2024届上海市宝山区高三下学期二模数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2上海市宝山区2024届高三下学期二模数学试卷一、单选题1.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，则，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D错误.故选：A.2.已知随机变量X服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由随机变量X服从正态分布，因为，可得，所以.故选：A.3.已知直线、、与平面、，下列命题正确是（）A.若，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗D〖解析〗对于A，若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误；对于B，若，，则与可能平行，也可能相交，故B错误；对于C，若，，则与可能平行，也可能相交或异面，故C错误；对于D，若，则由线面平行的性质定理可知，必有，使得，又，则，因为，所以，故D正确.故选：D.4.数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是（）A.①为真命题，②为真命题 B.①为真命题，②为假命题C.①为假命题，②为真命题 D.①为假命题，②为假命题〖答案〗C〖解析〗对于①，由等比数列，得，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则，即，显然不成立，①为假命题；对于②，设等差数列的公差为，则.令，，则，下面证是“某数列”.设的前项和为，则，于是对任意的正整数，总存在正整数，使得，所以是“某数列”.同理，可证也是“某数列”.所以对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得成立，故②为真命题.故选：C二、填空题5.抛物线的焦点坐标是__________．〖答案〗〖解析〗因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为.故〖答案〗为6.已知，则______.〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：.7.将（其中）化为有理数指数幂的形式为______.〖答案〗〖解析〗故〖答案〗为：8.已知向量，，若，则实数______.〖答案〗〖解析〗由，，，得，所以.故〖答案〗为：29.设实数、满足为虚数单位，则______.〖答案〗〖解析〗由，得，即，则，解得.故〖答案〗为：10.有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为___________.〖答案〗〖解析〗依题意可得极差为，平均数为，所以，解得，所以中位线为.故〖答案〗为：11.已知集合，且，则实数的值为______.〖答案〗〖解析〗由集合，且，得或，解得或，当时，，符合题意，当时，且，与集合元素的互异性矛盾，所以实数的值为0.故〖答案〗为：12.在数列中，，且，则__________.〖答案〗4〖解析〗由题意可得，所以，，……，，累加得，所以，故〖答案〗为：413.某公司为了了解某商品的月销售量单位：万件与月销售单价单位：元件之间的关系，随机统计了个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：月销售单价元件月销售量万件由表中数据可得回归方程中，试预测当月销售单价为元件时，月销售量为______万件.〖答案〗〖解析〗依题意，，，所以样本中心点坐标为，代入回归方程得，，解得，所以回归方程为，当时，，即当月销售单价为元件时，月销售量约为万件.故〖答案〗为：14.已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．〖答案〗〖解析〗如图所示，由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=b，∴|OP|=．设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tanθ=．又tanθ=，∴，解得a2=3b2，∴e=．〖答案〗15.某区域的地形大致如图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设：警戒区域为空旷的扇环形平地；假设：视探照灯为点，且距离地面米；假设：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、、.第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为如图记，经测量知米，且是公差约为米的等差数列，则至少需要经过______次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.〖答案〗〖解析〗因为在中，，，所以，，故，故是以为首项，以为公差的等差数列，故，而，，故.所以至少需要次才能将整个警戒区域扫描完毕.故〖答案〗为：.16.空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是______.〖答案〗〖解析〗由已知得，所以，所以存在实数，使得不等式有解，则有，解得，又因为且，所以在方向上的数量投影是，所以围成的空间几何体是以原点为顶点，高为，母线长为的圆锥，故由构成的空间几何体的体积为.故〖答案〗为：.三、解答题17.在中，角、、的对边分别为、、，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状.解：（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因为是三角形内角，所以；（2）由三角形面积公式得：，解得，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，此时为等边三角形.18.如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径.（1）求证：；（2）若，，圆柱的体积为，求异面直线与所成角的大小.（1）证明：易知，又由平面，平面，得，而平面，则平面，而平面，故.（2）解：延长交圆于点，连接、、，易知或其补角即为所求的角，由题知，解得，中，由余弦定理得，由，从而，所以异面直线与所成角的大小为.19.在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得分，否则得分已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为.（1）求甲投篮次得分的概率；（2）若乙投篮次得分为，求的分布和期望；（3）比较甲、乙的比赛结果.解：（1）甲投篮次得分，即只投中次，概率为；（2）由题意知的所有可能取值为，，，，则，，随机变量的分布为，0246期望；（3）设甲三次投篮的得分，则，，，，可求得随机变量的分布为，0246所以，又可算得，因为，，所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定.20.已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点.（1）求双曲线两条渐近线夹角的余弦值；（2）若，求的取值范围；（3）椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是、两点，直线与椭圆的另一个交点为记、的面积分别为、求的最小值，并写出取最小值时点的坐标.解：（1）双曲线的两条渐近线方程为，则它们的方向向量，设两条直线夹角为，则，所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为.（2）设，，显然、，，，则，即，又点在双曲线上，有，即，从而，解得，而点是双曲线在第一象限的点，则，，所以.（3）在椭圆中，，焦点在轴上，标准方程为，设，，直线的斜率为，，则直线的方程为，由，得，该方程的两根分别为和，由，得，同理，于是，记，，则，当且仅当即时取等号，所以的最小值为，此时点的坐标为.21.函数的表达式为.（1）若，直线与曲线相切于点，求直线的方程；（2）函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，证明：数列是严格减数列；（3）已知定义在上的奇函数满足，对任意，当时，都有且.