2024届陕西省咸阳市普集街道部分学校高三下学期高考模拟考试（三）数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3陕西省咸阳市普集街道部分学校2024届高三下学期高考模拟考试（三）数学试题（理）第Ⅰ卷选择题一、选择题1.已知复数，是方程的两个复数根，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为复数，是方程的两个复数根，且，所以，解得，所以，即，所以，或，，所以或，所以.故选：B2.如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，则,，由集合的运算可知，表示中去掉的部分，所以.故选：D3.给出下列四个命题，其中正确命题为（）A.“，”的否定是“，”B.若是奇函数，则C.若的定义域为，，都有，且满足，则是偶函数D.“”是“”的必要不充分条件〖答案〗C〖解析〗对于A，“，”的否定是“，”，故A错误；对于B，若是奇函数，且在处有定义，则，故B错误；对于C，由偶函数的定义可知，若的定义域为，，都有，且满足，则是偶函数，故C正确；对于D，推不出，比如，则；且推不出，比如，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误；故选：C4.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为的等腰直角三角形，侧视图是边长为的正方形，则此四面体的四个面中面积最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗四面体实物图如下图所示：可知该几何体是边长为的正方体的内接三棱锥，如上图所示，是边长为的等边三角形，其面积为；是直角三角形，且直角边为，，其面积为；是直角三角形，且直角边为，其面积为；是直角三角形，且直角边为，，其面积为.因此，此四面体的四个面中面积最大值为.故选：B.5.已知等差数列的前项和为，若，，且，则数列的前2024项和为（）A.2023 B.2024 C.4046 D.4048〖答案〗D〖解析〗设首项为，公差为，由已知得，，可得，解得，故，若，故，而数列的前2024项和为.故选：D6.已知，是两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗已知是两个单位向量，且，则，则，则，设分别是轴与轴正方向上的单位向量，则，，，设，则，因为，所以，故中，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，圆心到原点的距离为，．故选：B．7.已知正方形的边长为2，是平面外一点，设直线与平面的夹角为，若，则的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，点为动点，、为定点，，由椭圆的定义知，点的轨迹是以、为焦点，为焦距，长轴为的椭圆，将此椭圆绕旋转一周，得到一个椭球，即点的轨迹是一个椭球，而椭球面为一个椭圆，由，即，得，设点在平面上的射影为，则，又，且，所以当且仅当时最大，即取到最大值，故选：B．8.已知，下列不等式恒成立的是（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗令且，则，故在上递减，又，所以，A错误；令且，则，所以上，递减，上，递增，而，此时不能比较，的大小，所以无法确定的大小，C错误；令且，则，故在上递增，又，所以，B错误；由于，所以，故,D正确，故选：D．9.下列说法中，错误的有（）A.用决定系数来刻画回归效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好B.已知随机变量，若，则C.对于随机事件与，若，，则事件与独立D.已知采用分层抽样得到的商三年级100名男生和50名女生的身高情况为：男生样本平均数为173，女生样本平均数为164，则总体样本平均数为170〖答案〗B〖解析〗由决定系数的定义可知，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好，故A正确；由可得，，所以，且随机变量，则，所以，故B错误；因为，，则，即，所以事件与独立，故C正确；由题意可得，总体样本平均数为，故D正确；故选：B10.已知函数，则下列结论正确的有（）A.的最小正周期为B.直线是图像的一条对称轴C.在上单调递增D.若在区间上的最大值为，则〖答案〗D〖解析〗因为，则，故A错误；将代入计算可得，又，，所以直线不是图像的一条对称轴，故B错误；当时，，且在上不单调，故C错误；当时，，且在区间上的最大值为，则，解得，故D正确；故选：D11.已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点（在第一象限），为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为，则下列说法正确的是（）A.当取最大值时，直线的方程为B.若点，则的最小值为3C.无论过点的直线在什么位置，两条直线，的斜率之和为定值D.