常微分方程习题及解答_第1页
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常微分方程习题及解答一、问答题：常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。举例阐述常数变易法的基本思想。答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。例：求的通解。首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为，然后将常数变易为的待定函数，令，微分之，得到，将上述两式代入方程中，得到即积分后得到进而得到方程的通解3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：阶线性微分方程的初值问题其中是区间上的已知连续函数，，是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题但是需要指出的是每一个阶线性微分方程可化为个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。4．若常系数线性方程组和有相同的基本解矩阵，则与有什么关系？答：设常系数方程组的基解为，的基解为，由于两个常系数线性方程组有相同的基解矩阵，根据的解的性质知，则可得，为非奇异的常数矩阵。5．写出线性微分方程组的皮卡逐次逼近序列。二、求下列方程（或方程组）的通解（或特解）：1.解：方程可化为，当时，，是伯努利方程。其中。令，方程可化为，则再积分则该方程的解可表示为那么齐次方程的解为：然后利用常数变易法可以

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