] B.[13,12] C.[解析]如图，设正方体的棱长为1，A1PA1连接B1D并以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x,y则A1,0,0,C0,1,0,O(12,12,0)，则A1在正方体ABCD−A1B1C1D1所以DB1=1,1所以sinθ=|cos⟨=1=1所以当λ=12时，sinθ取得最大值，最大值为33，当λ=0或λ=1时，sinθ取得最小值，最小值为8.已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60∘，E为AB的中点（如图1），将△ADE沿直线DE翻折至△A'DE处（如图2），连接A'B，A'C，若四棱锥A'−A.312 B.232 C.314[解析]连接BD（图略），因为四边形ABCD为菱形，且∠A=60∘，所以因为E为AB的中点，所以DE⊥AB，所以DE⊥因为EB∩A'E=E，EB⊂平面A'EB,A'因为菱形ABCD的边长为4，所以AB=AD=CD=所以直角梯形BCDE的面积为12设四棱锥A'−EBCD的高为ℎ，则13×所以ℎ=A'E，所以A所以以E为原点，ED,EB,EA'所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（图略），则B0,2,0,C23所以令c=BCBC=(32,所以a=3+所以点F到直线BC的距离d=故选A.综合提升练9.（多选题）已知在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为侧面BCC1B1A.线段A1PB.33C.对任意点P，总存在点Q，使得DD.存在点P，使得直线A1P与平面AD[解析]建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，根据题意，可得D0,0,0，A1,0,0，设点Px1,1,z1，Qx2,y2,z2故cos45∘=AQ为线段A1C上的动点，则有A1Q对于A，有A1P=x1−对于B，过点Q作平面ABCD的垂线，垂足为R，因为sin∠ACA1=故求33A1Q+PQ因为QR=1−所以QP2则PQ−QR+1≥1，当且仅当x1=z1=1−λ时对于C，若D1Q⊥CP，则D1Q⋅CP所以当λ=1时，D1Q⋅CP=−z=0,此时点P与点B重合，当点Q与点C重合时，P1当0≤λ<1时，Δ=−8λλ−1≥0，故对任意点P，总存在点对于D，易知平面ADD1A1的一个法向量为n=0,1,0即直线A1P与平面ADD1A1的法向量所成的角为30∘，则cos30∘=A1P⋅10.（多选题）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1,AB=AD=3,E是侧面AA1D1D的中心，F是底面A.n=1,B.直线EF//平面C.异面直线EF与A1D.存在点M，使得直线A1M与平面A[解析]由题意可得A0,0,0,B3,0,0,C3因为E是侧面AA1D1D的中心，F是底面ABCD的中心，所以E(0,32,对于A，因为BA1=−3所以n⋅BA所以n⊥BA1，n⊥BC，所以n=1,0,对于B，因为AD⊥平面C所以AD=0,3,0因为EF=(32,0,−12)，因为EF⊄平面C1D1DC，所以直线EF//平面C对于C，因为EF⋅A1C=(32,0,−12)⋅3,3,−1=2≠0，所以EF对于D，设M0,m,00≤m≤3，则A1M=0,m,−1，由A可知n=1若直线A1M与平面A1BC所成的角为π4，则所以存在点M，使得直线A1M与平面A1BC所成的角为π4，所以D11.（双空题）如图，这个多面体是由底面为ABCD的长方体被平行四边形AEC1F所截得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1[解析]如图，建立空间直角坐标系，则B2,4,0,A2,0,0由题意可知，四边形AEC1F为平行四边形，则AF=EC1，即−所以BF=−2,−4,2，所以BF设平面AEC1F因为AE=0,所以n⋅令y=−1，则x=z因为CC1=0,0,3，所以点12.[2024·江苏模拟]如图，在三棱锥A−BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点.若点[解析]如图，连接CO，∵BC=CD,BO∴OA，BD，OC两两互相垂直以O为坐标原点，OB,OC,OA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A0,0,2,B1,0,0,C0,2设平面DEC的一个法向量为n1∵DC=1,∴x令y=1，解得x=−2,设平面DEF的一个法向量为n2∵DF=DB+BF∴n2⋅令y1=−7，解得x∴n2=2,−7,5，设二面角F−应用情境练13.钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也常常可以看见附有钟楼的建筑.某建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则正面在2点时和右侧面在8点时，两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为14[解析]如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为侧面ABB1A1和侧面BCC1B1的中心，G为BB1的中点，EN为2点钟时针，FM为8点钟时针，则∠NEG=30∘，∠MFG=30∘，设正四棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，以D为原点，以DA,DC,DD1的方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，则E(a,a2,b2)，N(a,a,b214.(2024·九省适应性测试)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°.(1)证明:C1O⊥平面ABCD.(2)求二面角B-AA1-D的正弦值.[解析](1)如图,连接BC1,DC1,因为底面ABCD是边长为2的正方形,所以BC=DC,又因为∠C1CB=∠C1CD,CC1=CC1,所以△C1CB≌△C1CD,所以BC1=DC1,因为O为线段BD的中点,所以C1O⊥BD,在△C1CO中,CC1=2,CO=12AC=2,∠C1CO=所以cos∠C1CO=22=C1C2+OC则C1C2=OC2+C1O2,即C1O⊥OC,又OC∩BD=O,OC⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以C1O⊥平面ABCD.(2)建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,2,0),D(0,-2,0),A(2,0,0),C(-2,0,0),C1(0,0,2),则AA1=CC1=(2,0,2),AB=(-2,2,0),AD=(-2设平面BAA1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),平面DAA1的一个法向量为n=(x2,y2,z2),则AA1·m=0,AB·m=0⇒2AA1·n=0,AD·m=0⇒2x2设二面角B-AA1-D大小为θ,则cosθ=m·n|m|·|n|=13所以二面角B-AA1-D的正弦值为22创新拓展练15.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球的表面积为π，P是棱BB[解析]以B1为原点，B1A1,B1C1,B1∵正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球的表面积为π，∴A11,0设P0,0∴C1D=1设平面A1C1P则n⋅n⋅A1P∴直线C1D与平面A1C1P令t+1=u，∴2令v=1u，∵u∈[∴22⋅12∴当v=23，即1t+1=23，即t=12时，直线C1D∴当直线C1D与平面A1C1P的夹角最大时，此时平面A1C1P的一个法向量为n=(12,∴点D到平面A1C1P的距离为此时A1P=C1P=52∴此时四面体D−A1C16.[2024·青岛模拟]如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB=4，母线PH=22，M（1）设平面POH∩平面PBC=l（2）设D为OH的中点，N是线段CD上的一点，当MN与平面PAB所成的角最大时，求MN的长.[解析]（1）∵四边形O