若点在抛物线准线上的射影为，则直线、的斜率之积为定值〖答案〗AC〖解析〗抛物线的焦点，准线方程为，则，设直线，联立，得，当且仅当与抛物线相切时，取得最大值，由，得，直线的斜率为，又在第一象限，所以直线的斜率为，此时取得最大值，直线的方程为，故A正确；因为，则在准线上的射影为，过点作垂直准线，垂足为，连接，则，所以，当且仅当，，三点共线时等号成立，故B错误；对于C：由题意知，，且的斜率不为，设方程为，，，，联立直线与抛物线的方程，整理得，显然，则，，所以，，则，即无论过点的直线在什么位置，两条直线，的斜率之和为定值，故C正确；对于D：由C选项可知，则，又，所以（不为定值），故D错误.故选：AC.12.某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方的初始兵力，为战斗时间；，分别为红、蓝两方时刻的兵力；正实数，分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定：当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为．则下列结论不正确的是（）A.若且，则B.若且，则C.若，则红方获得战斗演习胜利D.若，则红方获得战斗演习胜利〖答案〗C〖解析〗对于A，若且，则，即，所以，由可得，即A正确；对于B，当时根据A中的结论可知，所以蓝方兵力先为，即，化简可得，即，两边同时取对数可得，即，所以战斗持续时长为，所以B正确；对于C，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，设红方兵力为时所用时间为，蓝方兵力为时所用时间为，即，可得同理可得，即，解得，又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利；所以可得C错误，D正确.故选：C.第Ⅱ卷非选择题二、填空题13.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有__________种．〖答案〗450〖解析〗若6名航天员三个实验舱，三个实验舱每个至少一人至多三人，若每组人数分别为，共有种，若每组人数分别为，共有种，综上所有不同安排方法共有.故〖答案〗为：45014.已知实数，满足，且，则的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗实数，满足，且，若，则，所以，又，所以，则，即，则，所以与已知矛盾，故，要满足，则，即，满足该二元一次不等式的平面区域如下图所示：设目标函数为，则，故直线的纵截距的取值范围即可得的取值范围，由可行域可得直线经过时得纵截距的最大值，无最小值，又，所以，故，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.15.若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________．〖答案〗〖解析〗直线，则，令，解得，所以动直线恒过点，又圆的圆心为，半径，所以，所以点在圆内，所以当直线时直线与圆相交的弦长最短，最短弦长为.故〖答案〗为：.16.如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则球被正四面体表面截得的截面周长为__________．〖答案〗〖解析〗在棱长为2的正四面体中，连接，过作于，如图，

由分别为棱的中点，得，而平面，则平面，又平面，于是平面平面，而平面平面，因此平面，而，，，则，球半径，，从而，球被平面截得的截面圆半径，所以球被平面截得的截面周长.又为正四面体，所以球被正四面体的每个面截得的截面都为圆，且圆的半径为，所以球被正四面体表面截得的截面周长为.故〖答案〗为：三、解答题17.记为数列的前项和．已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和．解：（1）当时，若，则，两式相减得，化简得，而，故是以为首项，为公差的等差数列，故，（2）由上问得，故，，两式相减得，，即，所以，故18.第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）于2023年7月28日在四川成都开幕，这是中国西部城市第一次举办世界性综合运动会．为开好本次大运会，各个行业都力争做到报好．（1）某体校田径队在备战期间对选手进行了考核，考核设有100米、400米和1500米三个项目，选手需要依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为，和（，，1，2），总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进阶，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止．对于100米和400米项目，每个项目选手必须考核2次，且全部达标才算合格；对于1500米项目，选手必须考核3次，但只要达标2次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次为，，，每次考核是否达标相互独立．