记，.当时，是否存在，使得成立？若存在，求出符合题意的；若不存在，请说明理由.（1）解：当时，，求导得，则，所以直线的方程是.（2）证明：由，得，则，令，得，①当时，，此时函数没有零点；②当时，由，知在上严格单调递增，在严格单调递减，又在上严格单调递增，在严格单调递减，因此时，在时有最小值，在时有最大值，因为，所以在上没有交点，即在上没有零点；于是函数的零点满足，因为在严格减，所以，又因为，所以数列是严格减数列.（3）解：因为，所以是以为周期的周期函数，因为任意，当时，都有且，所以当时，在上有唯一的最大值，由，得，，，假设存在，使得成立，即成立，故当时，取得最大值；当时，取得最大值，由，可知①时，，又因为是奇函数，所以当时，在上有唯一的最小值，故当时，取得最小值；当时，取得最小值，由，可知②时，，若成立，则由①②得：，即，因为，，，，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立，因此当时，不存在，使得成立.上海市宝山区2024届高三下学期二模数学试卷一、单选题1.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，则，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D错误.故选：A.2.已知随机变量X服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由随机变量X服从正态分布，因为，可得，所以.故选：A.3.已知直线、、与平面、，下列命题正确是（）A.若，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗D〖解析〗对于A，若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误；对于B，若，，则与可能平行，也可能相交，故B错误；对于C，若，，则与可能平行，也可能相交或异面，故C错误；对于D，若，则由线面平行的性质定理可知，必有，使得，又，则，因为，所以，故D正确.故选：D.4.数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是（）A.①为真命题，②为真命题 B.①为真命题，②为假命题C.①为假命题，②为真命题 D.①为假命题，②为假命题〖答案〗C〖解析〗对于①，由等比数列，得，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则，即，显然不成立，①为假命题；对于②，设等差数列的公差为，则.令，，则，下面证是“某数列”.设的前项和为，则，于是对任意的正整数，总存在正整数，使得，所以是“某数列”.同理，可证也是“某数列”.所以对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得成立，故②为真命题.故选：C二、填空题5.抛物线的焦点坐标是__________．〖答案〗〖解析〗因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为.故〖答案〗为6.已知，则______.〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：.7.将（其中）化为有理数指数幂的形式为______.〖答案〗〖解析〗故〖答案〗为：8.已知向量，，若，则实数______.〖答案〗〖解析〗由，，，得，所以.故〖答案〗为：29.设实数、满足为虚数单位，则______.〖答案〗〖解析〗由，得，即，则，解得.故〖答案〗为：10.有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为___________.〖答案〗〖解析〗依题意可得极差为，平均数为，所以，解得，所以中位线为.故〖答案〗为：11.已知集合，且，则实数的值为______.〖答案〗〖解析〗由集合，且，得或，解得或，当时，，符合题意，当时，且，与集合元素的互异性矛盾，所以实数的值为0.故〖答案〗为：12.在数列中，，且，则__________.〖答案〗4〖解析〗由题意可得，所以，，……，，累加得，所以，故〖答案〗为：413.某公司为了了解某商品的月销售量单位：万件与月销售单价单位：元件之间的关系，随机统计了个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：月销售单价元件月销售量万件由表中数据可得回归方程中，试预测当月销售单价为元件时，月销售量为______万件.〖答案〗〖解析〗依题意，，，所以样本中心点坐标为，代入回归方程得，，解得，所以回归方程为，当时，，即当月销售单价为元件时，月销售量约为万件.故〖答案〗为：14.已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．〖答案〗〖解析〗如图所示，由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=b，∴|OP|=．设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tanθ=．又tanθ=，∴，解得a2=3b2，∴e=．〖答案〗15.某区域的地形大致如图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设：警戒区域为空旷的扇环形平地；假设：视探照灯为点，且距离地面米；假设：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、、.第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为如图记，经测量知米，且是公差约为米的等差数列，则至少需要经过______次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.〖答案〗〖解析〗因为在中，，，所以，，故，故是以为首项，以为公差的等差数列，故，而，，故.所以至少需要次才能将整个警戒区域扫描完毕.故〖答案〗为：.16.空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是______.〖答案〗〖解析〗由已知得，所以，所以存在实数，使得不等式有解，则有，解得，又因为且，所以在方向上的数量投影是，所以围成的空间几何体是以原点为顶点，高为，母线长为的圆锥，故由构成的空间几何体的体积为.故〖答案〗为：.三、解答题17.在中，角、、的对边分别为、、，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状.解：（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因为是三角形内角，所以；（2）由三角形面积公式得：，解得，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，此时为等边三角形.18.如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径.（1）求证：；（2）若，，圆柱的体积为，求异面直线与所成角的大小.（1）证明：易知，又由平面，平面，得，而平面，则平面，而平面，故.（2）解：延长交圆于点，连接、、，易知或其补角即为所求的角，由题知，解得，中，由余弦定理得，由，从而，所以异面直线与所成角的大小为.19.在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得分，否则得分已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为.（1）求甲投篮次得分的概率；（2）若乙投篮次得分为，求的分布和期望；（3）比较甲、乙的比赛结果.解：（1）甲投篮次得分，即只投中次，概率为；（2）由题意知的所有可能取值为，，，，则，，随机变量的分布为，0246期望；（3）设甲三次投篮的得分，则，，，，可求得随机变量的分布为，0246所以，又可算得，因为，，所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定.20.已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点.（1）求双曲线两条渐近线夹角的余弦值；（2）若，求的取值范围；（3）椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是、两点，直线与椭圆的另一个交点为记、的面积分别为、求的最小值，并写出取最小值时点的坐标.解：（1