第六章 圆周运动（考点清单）（原卷版）

第六章圆周运动一、思维导图二、考点通关考点1描述匀速圆周运动的特有物理量物理量定义单位(符号)各物理量的联系周期做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期，T＝eq\f(t,N)国际单位：秒(s)基本关系式：n＝eq\f(1,T)，v＝ωr导出关系式：ω＝eq\f(2π,T)＝2πn，v＝ωr＝eq\f(2πr,T)＝2πnr转速物体转动的圈数与所用时间之比叫作转速，n＝eq\f(N,t)转每秒(r/s)、转每分(r/min)频率和转速的比较当单位时间取1s时，f＝n，频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的，但频率具有更广泛的意义，两者的单位也不相同①周期T和转速n一般只能描述匀速圆周运动，对变速圆周运动一般不适用。②线速度v和角速度ω及其关系式v＝ωr不只适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。对于变速圆周运动，线速度v和角速度ω一般指瞬时值。【典例1】（22-23高一下·河南郑州·期中）关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（）A．匀速圆周运动是速度不变的运动B．匀速圆周运动的加速度不变化C．任意相等时间内通过的位移相等D．合力的方向指向圆心，大小不变化规律点拨v＝ωr适用于一切圆周运动，ω＝eq\f(2π,T)、v＝eq\f(2πr,T)一般只适用于匀速圆周运动。【变式训练1】（22-23高一下·广西百色·期中）诗词“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，指的是在地球赤道上的人随地球一昼夜运行路程大约为8万里，假设地球为半径的球体，广西百色市位于北纬24°，则百色市市民随地球自转的速度大约为（sin24°=0.4，cos24°=0.9）（  ）A． B． C． D．419m/s考点2同轴转动和皮带传动问题同轴转动皮带传动齿轮传动摩擦传动装置A、B两点在同轴的两个圆盘边缘上两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点两轮靠摩擦传动，A、B点分别是两轮边缘上的点，传动时两轮没有相对滑动特点角速度、周期相同线速度大小相同线速度大小相同线速度大小相同转动方向相同相同相反相反规律线速度与半径成正比：eq\f(vA,vB)＝eq\f(r,R)角速度与半径成反比：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r,R)。周期与半径成正比：eq\f(TA,TB)＝eq\f(R,r)角速度与半径成反比：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r2,r1)。周期与半径成正比：eq\f(TA,TB)＝eq\f(r1,r2)角速度与半径成反比：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r,R)。周期与半径成正比：eq\f(TA,TB)＝eq\f(R,r)【典例2】（22-23高二下·浙江温州·期中）如图是一种新概念自行车，它没有链条，共有三个转轮，A、B、C转轮半径依次减小。轮C与轮A啮合在一起，骑行者踩踏板使轮C转动，轮C驱动轮A转动，从而使得整个自行车沿路面前行。对于这种自行车转轮A、B、C，下面说法正确的是（）

A．线速度关系是 B．线速度关系是C．角速度关系是 D．角速度关系是【变式训练2】（23-24高二上·浙江·期中）如图甲为某牌子的变速自行车，并将该自行车简化为如图乙所示，人通过脚踏板带动链轮转动，再通过链条使飞轮与后轮转动，改变链条与不同齿数的飞轮咬合可以改变运行速度。若已知人骑车使脚踏板以恒定的角速度转动，此时链轮齿数为48个，飞轮齿数为12个，后轮直径，则下列说法正确的是（）A．链轮与飞轮边缘上的点的线速度大小之比为B．链轮与飞轮边缘上的点的角速度大小之比为C．人骑自行车行进的速度大小为8m/sD．若换成齿数更少的飞轮行进速度会变大规律点拨求解合运动或分运动的步骤分析传动问题的关键分析传动问题时，关键是要明确什么量相等，什么量不相等，在通常情况下，应抓住以下两个关键点：(1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ωr，与半径r成正比。(2)链条和链条连接的轮子边缘线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝eq\f(v,r)，与半径r成反比。考点3圆周运动的周期性造成的多解问题圆周运动的周期性和多解性匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动。因匀速圆周运动具有周期性，使得一个事件可能在前一个周期中发生，也可能在后一个周期中发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的周期时，必须把各种可能都考虑进去。处理这类问题时，关键要把一个物体的运动时间t，与圆周运动的周期T建立起联系，这样才能较快地解决问题。【典例3】（多选）（22-23高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图所示，有一竖直圆筒，内壁光滑，上端开口截面水平。一小球沿水平方向由A点切入圆筒内侧，沿着筒壁呈螺旋状滑落，落地点恰好位于A点正下方。已知圆筒高5m，横截面圆环半径1m，，。则（）A．小球下落时间为1sB．小球进入圆筒初速度大小可能为3.14m/sC．小球进入圆筒初速度大小可能为6.28m/sD．小球进入圆筒初速度大小可能为12.56m/s【变式训练3】（22-23高一下·河南鹤壁·期中）如图所示，半径为R的水平圆板绕竖直轴做匀速圆周运动，当半径OB转到某一方向时，在圆板中心正上方h处以平行于OB方向水平抛出一小球，小球抛出时的速度及圆板转动的角速度为多大时，小球与圆板只碰一次，且相碰点为B?