用表示选手甲考核积分的总成绩，求的分布列和数学期望；（2）某体育用品店统计了2023年1~5月份运动器材销量（单位：千套）与售价（单位：元）的情况，统计结果如下表所示：月份12345器材售价（元）10090807060销量（千套）57.58910.5求的相关系数，并判断销量与售价是否有很强的线性相关性．（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）．参考公式：对于一组数据，相关系数，参考数据：．解：（1）对于选手甲：记“米成绩合格”、“米成绩合格”、“米成绩合格”分别为事件、、，则，，，由题意可得的可能取值有，所以，，，，可得的分布列为：所以.（2）依题意可得，，，，，则，与有很强的线性相关性.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，二面角的大小为，点到底面的距离为．（1）若是的中点，求证：平面；（2）若，求点到平面的距离．（1）证明：取的中点，连接、，因为是的中点，所以且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：取线段的中点为，线段的中点为，连接，因为为直角梯形，，所以，又，所以，因为，所以，又，平面，所以平面，过点在平面内作直线，则直线两两垂直，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，过点作，交直线于点，因为，平面，，所以平面，故平面，又点P到底面的距离为，所以，因为，，所以为二面角的平面角，由已知可得，所以，所以，所以，所以，，因为，所以，所以设平面的法向量为，则，所以，令，则，所以为平面的一个法向量，所以点到平面的距离.20.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若恰有两个极值点，求实数的取值范围．解：（1）易知的定义域为，而，令，，令，，故在上单调递减，在上单调递增，则函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由题意得，，若恰有两个极值点，则在有两个变号零点，易知是的零点，令，化简得，故与有一个交点即可，而定义域为，而，当时，恒成立，故在上单调递增，而，当时，，故.故实数的取值范围为.21.在平面直角坐标系中，圆，，是圆上的一个动点，线段的垂直平分线与直线交于点．记点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）若动直线与曲线相交于、两点，设，，且，，，记直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．解：（1）圆的圆心为，半径，如图所示，连接，根据题意，，则，点的轨迹是以，为焦点的双曲线，设双曲线方程为，其中，，，，则，故所求的方程为．（2）依题意直线的斜率不为，设直线的方程为，由，消去整理得，在的条件下，，，由，可得，即，即，则，即，即，即，解得或，当直线的方程为过点，不符合题意，舍去；所以直线的方程为，则，由，，且，，所以，故，所以，则，则，即点到直线的距离的取值范围为.请考生在第22题，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）与交于两点，是上不同于的一点，若的面积为，求点的坐标.解：（1）因，所以，所以的普通方程为.直线的极坐标方程为，即，由，则化为直角坐标方程为.（2）圆心到直线的距离为，则，设且，所以点到直线的距离，由的面积为知，，所以，则，所以或，解得或，故点的坐标为或.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）当时，求不等式解集；（2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.（1）解：当时，，当时，由，解得，此时；当时，由，解得，此时；当时，由，解得，此时.综上所述，当时，不等式的解集为.（2）解：，使得不等式成立，所以，使得成立，因为，所以，即，使得成立，因为在上单调递减，则当时，函数取得最小值，又因为在上单调递减，在上单调递增，且当时，；当时，.故当时，函数取得最大值.所以，，解得.因此，实数的取值范围是.陕西省咸阳市普集街道部分学校2024届高三下学期高考模拟考试（三）数学试题（理）第Ⅰ卷选择题一、选择题1.已知复数，是方程的两个复数根，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为复数，是方程的两个复数根，且，所以，解得，所以，即，所以，或，，所以或，所以.故选：B2.如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，则,，由集合的运算可知，表示中去掉的部分，所以.故选：D3.给出下列四个命题，其中正确命题为（）A.“，”的否定是“，”B.若是奇函数，则C.若的定义域为，，都有，且满足，则是偶函数D.“”是“”的必要不充分条件〖答案〗C〖解析〗对于A，“，”的否定是“，”，故A错误；对于B，若是奇函数，且在处有定义，则，故B错误；对于C，由偶函数的定义可知，若的定义域为，，都有，且满足，则是偶函数，故C正确；对于D，推不出，比如，则；且推不出，比如，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误；故选：C4.