25届（新教材QG版）数学精练案基础课22三角恒等变换

基础课22三角恒等变换课时评价·提能基础巩固练1.已知角α的终边经过点P−2,1，则A.55 B.35 C.−5[解析]因为角α的终边经过点P−2,1，所以sinα=12.已知sinα+2cosαA.22 B.−22 C.2[解析]因为sinα+2costan2α=2tan3.已知sinα+π6=A.−13 B.13 C.−[解析]因为cos2α所以cos2故选A.4.(2024·九省适应性测试)已知θ∈3π4,π,tan2θ=-4tanθ+π4,则1+sin2θ2cos2θ+sin2θ=(A.14 B.34C.1D[解析]由θ∈3π4,π,tan2θ=-4tanθ+π4,得2tanθ1-tan2θ=-4(tan则(2tanθ+1)(tanθ+2)=0,解得tanθ=-2或tanθ=-12因为θ∈3π4,π,所以tanθ∈(-1,0),所以tanθ=-12,故1+sin2θ2cos2=14+1-故选A.5.（改编）若等腰三角形顶角的正弦值为35，则这个三角形底角的正弦值为（DA.31010 B.255 C.1010[解析]设顶角为A，一个底角为B,sinA=35则该三角形底角的正弦值sinB=sinπ2−A2=cosA26.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a−b=2aA.等腰三角形或直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形[解析]因为a−所以b=由正弦定理得sinB又sinB即sinA所以cosA因为C∈0,π，所以sinC因为A∈0,π，所以△ABC为直角三角形.故选B7.（改编）已知α，β∈(π,3π2)，A.α−β=−π4 B.α−[解析]由sin2α得sin2α因为sin2α所以cosα即sinβ又α，β∈(π,3所以α+β∈2π,3π，cosβ=−18.魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正4576边形求出圆周率π约为355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个纪录在一千年后才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4cos38∘，则A.−18 B.−8 C.8[解析]∵π的近似值还可以表示成4cos∴π16−π综合提升练9.（多选题）下列选项正确的是（ABD）.A.sin15∘cosC.sin40∘cos[解析]对于A，sin15∘cos15对于B，cos2π8−对于C，sin40∘cos50对于D，sin=sin40=sin40=sin40=−=−=−sin=−cos10∘cos10∘=−10.（多选题）在△ABC中，已知tanC2A.cosAcosB的最大值为12C.tanA+tanB的取值范围是[2[解析]由tanC2=sinA因为C2∈(0，π2)，故cosC对于A，cosAcosB=cosAcosπ2−A=cosAsinA对于B，sinA+sinB=sinA+sinπ2−A=sin所以2sinπ4+A∈(对于C，tanA+tanB=sinAcosA+sinBcos对于D，sin2A+sin2B+sin211.已知tanα=23[解析]因为tanα=sinα所以1+sin=tan=212.若关于x的方程2sin2x−3sin2x+m−[解析]原方程2sin等价于m−即直线y=m−1与函数y=2sin∵x∈[π2,π]，∴2x+π6∈[7π6,13π应用情境练13.已知平面内有四条平行线，相邻两条间距为1，每条直线上各取一点围成一个矩形，则该矩形面积的最小值是4.[解析]如图，四边形ABCD为矩形，令∠EAB=θ∈(0,π2所以S=212sin2θ≥4，当且仅当5也可联系形OPQ，其中点B，C都在弧PQ上，则矩形ABCD的面积的最大值为2−3[解析]如图，连接OB,OC.因为OB=OC=1又四边形ABCD为矩形，∠ABC=∠DCB=可得△OAB≌△ODC，因为∠POQ=π3，且OA=OD，所以△又∠DAB=π2过点B作OP的垂线，垂足为N,设∠BOP则BN=OBsin所以在△ABN中，ABAN=所以OA=S矩形因为α∈(0,π3),所以当2α+π3=π2，即α=π12时创新拓展练15.已知函数fx=3sin2xcos2x+cos[解析]由函数f4x+令fx=0，即sin4x+π6=0，解得由x∈(2π3,4π3)解得176<k<336所以函数fx在(2π3,416.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且1（1）确定A和B之间的关系；（2）已知D为线段BC上一点，且满足BD=AD=4，若[解析]（1）∵1∴1即2sin∵A∈0,π，∴A2∴2∴cosA∵A2∈(0,π2)