规律总结解决圆周运动的多解问题的关键(1)把一个物体的运动时间t，与圆周运动的周期T建立起联系。(2)会利用运动规律列出两个运动的时间相等的表达式。考点4向心力及其方向1．向心力的方向无论物体所做圆周运动是否为匀速圆周运动，其所受向心力的方向总是沿着半径指向圆心且时刻改变，故向心力是变力。2．向心力的作用效果向心力的作用效果是改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。3．向心力的来源向心力并不是像重力、弹力、摩擦力那样作为具有某种性质的力来命名的。它是根据力的作用效果命名的。(1)向心力可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供。(2)对于匀速圆周运动，合力提供物体做圆周运动的向心力；对于非匀速圆周运动，其合力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合力的一个分力。(3)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分力的合力为向心力。【典例4】(多选)如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则()A．物块始终受到三个力作用B．物块受到的合力始终指向圆心C．在c、d两个位置，物块所受支持力N＝mg，摩擦力f为零D．在a、b两个位置物块所受摩擦力提供向心力，支持力N＝mg【变式训练4】（21-22高一下·广东广州·期中）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为，重力加速度为g，则座舱（）A．运动周期为B．在与转轴水平等高处受摩天轮作用力的大小为mgC．线速度的大小为D．所受合力的大小始终为规律总结：向心力可以是弹力、摩擦力，也可以是物体受到的几个力的合力或某个力的分力。匀速圆周运动中合力提供向心力，合力的方向一定指向圆心。考点5向心力的大小的计算1．向心力的大小(1)根据受力分析求得：圆周运动平面上，指向圆心方向的合力即为向心力。(2)根据圆周运动规律求得：Fn＝mω2r＝meq\f(v2,r)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r＝m(2πn)2r＝mωv。2．向心力公式的瞬时性对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动)，其向心力大小随速率v的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。【典例5】图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10m，质点的质量m＝60kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：(1)绳子拉力的大小；(2)转盘角速度的大小。【变式训练5】（22-23高一下·广东梅州·期中）在做甩手动作的物理原理研究课题研究中，采用手机的加速度传感器测定手的向心加速度。某次一高一同学先用刻度尺测量手臂长（如图所示），然后伸直手臂，以肩为轴从水平位置加速自然下摆，当手臂摆到竖直方向时，手握住的手机显示手的向心加速度大小约为，下列说法正确的是（

）A．可估算手臂摆到竖直位置时手的线速度大小约为2m/sB．手臂摆到竖直位置时手机处于失重状态C．自然下摆过程中手机所受合力始终沿手臂方向D．由可知手掌与手肘的向心加速度之比约为规律总结：匀速圆周运动中力学问题的解题步骤(1)明确研究对象，确定物体在哪个平面内做匀速圆周运动，明确圆心和半径r。(2)对研究对象进行受力分析，明确向心力是由什么力提供的。(3)确定v、ω、T、n等物理量中什么是已知的，选择合适的公式列式求解。(4)根据F合＝F向列方程，求解。考点6变速圆周运动和一般曲线运动1．变速圆周运动(1)受力特点：变速圆周运动所受的合力不指向圆心，产生两个方向的效果：(2)变速圆周运动中某一点的向心力仍可用Fn＝meq\f(v2,r)＝mω2r等公式求解，这时v、ω都是指物体运动到该点的瞬时速度。2．一般的曲线运动的处理方法如图所示，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧，只是每一小段圆弧对应的半径不同(对应的半径称为该点的曲率半径)，研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的处理方法进行处理。【典例6】(多选)“S路”曲线行驶是我国驾驶证考试中的一个项目。某次考试过程中，有两名体重相等的学员分别坐在驾驶座和副驾驶座上，并且始终与汽车保持相对静止，汽车在弯道上行驶时可视作圆周运动，行驶过程中未发生打滑。如图所示，当汽车在水平“S路”图示位置处减速行驶时()A．两名学员具有相同的线速度B．两名学员具有相同的角速度C．汽车受到的摩擦力与速度方向相反D．汽车受到的摩擦力指向弯道内侧偏后的方向【变式训练6】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图a所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图b所示，则在其轨迹最高点P处的曲率半径是()A.eq\f(v\o\al(2,0)cos2α,g) B．