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为的等腰直角三角形，侧视图是边长为的正方形，则此四面体的四个面中面积最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗四面体实物图如下图所示：可知该几何体是边长为的正方体的内接三棱锥，如上图所示，是边长为的等边三角形，其面积为；是直角三角形，且直角边为，，其面积为；是直角三角形，且直角边为，其面积为；是直角三角形，且直角边为，，其面积为.因此，此四面体的四个面中面积最大值为.故选：B.5.已知等差数列的前项和为，若，，且，则数列的前2024项和为（）A.2023 B.2024 C.4046 D.4048〖答案〗D〖解析〗设首项为，公差为，由已知得，，可得，解得，故，若，故，而数列的前2024项和为.故选：D6.已知，是两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗已知是两个单位向量，且，则，则，则，设分别是轴与轴正方向上的单位向量，则，，，设，则，因为，所以，故中，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，圆心到原点的距离为，．故选：B．7.已知正方形的边长为2，是平面外一点，设直线与平面的夹角为，若，则的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，点为动点，、为定点，，由椭圆的定义知，点的轨迹是以、为焦点，为焦距，长轴为的椭圆，将此椭圆绕旋转一周，得到一个椭球，即点的轨迹是一个椭球，而椭球面为一个椭圆，由，即，得，设点在平面上的射影为，则，又，且，所以当且仅当时最大，即取到最大值，故选：B．8.已知，下列不等式恒成立的是（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗令且，则，故在上递减，又，所以，A错误；令且，则，所以上，递减，上，递增，而，此时不能比较，的大小，所以无法确定的大小，C错误；令且，则，故在上递增，又，所以，B错误；由于，所以，故,D正确，故选：D．9.下列说法中，错误的有（）A.用决定系数来刻画回归效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好B.已知随机变量，若，则C.对于随机事件与，若，，则事件与独立D.已知采用分层抽样得到的商三年级100名男生和50名女生的身高情况为：男生样本平均数为173，女生样本平均数为164，则总体样本平均数为170〖答案〗B〖解析〗由决定系数的定义可知，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好，故A正确；由可得，，所以，且随机变量，则，所以，故B错误；因为，，则，即，所以事件与独立，故C正确；由题意可得，总体样本平均数为，故D正确；故选：B10.已知函数，则下列结论正确的有（）A.的最小正周期为B.直线是图像的一条对称轴C.在上单调递增D.若在区间上的最大值为，则〖答案〗D〖解析〗因为，则，故A错误；将代入计算可得，又，，所以直线不是图像的一条对称轴，故B错误；当时，，且在上不单调，故C错误；当时，，且在区间上的最大值为，则，解得，故D正确；故选：D11.已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点（在第一象限），为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为，则下列说法正确的是（）A.当取最大值时，直线的方程为B.若点，则的最小值为3C.无论过点的直线在什么位置，两条直线，的斜率之和为定值D.若点在抛物线准线上的射影为，则直线、的斜率之积为定值〖答案〗AC〖解析〗抛物线的焦点，准线方程为，则，设直线，联立，得，当且仅当与抛物线相切时，取得最大值，由，得，直线的斜率为，又在第一象限，所以直线的斜率为，此时取得最大值，直线的方程为，故A正确；因为，则在准线上的射影为，过点作垂直准线，垂足为，连接，则，所以，当且仅当，，三点共线时等号成立，故B错误；对于C：由题意知，，且的斜率不为，设方程为，，，，联立直线与抛物线的方程，整理得，显然，则，，所以，，则，即无论过点的直线在什么位置，两条直线，的斜率之和为定值，故C正确；对于D：由C选项可知，则，又，所以（不为定值），故D错误.故选：AC.12.某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方的初始兵力，为战斗时间；，分别为红、蓝两方时刻的兵力；正实数，分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定：当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为．则下列结论不正确的是（）A.若且，则B.若且，则C.若，则红方获得战斗演习胜利D.若，则红方获得战斗演习胜利〖答案〗C〖解析〗对于A，若且，则，即，所以，由可得，即A正确；对于B，当时根据A中的结论可知，所以蓝方兵力先为，即，化简可得，即，两边同时取对数可得，即，所以战斗持续时长为，所以B正确；对于C，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，设红方兵力为时所用时间为，蓝方兵力为时所用时间为，即，可得同理可得，即，解得，又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利；所以可得C错误，D正确.故选：C.第Ⅱ卷非选择题二、填空题13.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有__________种．〖答案〗450〖解析〗若6名航天员三个实验舱，三个实验舱每个至少一人至多三人，若每组人数分别为，共有种，若每组人数分别为，共有种，综上所有不同安排方法共有.故〖答案〗为：45014.已知实数，满足，且，则的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗实数，满足，且，若，则，所以，又，所以，则，即，则，所以与已知矛盾，故，要满足，则，即，满足该二元一次不等式的平面区域如下图所示：设目标函数为，则，故直线的纵截距的取值范围即可得的取值范围，由可行域可得直线经过时得纵截距的最大值，无最小值，又，所以，故，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.15.若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________．〖答案〗〖解析〗直线，则，令，解得，所以动直线恒过点，又圆的圆心为，半径，所以，所以点在圆内，所以当直线时直线与圆相交的弦长最短，最短弦长为.故〖答案〗为：.16.如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则球被正四面体表面截得的截面周长为__________．〖答案〗〖解析〗在棱长为2的正四面体中，连接，过作于，如图，

由分别为棱的中点，得，而平面，则平面，又平面，于是平面平面，而平面平面，因此平面，而，，，则，球半径，，从而，球被平面截得的截面圆半径，所以球被平面截得的截面周长.又为正四面体，所以球被正四面体的每个面截得的截面都为圆，且圆的半径为，所以球被正四面体表面截得的截面周长为.故〖答案〗为：三、解答题17.记为数列的前项和．已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和．解：（1）当时，若，则，两式相减得，化简得，而，故是以为首项，为公差的等差数列，故，（2）由上问得，故，，两式相减得，，即，所以，故18.第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）于2023年7月28日在四川成都开幕，这是中国西部城市第一次举办世界性综合运动会．为开好本次大运会，各个行业都力争做到报好．（1）某体校田径队在备战期间对选手进行了考核，考核设有100米、400米和1500米三个项目，选手需要依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为，和（，，1，2），总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进阶，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止．对于100米和400米项目，每个项目选手必须考核2次，且全部达标才算合格；对于1500米项目，选手必须考核3次，但只要达标2次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次为，，，每次考核是否达标相互独立．用表示选手甲考核积分的总成绩，求的分布列和数学期望；（2）某体育用品店统计了2023年1~5月份运动器材销量（单位：千套）与售价（单位：元）的情况，统计结果如下表所示：月份12345器材售价（元）10090807060销量（千套）57.58910.5求的相关系数，并判断销量与售价是否有很强的线性相关性．（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）．参考公式：对于一组数据，相关系数，参考数据：．解：（1）对于选手甲：记“米成绩合格”、“米成绩合格”、“米成绩合格”分别为事件、、，则，，，由题意可得的可能取值有，所以，，，，可得的分布列为：所以.（2）依题意可得，，，，，则，与有很强的线性相关性.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，二面角的大小为，点到底面的距离为．（1）若是的中点，求证：平面；（2）若，求点到平面的距离．（1）证明：取的中点，连接、，因为是的中点，所以且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：取线段的中点为，线段的中点为，连接，因为为直角梯形，，所以，又，所以，因为，所以，又，平面，所以平面，过点在平面内作直线，则直线两两垂直，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，