eq\f(v\o\al(2,0)sin2α,g)C.eq\f(v\o\al(2,0),g) D．eq\f(v\o\al(2,0)cos2α,gsinα)规律总结：(1)物体做变速圆周运动时，在任何位置均是合力沿半径指向圆心方向的分力提供向心力。(2)物体做变速圆周运动时必然有一个切向分力改变速度的大小。考点7匀速圆周运动的加速度方向1．向心加速度的方向：与向心力的方向相同，总指向圆心，方向时刻改变。2．向心加速度的作用：向心加速度方向总是与线速度方向垂直，故向心加速度的作用只是改变速度的方向，对速度的大小无影响。3．圆周运动的性质：圆周运动的向心加速度的方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。【典例7】（23-24高二上·浙江台州·期中）校门口的车牌自动识别系统如图所示，闸杆可在竖直面内绕转轴O匀速转动，汽车进入识别区时，闸杆在竖直面内绕转轴O向上转动，此过程中，关于在闸杆上的A、B两点，下列说法正确的是（）A．线速度vA<vB B．角速度ωA>ωBC．角速度ωA<ωB D．向心加速度aA>aB【变式训练7】下列说法中正确的是()A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B．向心加速度描述线速度方向变化的快慢C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D．匀速圆周运动是匀变速曲线运动规律总结：向心加速度的理解(1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢。(2)向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，且方向在不断改变。考点8匀速圆周运动的加速度大小1．向心加速度的大小(1)公式推导：根据牛顿第二定律F＝ma，向心加速度an＝eq\f(Fn,m)＝ω2r。(2)向心加速度的几种表达式：an＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝eq\f(4π2,T2)r＝4π2n2r＝ωv。(3)向心加速度与半径的关系①当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图甲所示。②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比，如图乙所示。由an­r图像可以看出：向心加速度an与r是成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。2．向心加速度的注意要点(1)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算，包括非匀速圆周运动，但an与v具有瞬时对应性。(2)向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心加速度表示速度方向改变的快慢。(3)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。非匀速圆周运动合加速度不指向圆心，但向心加速度一定指向圆心，是专门改变速度方向的。【典例8】如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍。压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度是12cm/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度大小是多少？大轮上距轴心距离为eq\f(R,3)的C点的向心加速度大小是多少？【变式训练8】(多选)如图所示是静止在地面上的起吊重物的吊车，某次操作过程中，液压杆长度收缩，吊臂绕固定转轴O顺时针转动，吊臂上的M、N两点做圆周运动，此时M点的角速度为ω，ON＝2OM＝2L，则()A．M点的速度方向垂直于液压杆B．N点的角速度为ωC．M、N两点的线速度大小关系为vN＝4vMD．N点的向心加速度大小为2ω2L规律总结：1.传动问题中比较向心加速度大小时公式的选用(1)皮带传动问题，两轮边缘线速度大小相等，常选择公式an＝eq\f(v2,r)。(2)同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式an＝ω2r。2．求向心加速度的两种角度(1)动力学角度：an＝eq\f(Fn,m)。(2)运动学角度：an＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝eq\f(4π2,T2)r＝4π2n2r。考点9火车转弯1．弯道的特点：在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，若火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，如图所示，即mgtanθ＝meq\f(v\o\al(2,0),R)，则v0＝eq\r(gRtanθ)，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度。2．速度与轨道压力的关系(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时火车对内外轨无挤压作用。(2)当火车行驶速度v>v0时，火车对外轨有挤压作用。(3)当火车行驶速度v<v0时，火车对内轨有挤压作用。3．注意事项(1)合力的方向：因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合力应沿水平面指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。【典例9】有一列质量为100t的火车，以72km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400m。(g取10m/s2)(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。【变式训练9】（22-23高一下·云南曲靖·期中）在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看作是做半径为R的圆周运动。设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L。已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零，则汽车转弯时的车速应等于（）

A． B．C． D．规律总结：火车转弯(或汽车转弯)问题实际都是水平面内的匀速圆周运动问题，解决此类问题的关键是分析清楚向心力的来源，然后利用合力提供向心力求解。考点10汽车过拱形桥和航天器中的失重现象1．汽车过拱形桥汽车在最高点满足关系：mg－FN＝meq\f(v2,R)，即FN＝mg－meq\f(v2,R)，由牛顿第三定律可知，汽车对桥面压力为FN′＝mg－meq\f(v2,R)。由此可知汽车对桥面的压力小于车的重力，汽车处于失重状态，并且汽车的速度越大，汽车对桥面的压力越小。当汽车对桥面的压力为零时，处于完全失重状态，即mg＝meq\f(v\o\al(2,m),R)，得vm＝eq\r(gR)，如果汽车的速度超过此速度，汽车将离开桥面做平抛运动，发生危险。2．汽车过凹形路面汽车在最低点满足关系：FN－mg＝meq\f(v2,R)，即FN＝mg＋meq\f(v2,R)，由牛顿第三定律可知，汽车对路面压力为FN′＝mg＋meq\f(v2,R)。由此可知汽车对路面的压力大于车的重力，汽车处于超重状态，并且汽车的速度越大，汽车对路面的压力越大，故凹形路面易被压垮，因而现实生活中拱形桥多于凹形桥。3．绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态航天器绕地球做匀速圆周运动，其重力提供绕地球运动的向心力，而其重力加速度也就成为向心加速度，这个加速度也是向下的，故处于完全失重状态。以在近地轨道运行的航天器为例，其轨道半径近似等于地球半径R：(1)质量为M的航天器：航天器的重力提供向心力，满足关系：Mg＝Meq\f(v2,R)，则v＝eq\r(gR)。(2)质量为m的航天员：航天员的重力和座舱对航天员的支持力的合力提供向心力，满足关系：mg－FN＝eq\f(mv2,R)。当v＝eq\r(gR)时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态。(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态。【典例10】（23-24高一下·内蒙古通辽·期中）有一辆质量为600kg的小汽车驶上圆弧半径为50m的拱桥。（g=10m/s2）问∶（1）汽车到达桥顶时速度为6m/s，汽车对桥的压力是多大？（2）汽车以多大速度经过桥顶时便恰好对桥没有压力而腾空？（3）汽车对地面的压力过小是不安全的。因此从这个角度讲，汽车过桥时的速度不能过大。对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？（4）如果拱桥的半径增大到与地球半径R（R=6400km）一样，汽车要在桥面上腾空，速度要多大？【变式训练10】（22-23高一下·四川绵阳·期中）某旅游景点新建的凹凸形“如意桥”的简化图如图所示，该桥由一个凸弧和一个凹弧连接而成，凸弧的半径，最高点为A点；凹弧的半径，最低点为B点。现有一剧组进行拍摄取景，安排一位驾驶摩托车特技演员穿越桥面，设特技演员与摩托车总质量为，穿越过程中可将车和演员视为质点，取，忽略空气阻力。试求：（1）当摩托车以的速率到达凸弧最高点A时，桥面对车的支持力大小；（2）当摩托车以的速率到达凹弧最低点B时，车对桥面的压力大小；（3）为使得越野摩托车始终不脱离桥面，过A点的最大速度。

规律总结：解决汽车过拱形桥和凹形路面的问题的一般步骤对于汽车过拱形桥和凹形路面的问题，明确汽车的运动情况是解题的关键。具体的解题步骤是：(1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径。(2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力的来源。(3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。考点11离心运动的理解和应用1．离心运动的理解(1)若F合